М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2014
УДК 532.529.5
© 2014 г. С. А. БОРОНИН, А. A ОСИПЦОВ
ВЛИЯНИЕ МИГРАЦИИ ЧАСТИЦ НА ТЕЧЕНИЕ СУСПЕНЗИИ В ТРЕЩИНЕ ГИДРОРАЗРЫВА
В рамках двухконтинуального подхода построена асимптотическая модель течения осаждающейся концентрированной суспензии в трещине гидроразрыва с учетом поперечной миграции частиц. В приближении тонкого слоя получена двумерная система уравнений, осредненных поперек трещины с учетом неоднородного профиля концентрации частиц. В сравнении с аналогичной моделью без учета миграции двумерные осредненные уравнения содержат модифицированные коэффициенты, явно зависящие от ширины ядра течения, занятого частицами. Проведено численное моделирование в рамках построенной модели и показано, что миграция частиц к центру трещины приводит к увеличению глубины проникновения частиц в трещину, а также к подавлению гравитационной конвекции в окрестности переднего фронта. Проведено сравнение с имеющимися данными экспериментов, а также с аналитической формулой для высоты осадка плотно упакованных частиц, и показано хорошее согласие между аналитической теорией, экспериментом и двумерными численными расчетами.
Ключевые слова: вязкая жидкость, гидроразрыв, двухконтинуальный подход, миграция, осаждение, суспензия, трещина, частица.
Цель настоящей работы — построение асимптотической двухконтинуальной модели течения суспензии в вертикальной трещине гидроразрыва с учетом конечной объемной доли частиц и рассогласования скоростей фаз, а также исследование влияния поперечной миграции частиц на течение суспензии. Изучение данного явления представляет интерес в связи с необходимостью построения математических моделей для внедрения в коммерческие программные комплексы, которые используются при численном моделировании течения суспензии в трещине в приложении к технологии гидроразрыва пласта, насыщенного нефтью или газом [1]. Технология гидроразрыва основана на закачивании смеси жидкости и твердых частиц в скважину под высоким давлением с целью создания вертикальной трещины гидроразрыва в нефтеносном пласте. В процессе закачки смеси в трещину формируется течение суспензии, при котором частицы переносятся с жидкостью в горизонтальном направлении, осаждаются под действием силы тяжести, а также могут мигрировать в поперечном направлении. После остановки закачки, закрытая трещина, заполненная гранулированным материалом из плотно упакованных частиц, создает высокопроницаемый пористый канал для фильтрации углеводородов из пласта к скважине. Моделирование течения суспензии в трещинах становится особенно актуальным в последнее время, когда широкое распространение получила технология многоступенчатого гидроразрыва для добычи сланцевого газа.
Гравитационная конвекция суспензий с учетом эффекта ускоренного осаждения в наклонных сосудах (эффект Бойкотта [2]) впервые рассмотрена в рамках двухконтинуальной модели движения суспензии в [3, 4]. В [5] представлено исследование гравитационной конвекции суспензии в наклонных трещинах. В [6] исследована роль сил присоединенных масс, Архимеда и Бассе-Буссинеска в задачах гравитационной конвекции суспензий. В [7] в рамках двухконтинуальной модели разреженной суспензии в двумерной постановке проведено численное моделирование эффекта Бойкотта в на-
клонном квадратном сосуде. В [8] построена общая двухконтинуальная модель трехмерной гравитационной конвекции с учетом нестационарных составляющих межфазной силы и конечной объемной концентрации частиц.
Рассмотрим известные в литературе модели течения суспензии в трещине гидроразрыва. В [9] предложена общая формулировка модели переноса частиц при течении суспензии в вертикальной трещине в приближении тонкого слоя. Уравнения получены в рамках модели эффективной жидкости в терминах потоков массы частиц, жидкости и смеси, выражения для которых следует находить из решения локальных задач. В [10] были предложены явные выражения для потоков массы, которые служат замыкающими соотношениями для общих уравнений модели [9]. Описание модели транспорта частиц в программном комплексе для моделирования роста трещины гидроразрыва содержится в [11]. В указанных моделях трещина считается вертикальным плоским каналом с гладкими стенками. Ширина канала задана и может быть переменна по пространству, но не зависит от времени. В более сложных моделях, которые лежат в основе современных коммерческих программных комплексов для моделирования гидроразрыва [11], рассматривается сопряженная задача о росте трещины и о течении суспензии внутри трещины. При этом при решении задачи гидродинамики изменение геометрии трещины считается квазистационарным.
