МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <6 • 2008
УДК 532.529.5:533.72
© 2008 г. А. А. АБРАМОВ, А. В. БУТКОВСКИЙ
ВЛИЯНИЕ НЕПОЛНОЙ ТЕПЛОВОЙ АККОМОДАЦИИ НА СИЛЬНУЮ ДОЗВУКОВУЮ КОНДЕНСАЦИЮ ГАЗА
Методом прямого статистического моделирования исследовано влияние коэффициента тепловой аккомодации аЕ на соотношение для слоя Кнудсена при сильной дозвуковой конденсации. Показано, что отличие аЕ от единицы может существенно влиять на параметры течения и, в частности, на М11ш - предельное при дозвуковой конденсации число Маха. Установлено, что при относительной температуре потока (отношении температуры на внешней границе кнудсеновского слоя к температуре поверхности) Т < 1 уменьшение аЕ приводит к увеличению М11ш при М11ш < 1, а при Т > 1 уменьшение аЕ приводит к уменьшению М11ш. Показано, что при зеркальном отражении молекул от поверхности этот эффект может усиливаться.
Ключевые слова: прямое статистическое моделирование, сильная конденсация, слой Кнудсена, коэффициент конденсации, коэффициент испарения, коэффициент аккомодации, зеркальное отражение.
При высоких скоростях конденсации, когда число Рейнольдса велико, в потоке газа у границы раздела фаз возникает слой толщиной в несколько длин свободного пробега, в котором отсутствует поступательное равновесие молекул в газе. Соотношение на границе этого кнудсеновского слоя при коэффициенте конденсации а = 1 исследовалось как моментными методами [1, 2], так и прямым статистическим моделированием [3]. При этом в широком диапазоне параметров наблюдалось хорошее совпадение полученных этими методами результатов.
В [4] показано, что отличие а от 1 может существенно повлиять на характер течения при сильной конденсации. Так, при значениях а, меньших некоторого значения, близкого к 1, максимально достижимое при дозвуковой конденсации число Маха становится меньше единицы. В отличие от [4], где рассматривалась только диффузная модель отражения молекул с полной температурной аккомодацией, в [5] моментным методом исследовалось влияние степени температурной аккомодации на параметры течения за кнуд-сеновским слоем при Т > 1.
В данной работе исследование влияния неполной тепловой аккомодации на соотношение для слоя Кнудсена проводится методом прямого статистического моделирования, причем как для Т > 1, так и для Т < 1 (переохлажденный газ). Этот метод позволяет получать численное решение уравнения Больцмана без априорного предположения о виде функции распределения и о виде интеграла столкновений (в отличие от моментных методов и БГК модели). Результаты, полученные прямым статистическим моделированием, - точные численные решения уравнения Больцмана, и могут быть использованы для оценки качества других методов решения.
1. Постановка задачи. Для исследования течения в слое Кнудсена при сильной конденсации на поверхность необходимо решить уравнение Больцмана
\ % = з (/, Г)
(1.1)
с граничными условиями
-3/2
f = aps( 2 п RTS) exp
i-2 2 r2-, k + n + Z
2 RTr
-3/2
+ pr( 2 п RTr) exp
i-2 2 r2-, k + n + Z
2 RT„
k > 0, x = 0
Tr = a£Ts + (1- a£) E/(2 kJr)
f = pj 2п RTM)-3/2exp
( k + м^ ) 2 + n 2 + Z2n
2 RT„
(1.2)
(1.3)
x ^ ^
где р, - плотность насыщенных паров при температуре стенки Г,; р,, Г, и и, - плотность, температура и среднемассовая скорость газа на границе кнудсеновского слоя соответственно; Я - газовая постоянная; аЕ - коэффициент тепловой аккомодации по энергии; Ег - поток энергии отражающихся молекул перед падением на стенку; ]г - поток молекул, отраженных от стенки; к - постоянная Больцмана; /(/, /) - интеграл столкновений молекул [6]; £, п, С - декартовы компоненты скорости молекул, причем £ направлена перпендикулярно поверхности (и параллельно оси х).
