БИОФИЗИКА, 2008, том 53, вып.5, c.874-878
БИОФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
УДК 577.3:612.822.3
ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ПОТЕНЦИАЛЗАВИСИМОСТИ АМПЛИТУДЫ ВОЗБУЖДАЮЩИХ ПОСТСИНАПТИЧЕСКИХ ПОТЕНЦИАЛОВ, ВЫЗЫВАЕМЫХ НЕЙРОНАМИ КОРЫ ГОЛОВНОГО МОЗГА, НА ЕЕ РИТМИЧЕСКУЮ АКТИВНОСТЬ
© 2008 г. Б.В. Бах арев
Институт биофизики клетки РАН, 142290, ПущиноМосковской области Поступила в p едакцию 04.03.08 г.
Введена нелинейная зависимость амплитуды возбуждающих постсинаптических потенциалов от ур овня мембр анных потенциалов. Показано существование области устойчивости колебаний при увеличении среднего значения неспецифического афферентного притока. При сильном увеличении афферентного пр итока появляется высокочастотная составляющая колебаний (40 - 60 Гц), которая может приводить к потере устойчивости колебаний и возникновению патологической активности.
Ключевые слова: моделирование, кора головного мозга, нелинейный анализ, электроэнцефалограмма, мембранный потенциал, постсинаптический потенциал.
В работах [1-5] представлены математические модели биоэлектрической активности коры головного мозга в норме и патологии, в их числе была предложена модель фор мирования ритмических процессов. Выведены интегральные ур авнения ср едних по ансамблю мембранных потенциалов п^) возбуждающих, аналога электроэнцефалограммы (ЭЭГ), и тормозящих нейронов неокортекса с учетом рефрактер ности клеток коры и потенциалзависимости постсинаптических потенциалов (ПСП):
г
п^) - п0 = \рЕ{1 - г'Же/пЖ'))А - т) +
t - Tv
+ KEW(uE(t'))W(t')]dt -
- BE¡KI(uE(t'))P(t - t')Fj(t' - x)dt',
(1)
t - T
ui(t) - U0 = \PE,t - t )[KE(ui(t ))A jFfít - T) +
t - T„
+ Kew(ui(t'))W(t)]dt -
Сокращения: ЭЭГ - электроэнцефалограмма, П СП - постсинаптический потенциал, ВП СП - возбуждающий П СП, ТПСП - тормозящий П СП, ПД - потенциал действия.
■ BI\(KI(uI(t"))PI(t - t')FI(t' - T)dt,
t - T
где К(п) - зависимость амплитуды ПСП от мембранного потенциала и такая, что если Пег и
uIr
потенциалы реверсии соответственно воз-
буждающих (ВПСП) и тормозящих (ТПСП) постсинаптических потенциалов, то Ке(пег) = КЕ№ (пЕг) = К1(п1г) = 0, РЕ(г) и Р7(0 - усредненные фор мы ВП СП и ТПСП длительностью Т Е и Т^ соответственно, т - задержки проведения импульсов, ио - средний потенциал покоя. Функция пропорциональна усредненному афферентному притоку импульсов (в основном возбуждающего типа [6]). Р(г) - доля клеток, разряжающихся в единицу времени, которую описывали уравнением:
1 - 1Jkt - T)F(T)dT
<b(u(t)) = F(t),
где Ф(Н) - распределение клеток по величине их порогов генерации потенциалов действия (ПД), близкое к нор мальному, а у(г) - некотор ая весовая функция, экспоненциально спадающая до нуля с ростом аргумента. Параметры А и В определяются организацией коры и пропорциональны произведению эффективного числа возбудительных или тормозных нейронов, связанных между собой достаточно сильными связями, и эффективности связи пр е- и постсинап-
t
Рис. 1. Теоретические и экспериментальные зависимости амплитуды ПСП от мембранного потенциала (а - в) и границы устойчивости, определяемые характеристическим уравнением (2) преобразования Лапласа системы интегральных уравнений (1) в плоскости параметров АЕ и ВЕ при Ш = 1 (г); (а) - зависимость амплитуды ВПСП афферентных входов, кружки соответствуют точкам, взятым из работы [7], справа - шкала в мВ; (б) -зависимость амплитуды ТПСП, точки взяты из работы [8], кружком показан потенциал реверсии, справа -шкала в мВ; (в) - зависимость площади корково-корковых ВП СП, справа - шкала в мВ-мс, сверху - шкала мембранного потенциала в мВ (общая для а, б и в); (г) - сплошные линии - колебательные решения с нулевым декрементом (третья кривая соответствует высокочастотным решениям), пунктирные линии - границы области трех стационарных состояний, точками изображена высокочастотная изодекрементная кривая с а = -5 с-1, звездочкой помечены точки, соответствующие частотным экстремумам.