При моделировании течения суспензии в трещине можно выделить три существенно различных характерных масштаба длины: размер частицы, ширина трещины и длина (высота) трещины. В перечисленных выше работах двумерные модели получены на самом большом масштабе длины путем осреднения поперек трещины с учетом известного профиля концентрации. Как правило, миграцией частиц поперек трещины пре-небрегалось, и профиль концентрации предполагалася однородным. Поперечная миграция частиц при течении суспензии в канале может быть обусловлена различными механизмами в зависимости от порядка величины объемной доли частиц. В случае разреженной суспензии поперечное движение частиц вызывается инерционной боковой силой, которая возникает в силу инерции жидкости, рассогласования скоростей фаз (осаждения частиц) и локального сдвигового характера течения [12]. В [12] получено выражение для инерционной боковой силы, которая действует на осаждающуюся частицу в горизонтальном течении вязкой жидкости через канал с вертикальными плоскими стенками. В [13] рассмотрена задача об инерционной миграции частиц при течении разреженной суспензии в начальном участке плоского канала (круглой трубы) без учета осаждения. Показано, что частицы мигрируют на две плоскости (кольцо), находящиеся на определенном расстоянии от стенок канала (трубы). При этом образуются свободные от частиц слои вблизи стенок. Миграция частиц при течении суспензии в плоском канале с учетом силы [12] исследована в [14]. Установлено, что под действием данной силы частицы мигрируют от стенок по направлению к средней плоскости канала, оставляя слои чистой жидкости около стенок. В случае концентрированной суспензии миграция носит диффузионный характер и обусловлена сдвиговым характером течения и поперечным градиентом концентрации частиц [15], при этом формируется неоднородный симметричный поперечный профиль концентрации с максимумом на оси канала.
Для нефтесервисных приложений интересны оба механизма миграции, так как диапазон изменения объемной доли частиц содержит как разреженные суспензии (гидроразрыв в малопроницаемых породах, например, при добыче сланцевого газа), так и концентрированные (стандартный гидроразрыв, например, в песчаниках). Характерной особенностью миграции частиц при течении суспензии в канале вне зависимости от порядка величины объемной доли частиц является формирование пристеночных слоев разреженной суспензии (или чистой жидкости, если начальная концентрация была мала) и ядра течения с повышенной концентрацией частиц. В целом, поперечный профиль объемной доли частиц может быть аппроксимирован кусочно-постоян-
-1.0 -0.5 0 0.5 2ф 1.0
Фиг. 1. Схема течения суспензии в трещине при поперечной миграции частиц (а). Однородное (С:) и неоднородное (С2) распределения концентрации частиц поперек трещины (б)
ной зависимостью (фиг. 1, б), и данный факт существенно используется в настоящей работе.
В существующих работах не производилось систематического изучения влияния миграции на течение суспензии в трещине. Предприняты отдельные попытки учесть макроскопические эффекты миграции. В частности, в [10] получены замыкающие соотношения для модели [9] в предельном случае, когда все частицы смигрировали в окрестность срединной плоскости трещины, оставив слои чистой жидкости вблизи стенок.
В целом существующие модели переноса частиц в трещине [9, 11] постулированы в рамках приближения эффективной жидкости, где суспензия считается вязкой жидкостью с плотностью и вязкостью, зависящими от объемной концентрации частиц. В данных моделях из условия, что материалы фаз (жидкость и частицы) являются несжимаемыми, сделан вывод о том, что суспензия также может описываться моделью эффективной несжимаемой жидкости. Вывод двухконтинуальной модели для течения суспензии в трещине гидроразрыва впервые предложен в кратком сообщении [16]. Также в ранних работах предполагалось, что частицы осаждаются относительно смеси (а не относительно несущей фазы) с заданной скоростью, зависящей от объемной доли частиц. Для среднеобъемной скорости суспензии при течении в вертикальном
плоском канале (трещине) принимался профиль Пуазейля. В [16] показано, что данные предположения верны лишь в случае, когда частицы не движутся относительно жидкости, либо их объемная доля пренебрежимо мала. Проведен анализ существующих моделей в сравнении с предложенной двухконтинуальной моделью, и определен диапазон параметров подобия, для которых применима существующая модель эффективной жидкости, а также найдены условия, при которых существенны двухскорост-ные эффекты. Показано, что различия между моделью течения суспензии, построенной ранее на основе эвристического односкоростного подхода, и двухконтинуальной моделью [16], являются существенными в случае течения разреженной суспензии на основе маловязкой жидкости (гидроразрыв в сланцах), в то время как в случае конечной объемной доли частиц и сильновязкой жидкости (стандартный гидроразрыв, например, в песчаниках) решения по двум моделям практически совпадают. В то же время остается пока не решенной сопряженная задача о росте трещины гидроразрыва и о течении суспензии внутри трещины, где течение суспензии описывалось бы в рамках двухконтинуальной модели. Такое исследование позволит оценить количественно влияние двухконтинуальных эффектов на закон распространения трещины.
Учитывая необходимость в развитии моделей транспорта частиц в трещине для ответа на вызовы новых те
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.