Параметр рг, соответствующий отраженным молекулам, находится из условия баланса падающих, поглощенных и отраженных молекул на границе раздела фаз
= -(1-a)JJ Jkf(k,n,Z)dkdndZ
Задача о сильной дозвуковой конденсации в отсутствие тангенциальной составляющей скорости потока двухпараметрическая [7, 8]
р = ^(М, Г)
где р = рмГм/(р,Г5) - относительное давление, М = и,^к ЯГ, - число Маха, Т = Г,/Г., -относительная температура, к - показатель адиабаты.
2. Решение методом прямого статистического моделирования. Так же как и в [3, 9], решалась обратная задача: параметры р,, Г,, и, на внешней границе кнудсеновского слоя и температура стенки Г, считались заданными, а неизвестная величина р, находилась методом итераций. Пусть на г'-й итерации известна величина р, '), тогда установле-
нием по времени при р, = р, решается уравнение (1.1) с граничными условием (1.2) при х = 0 и условием (1.3) при х = Ь только для влетающих в рассматриваемую область молекул
3/2
f = pj 2п RTJ) exp
( k + ) 2 + n 2 + Z2n
2 RT
k< 0,
(2.1)
Расстояние между границами расчетной области Ь подбиралось таким образом, что дальнейшее увеличение его не приводило к изменению решения. Таким образом, функция распределения /('), получаемая при решении задачи (1.1), (1.2), (2.1), совпадает при х = Ь с искомым решением / задачи (1.1-1.3) при £ < 0 и отличается от него для вылетающих из слоя молекул (при £ > 0). Это приводит к тому, что поток массы через х = Ь не равен р,и, Разница составляет некоторую величину А/' ). Цель итерационного процесса -
о
p
Г
Р
16
12
8
4
ь 1 1
+ с!
1 х 1
>+ ! 1 1 1 I
+
I 1 2
1 X
- 5 1 4 1 1 3
'р 1 / 1 / 1
Р+ / ^ 1
- ¡> 1 / 1 X/ 1
I 1 1 /
/+/ □ 1 /
/ / о/
/ / >у\
¿/ □ / 1 °
- /У 1 оЗ^ 1 о
о
1 1
| 1 2' 4' 5' 1 1 |
0 0.2 0.4 0.6 0.8 М 1.0
Фиг. 1. Отношение давления одноатомного газа вне кнудсеновского слоя к давлению насыщенного пара при температуре поверхности в зависимости от М для различных значений коэффициента аЕ: 1-5 - к = 5/3, Т = 4; 1 - а = 1, 2-5 - а = 0.85; 2 - аЕ = 1, 3 -аЕ = 0.5, 4 - аЕ = 0, 5 - зеркальное отражение; 2', 4', 5' - вертикальные асимптоты кривых 2,4,5. Сплошные кривые - моментные решения [1, 5], символы - прямое статистическое моделирование
нахождение таких поправок к р^"1, при которых А/'-1 будет стремиться к нулю. При этом решение вспомогательной задачи (1.1), (1.2) (2.1) будет стремиться к решению искомой задачи (1.1)—(1.3). Для этого величина р^' +на ('+1)-й итерации находилась из соотношения
а^Л^ = а¿(0 - р^ (2.2)
л/2 п
где - поток массы из рассматриваемого слоя, летящий на стенку. Решение, получаемое в результате итераций (2.2), удовлетворяет закону сохранения массы для решения искомой задачи (1.1)—(1.3). Выход макропараметров задачи - плотности, температуры и среднемассовой скорости газа на постоянные значения - рм, Тте, на некотором участке расчетной области, прилегающем к х = Ь, означает, что функция распределения молекул при х = Ь максвелловская (1.3). А получаемое решение - решение задачи (1.1)-(1.3). Сходимость итерационного процесса (2.2) подтверждается проведенными расчетами.
