ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2014, том 52, № 3, с. 437-441
УДК 533.601.18
ВЛИЯНИЕ НЕОДНОРОДНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ ПОВЕРХНОСТИ НА ТЕЧЕНИЕ КУЭТТА © 2014 г. А. А. Абрамов, А. В. Бутковский
Центральный аэрогидродинамический институт (ЦАГИ), г. Жуковский E-mail: albutkov@mail.ru Поступила в редакцию 17.05.2012 г.
Рассмотрено течение Куэтта для поверхностей с неоднородным распределением температуры. Показано, что при числах Кнудсена Kn больше или порядка единицы можно существенно оптимизировать тепловые потоки и напряжения трения, варьируя поверхностное распределение температуры при фиксированной средней. В то же время при Kn < 1 течения с неоднородно распределенной температурой близки к течению Куэтта для поверхности с соответствующей средней температурой.
DOI: 10.7868/S0040364414030016
ВВЕДЕНИЕ
Классическая задача Куэтта для газа при различных числах Кнудсена исследовалась многими авторами. Результаты этих исследований представлены в монографиях [1—4]. Задача решалась как на основе модельных уравнений (БГК-модель, 8-модель), так и для полного уравнения Больцма-на без упрощающих предположений о виде интеграла столкновений. Отметим, что в большинстве работ использовалась диффузно-зеркальная модель функции распределения отражаемых поверхностью молекул. Например, в [5] для задачи о течении Куэтта при малой относительной скорости пластин (линейная постановка) на основе БГК-модели получены аналитические выражения для потоков тепла и массы в направлении вдоль пластин для почти зеркальных граничных условий на пластинах. В [6] аналогичные исследования проведены для диффузных граничных условий. Однако в [1—6] задача Куэтта рассматривалась для поверхностей с постоянной температурой. В данной работе исследуется влияние температурных неоднородностей на течение Куэтта для поверхностей с фиксированной средней температурой. При этом так же,как и в [7], большое внимание уделяется молекулярному теплопереносу.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Предполагается, что отражение молекул от пластин происходит диффузно с коэффициентом аккомодации энергии а = 1. При этом верхняя поверхность нагрета однородно, а нижняя мозаично, т.е. состоит из участков, каждый из которых имеет температуру либо Тг1, либо Тг2. Доли площадей нижней пластины с температурами Тг1 и Тг2 равны в и 1 — в соответственно. Участки поверхности с различными температурами распределе-
ны по поверхности произвольным образом. Характерный размер температурных неоднородно-стей d удовлетворяет неравенству
< < шт(Х, Ь), где X — характерная длина свободного пробега молекул, Ь — расстояние между пластинами.
Это условие позволяет свести задачу к одномерной, если считать, что вероятность отражения молекул с температурой Тг1 равна в, а вероятность отражения с температурой Тг2 равна 1 — в. Для исследования возникающего в задаче Куэтта стационарного течения необходимо решить уравнение Больцмана
% df = j (f, f)
dx
(1)
с граничными условиями для функции распределения молекул на нижней и верхней пластинах:
f = впЛ (2nRTrl) 3/2 exp
+ (1 -в) nr2 (2 nRTr 2 )3/2exp
е2 , 2 , г2~
5 +П +z
2RT„1
£2 , 2 , г2" 5 +П +С
2RTr
г2
f = nr (2nRT2)-3/2
5> 0, x = 0;
+ (п-и )2 + Z2 2RT2
exp
(2)
(3)
%< 0, х = Ь Поток молекул, падающих на нижнюю пластину, составляет
да да 0
= -111п,
—да —да —да
Здесь 1 (/, /) — интеграл столкновений молекул [1]; £,, п, С — декартовы компоненты скорости молекул, причем £, направлена перпендикулярно
438
АБРАМОВ, БУТКОВСКИЙ
поверхности (и параллельно оси х); Т2 — температура верхней пластины; пл, пг2 и пг — параметры функции распределения, соответствующие отраженным молекулам, находятся из условия баланса падающих и отраженных молекул; и — скорость движения верхней пластины; Я — газовая постоянная; к — постоянная Больцмана; т — масса молекулы.
Для решения задачи (1)—(3) необходимо задать среднюю плотность газа между пластинами пср и закон взаимодействия молекул при столкновении друг с другом.
Влияние неоднородности нагрева пластины на картину течения исследовалось следующим образом. Рассматривались два типа нижних поверхностей:
1) поверхность с в, отличным от 0 и 1;
2) поверхность с постоянной температурой Т1 = = $Тг1 + (1 — в)Т2, равной средней температуре неоднородной поверхности.
Таким образом, фактически исследуется влияние формы функции распределения скоростей отраженных молекул при одной и той же средней энергии молекул, летящих от стенки.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОГО РЕЖИМА
При Кп ^ да решение задачи Куэтта (1)—(3) можно получить в аналитическом виде аналогично тому, как это сделано в [1] для поверхности с постоянной температурой. Для свободномолеку-лярного течения функция распределения молекул / не зависит от нормальной координаты и при % < 0 имеет вид (3) с пг, равной
nr =
втт+(1 -ßWTyr;+1
ср'
Пг1 = n.
Пг2 = Пг
\ТЛ \ТГ 2
получаемыми из условий непротекания. Для безразмерного теплового потока
Q =
q
kT2CT 2Пср
q =
= ji /(&;
LT 2
2kT2
m
и удельного сопротивления _ \Pxy\
F
Pxy =
2кТ2Пср
j m% x% yf (%)d %
находим
Q =
ß TrJT2 + (1 -ß) Tr2/T2 - 1 -
kM 2
л/Л ßVTyTn + (1 -ßWT2I Tr2 +1
F = Д
Ъп
M
рТЖ + (1 -Р)лГУГ2 +1'
где М = и/ф<И Т2, к — показатель адиабаты.