тических клеток (плотностью синапсов на клетках в коре и силой их действия).
В предыдущих работах [4,5] функцию по-тенциалзависимости К(и) считали линейной. К этому были следующие о снования. В работе [7] было показано, что пр и деполяризации мотонейрона возбуждающий постсинаптический потенциал уменьшается приблизительно линейно вплоть до реверсирования в районе 0 мВ. В работе [8] пр и изучении антидр омных ответов в кор тикальном пир амидном тр акте нейр онов наблюдалось уменьшение возбуждающего постсинаптического потенциала и увеличение тормозящего постсинаптического потенциала при деполяр изации. Гиперполяризация умень-
шает ТПСП [9,10] и потенциал реверсии составляет пр имерно -80 мВ [10]. В то же время на срезах кор ы головного мозга [11] динамика изменения амплитуды и площади ВПСП при изменении мембранного потенциала в пределах ± 20 мВ от потенциала покоя противоположная, что подтвер ждает ее нелинейный ха рактер. Перед нами возникла задача проверить, будет ли работать наша модель и как изменится область устойчивых решений наших уравнений, если описать потенциалзависимость возбуждающего постсинаптического потенциала нелинейной функцией.
876
БАХАРЕВ
РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ
В работах [7,8,11] приведены экспериментальные точки потенциалзависимости. Мы нанесли их на нашу условную шкалу (рис. 1а-в). Функцию Кеш(и) аппроксимировали ломаной кривой, КДи) - линейной, КЕ(и) аппроксимировали кубической функцией методом наименьших квадр атов:
кеж (и) =
I и-Ег - и, и > и
I иЕг - % и ^ и0
+ -2т] - Ж] + 1(2^^4)}3 +
+ А1ВЕ1Е(2)11(2)КЕ^и1)К1(1ГЕ)/(иЕ,2)/(^[,2)е -22Т = 0
где
д (2) = 1 + 1[(2)В[[^(и[) + К[(¥[)/(й[,2)е 2т] -
- [ЕШКЕймиЕ) - Ж ], /(и,2) = Ф(и)/(1 + gФ(U)) /
' {1 + Ф(и)[1 - е - 2Х/(1 + 2%)]/2/г}, 2 = а +
[(2) = ]Р (^)е - 2*Л.
к = (1 - е - ЕТ )/(е - 87 - е - еТ ), I = 8е/[к (в - 8)(1 - е - 87) - 8вТ ],
т
Р(0) = Р(Г > т) = 0, = 1,
К[(и) = и - и[г, КЕ(и) = (0,061и2 + и + 4,57) (иЕг- и).
Применение преобразования Лапласа к линеаризованной системе уравнений (1) приводит к следующему характеристическому уравнению, знаки декрементов корней которого определяют области устойчивости решений этих уравнений:
9(2) = {1 - [е^еКе^^) + (2)
иЕ,и1 - стационарные состоя-
ния, g = (г + тг)/г, г - абсолютный рефрактерный пер иод, тг - постоянная времени относительно рефрактерности.