Р
16
12
8
4
0.2 0.3 0.4 М 0.5
Фиг. 2. То же, что на фиг. 1 для: 2-5 - к = 5/3, Т = 0.5, а = 0.85; 2 - аЕ = 1; 3 - аЕ = 0.5; 4 - аЕ = 0; 5 - зеркальное отражение; символы - прямое статистическое моделирование, соединены прямыми
Для решения задачи (1.1), (1.2), (2.1) методом прямого статистического моделирования применялась процедура установления с некоторым достаточно малым шагом по времени А?. При этом пространство между плоскостями х = 0 и Ь разбивалось на ячейки размером, меньшим длины свободного пробега молекул. Внутри ячеек плотность, скорость и температура газа считались постоянными. В ячейки помещались моделирующие течение молекулы. Эволюция системы частиц на временном интервале А?, меньшем среднего времени между столкновениями молекул, расщеплялась на два этапа: 1) свободный перелет молекул за время А?; 2) столкновение неподвижных молекул, принадлежащих данной ячейке [10]. Макропараметры в ячейках вычислялись путем усреднения по времени вдоль траекторий молекул соответствующих микроскопических величин [11]. Расчеты проводились для модели молекул "псевдомаксвелловские сферы" с сечением взаимодействия о = о0/g, где о0 - постоянная, g - относительная скорость сталкивающихся молекул.
3. Анализ полученных результатов
1. Диффузное отражение. На фиг. 1 приведены результаты расчетов относительного давления р при а = 0.85, Т = 4 и различных значениях М и аЕ и моментные зависимости р(М) [1, 5]. Вертикальные асимптоты соответствуют МЦш - предельным значениям числа Маха. Сравнение расчетов, полученных прямым статистическим моделированием при аЕ = 0, с моментными зависимостями [5] указывает на пригодность результатов [5] для параметрического анализа задачи при Т > 1. Как следует из графиков, уменьшение
р
i +
i ? i
i ! i
í ? I i ! t
i ! i
¿/ i i ! i
¡i 1 i У i
У y .УУгУ'-
/ á! i
! i! t
3 5
2 , 4
* / ¿ / ' /V /
/ а/ *
ÍSs'
1 о 1 1 | |
+ 1 d
1 1 1 | X
+ 1 |
+ ' D 1
5 1 4 3
1 □ 1 2
+ 1 1 1 1
1
?! х/
•'+/ □
; / о/
; /
о
гЧ О /
о /
а У о ! о
о
| | 2' 4' 5' | 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
M
Фиг. 3. Зависимости р^(М)/р5 для различных значений 1-5 - а = 5/3, Т = 4; 1 - а = 1, 2 -5 - а = 0.85; 2 - аЕ = 1, 3 - аЕ = 0.5, 4 - аЕ = 0, 5 - зеркальное отражение, 2', 4', 5' - вертикальные асимптоты кривых 2, 4, 5. Сплошные кривые - моментные решения [1, 5], символы - прямое статистическое моделирование
коэффициента аккомодации aE приводит к заметному сдвигу кривых влево и соответствующему убыванию Mlim. На фиг. 2 приведены аналогичные зависимости при T = 0.5. Из сравнения фиг. 1 и 2 видно, что влияние aE на конденсацию газа при T > 1 и T < 1 направлено в противоположную сторону. Это объясняется тем, что в первом случае уменьшение aE приводит к увеличению энергии отраженных молекул, а во втором, наоборот, к снижению.
2. Зеркальное отражение. Распространим модель на случай зеркального отражения. На внешней границе кнудсеновского слоя функция распределения молекул по скоростям по-прежнему предполагается максвелловской (1.3).
Функция распределения отраженных молекул на границе раздела фаз задается в виде
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.