Несложно показать, что в случае свободномо-лекулярного режима течения поток энергии, передаваемый нижней поверхности с мозаичным распределением температуры, и ее удельное сопротивление, отнесенные к соответствующим величинам для поверхности с постоянной температурой, равной средней температуре неоднородной поверхности, совпадают и равны отношению потоков падающих молекул
Qrel Frel J inrel
TTi +1
1+ßVTyT1(1 -ß)
где
(4)
(5)
При % > 0 функция распределения f имеет вид (2) с параметрами
T =ß Tr1 + (1 -ß)Tr2.
Причем эти относительные величины, как видно из (4), не зависят от скорости верхней пластины.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ПРЯМОГО СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Для решения задачи методом прямого статистического моделирования, как и в [8], применялась процедура установления с некоторым достаточно малым шагом по времени Аt. При этом пространство между плоскостями х = 0 и Ь разбивалось на ячейки размером, меньшим длины свободного пробега молекул. Внутри ячеек плотность, скорость и температура газа считались постоянными. В ячейки помещались моделирующие течение молекулы. Эволюция системы частиц на временном интервале Аt, меньшем среднего времени между столкновениями молекул, расщеплялась на два этапа: 1) свободный перелет молекул за время АР, 2) столкновение молекул, принадлежащих данной ячейке [9, 10]. Макропараметры в ячейках вычислялись усреднением по времени соответствующих микроскопических величин вдоль траекторий молекул [11]. Расчеты проводились для модели молекул "псевдомаксвелловские сферы" с сечением взаимодействия а = а 0 / g, где а 0 — постоянная, g — относительная скорость сталкивающихся молекул. Решение задачи зависит от числа Кнудсена Кп = X/Ь. Для модели псевдо-максвелловских молекул X = сГ2/(лсрст0).
Задача решалась методом установления. Для молекул, попадающих на нижнюю пластину, температура, с которой они отражаются, разыгрывается таким образом, что вероятность выпадения Тг1 равна в, а вероятность выпадения Тг2 равна 1 — р.
2
örel
в
Рис. 1. Зависимости относительного теплового потока от доли площади нижней пластины, имеющей температуру ТГ1 при к = 5/3, = 4, Т^тах/Т = 5: 1 -Тг1/Т1 = 0.75, 2 - 0.5, 3 - 0.25, 4- 0.1, 5 - 0.01.
örel
1
У' /
/ / 2 - /А/
4 /' / •'*
"'Л- 1 / :
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Tri
Рис. 2. Зависимости минимального значения относительного теплового потока от отношения 7^/7] при к = 5/3, T2/T1 = 4: 1 - Tr2max/7! = 1.25, 2 - 2, 3 - 5, 4 -
7r2max /71 ^
АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
Рассмотрим зависимость Qrel от ß для свобод-номолекулярного течения при фиксированных T1 и T2. Величины Tr1 и Tr2 связаны с T1 соотношением (5). Значения Tr1 и Tr2 имеют естественные физические ограничения 0 < 7,1 < 7,^; 0 < 7Г2 < Tr2max. Зафиксируем Tr1 и посмотрим, как меняется Tr2 с изменением ß при фиксированной T1.
Пусть 7r1 < 71. При ß = 0 величина Tr2 совпадает с T1. Увеличение ß приводит к увеличению Tr2
7Г2 = (71 -ß 7,)/(1 -ß)
так, что при
ß = (7r2max - 7\)H7r2max - 7r1)
ее значение достигает Tr2max. Зафиксируем Tr2 = = Tr2max и при дальнейшем увеличении ß вплоть до ß = 1 будем изменять Tr1 по формуле
7,1 = [71 - (1 -ß^max]/ß.
Результаты расчетов Qrel = Frel = Jinrel для сво-бодномолекулярного режима представлены на рис. 1-4. Как видно из рис. 1, зависимость Qrel от ß имеет минимум. В точке минимума производная непрерывной функции Qrel(ß) терпит разрыв первого рода. При этом соответствующие односторонние производные имеют противоположные знаки. Влияние отношения температур 7г1/ 71 на минимальное значение относительного потока
энергии Qгel т;п показано на рис. 2. Зависимости соответствующего оптимального значения в от отношения Тг1/Т1 приведены на рис. 3. На рис. 4 представлены зависимости Qгel т;п от отношения
в
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Tr1/T1
Рис. 3. Зависимости оптимального значения Р от отношения Т4/7 при к = 5/3, Т2/Т1 = 4: 1 -72тах/Т1 = 1.25, 2 - 2, 3 - 5, 4 - 10.
440
АБРАМОВ, БУТКОВСКИЙ
örel 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
!
2
- 3
4
5 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4 5
Т2/Т1
Рис. 4. Зависимости минимального значения относительного потока энергии Qгel т;п от отношения Т2/Т1
при к = 5/3, Гг2тях/Т1 = 5: 1 - Т4/Т1 = 0.75, 2 - 0.5, 3 -0.25, 4 - 0.1, 5 - 0.01.
бге1, -^ге1 2
ченные методом прямого статистического моделирования. Как видно из графиков, Qгe1 и -ге1 близки к единице при Кп ^ 1. Это означает, что в режиме течения, близком к навье-стоксовскому, поток энергии и напряжение трения, полученные для поверхности с мозаичным распределением температуры, близки к соответствующим величинам для поверхности со средней температурой. Величины Qгe1 и -ге1 при Кп > 1 существенно отличаются от единицы и почти совпадают с соответствующим свободномолекулярным значением. Отметим, что отличие Qгe1 от -ге1 во всем рассмотренном диапазоне чисел Кп не превышает 2%, т.е. полученное для свободн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.