Для численных расчетов параметры модели выбирали исходя из физиологических данных, как и в работах [4,5]. Форму возбуждающего постсинаптического потенциала описывали разностью экспонент с бесконечной длительностью: РЕ(0 = 8в(е-& - е-вГ)/( в - 8), 8 = 142 с-1, в = 143 с-1, а форму тормозящего ТПСП -разностью экспонент с конечной длительностью:
Р1(1) = 1[ке - 8 - (к - 1)е - й - 1], Г е [0,т], в > |8|,
8 = 1 с-1, в = 500 с-1, Т = 0,3 с.
Параметр ы рефр актерности: г = 2 мс, тг = 20 мс, g = 11. Потенциал покоя, который оценивается «-70 мВ, брался равным и0 = -3 (в единицах стандартного отклонения, включающего разброс порогов и отдельных значений мембранного потенциала внутри микрообъема, взятого примерно а^ « 4 мВ, что соответствует среднему порогу возникновения спайка « 12 мВ). Потенциал реверсии ВП С П со ставил: иЕг= 15 относительных единиц, а потенциал реверсии ТПСП - и[г = -6. Среднее время проведения потенциала действия от одной клетки к другой было взято: т = 5 мс.
На рис. 1г сплошной линией показаны кр и-вые периодических решений в плоскости пар а-метров Ае, Ве при Ж = 1. Их оказалось три, причем внутри первой и второй - положительные декременты, а левее третьей - отрицательные. Е сли двигаться по кривым справа налево (в сторону уменьшения параметра Ве), возбуждение растет ( иЕ,и[ увеличиваются), частота сначала падает, потом растет (на кривой 1 это пр оисходит дважды). На рис. 1г точки частотных экстремумов обозначены звездочками. На первой кривой их три: 10,7, 12,4, 6,6 Гц. На второй и третьей кривых по одной: 6,6 и 44,4 Гц. Сверху область устойчивости решений системы уравнений (1) ограничена кривой двух стационарных состояний (на рис. 1г пунктирная линия), внутри котор ой три стационарных состояния, причем либо два, либо все неустойчивы, а вне ее одно стационарное со стояние. Справа эта область ограничена высокочастотной кривой периодических решений, слева -правой ветвью 1-й кривой и левой ветвью 2-й кривой нулевого декремента. ЕЕ
При увеличении афферентного притока Ш кривые 1 и 2 периодических решений смещаются вправо и вверх, в сторону больших значений параметров Ае и особенно Ве (рис. 2), а 3-я кривая высокочастотных решений сдвигается влево. Таким образом, устойчивая область при изменении параметра Ш лежит ниже огибающей семейства кривых периодических решений (жирная линия на рис. 2) до соответствующих кривых высокочастотных периодических решений. Рабочие точки, при которых
0
0
Рис. 2. Изменение области устойчивости в зависимости от афферентного притока. Кривые 1 - 6 периодических решений соответствуют разным значениям Ш: 0,1; 0,25; 0,5; 0,75; 1 и 1,5. Жирная линия 7 - огибающая семейства кривых периодических решений, ниже которой до соответствующих кривых высокочастотных периодических решений находится устойчивая область при изменении параметра Ш. Символом + помечены точки с координатами АЕ = 0,4, ВЕ = 8 и АЕ= 0,8, ВЕ = 75. Остальные обозначения, как на рис. 1г.
численные решения ур авнений (1) дают сходные паттерны с электроэнцефалогр аммами кр олика и человека в норме, находятся в устойчивой области (кр естики на рис. 2).
Основные возбуждающие рецепто ры в ЦНС холинер гические (никотиновые) и глутаматные (К-метил-О-аспартат) [12]. Афферентный приток к нейронам головного мозга главным образом о существляется через холинер гические рецепторы, сходные с рецепторами мотонейрона, что оправдывает выбор потенциалзависи-мости из работы [7], выполненной на мотонейронах кошки. В то же время основным возбуждающим медиатором нейронов коры головного мозга является Ь-глутаминовая кислота. На срезах коры афферентный приток отсутствует, чем, очевидно, и объясняется полученная в работе [11] и наблюдаемая др угими автор ами динамика изменения амплитуды и площади возбуждающего постсинаптического потенц
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.