АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 4, с. 514-521
КЛАССИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ И ТЕОРИИ ВОЛН
УДК 534.26
ВЛИЯНИЕ ПОВЕРХНОСТНОЙ ИМПЕДАНСНОИ НАГРУЗКИ НА СВОЙСТВА КВАЗИРЭЛЕЕВСКИХ ВОЛН
© 2007 г. В. В. Тштекин
Акустический институт им. Н.Н. Андреева РАН 117036 г. Москва, ул. Шверника 4 E-mail: Tyutekin@akin.ru Поступила в редакцию 06.09.06 г.
Приводятся результаты теоретического исследования распространения квазирэлеевских волн вдоль плоской границы изотропного упругого полупространства, на которой закреплена нагрузка импедансного типа. Получено дисперсионное уравнение для этих волн с учетом того, что импеданс-ная нагрузка имеет нормальную и тангенциальную компоненты. Выполнен общий анализ существования таких волн в зависимости от величины и характера каждой из этих компонент. Рассмотрены конкретные примеры расчета скоростей квазирэлеевских волн - для модели поверхностной и объемной "трещиноватости" среды, слоя жидкости в упругой среде, а также для нагрузки, имеющей резонансный характер.
PACS: 43.20.Mv, 43.35.Cg, 46.40.Cd, 62.30.+d.
Хотя понятие о рэлеевских волнах появилось более ста лет назад, до сих пор продолжаются исследования волн подобного типа, а также связанных с ними, таких как волны Стоунли, Лява и др. Имеется большое количество публикаций по этой тематике, в том числе обзорного плана, например, [1-4]. Из последних работ отметим исследование рэлеевских волн для сред, не описываемых классическими уравнениями упругости, например, для среды Коссера [5] и среды Био [6].
В настоящей статье рассматривается весьма простой метод решения задач о свойствах квазирэлеевских волн в полубесконечной упругой среде, плоская поверхность которой подвергается воздействию нагрузки импедансного (локального) типа. Предполагается, что нагрузка распределена по всей поверхности равномерно и действует на нее локально, а также обладает тем свойством, что нормальные и тангенциальные напряжения, которые эта нагрузка вызывает, определяются только одноименными смещениями. Другими словами, ее импедансная матрица является диагональной. Подобные двухкомпонентные импедан-сы были рассмотрены в работах [7-9] в связи с исследованием отражения и поглощения упругих волн при их падении на поверхность тела.
Поскольку решение уравнений упругости для рэлеевских волн хорошо известно (см., например, [2]), то ниже мы приводим их без вывода. Предполагается, что волна распространяется в направлении оси х, а поверхность тела совпадает с координатной плоскостью у = 0.
Смещения в волне определяются формулами
I 2 2
ux = [Aikexp(-^k - k{y)) +
+ ßjk2 - k] exp (-Jk2 - k]y)]exp (ikx), [-Ajk2- k]exp(-Jk - k]y)) +
uy = [-
22
+ Bikexp(-¿Jk -kty)]exp(ikx).
(1)
(2)
Здесь их и иу - тангенциальное и нормальное смещения, соответственно, к - неизвестное волновое
ю
число, k =--волновое число продольных волн,
ю
kt =--волновое число сдвиговых волн, ю - кру-
- Ё
говая частота, ct = -— скорость сдвиговых волн,
X + 2 ц л
с, = --- - скорость продольных волн, X и ц -
А/ р
коэффициенты Лямэ, р - плотность среды, А и В -произвольные постоянные.
Две независимые компоненты поверхностного импеданса зададим в виде 2п - нормальный и -тангенциальный импедансы. При гармоническом по времени процессе (ехр(-/ю0) они вызывают на поверхности тела нормальное суу и тангенциальное оху напряжения, которые определяются формулами
Oyy = i ю ZnUy, g xy = iю Zux.
(3)
С другой стороны, в самой волне существуют аналогичные напряжения, связанные со смещениями соотношениями
оу
/л ~ ,диу „дих = (X + 2 ц) + X—^, ду д х
О
(д иу ди
ху Чдх + ду
(4)
(5)
На плоскости контакта (при у = 0) должны выполняться следующие граничные условия
Оуу + Оуу = 0,
Ох
■ Оху = 0
(6) (7)
, = —^, П = г = -
' Рс, к, сI
1 - 2 V 2(1-у)
, где V - коэффи-
2- 1 - -Ъ(2q - )
¿Ъ(2р - izt) 2^2 - 1 - iqzt
= 0.
(10)
Хг 5
4
3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5
Для упрощения формы записи введем безразмерную величину волнового числа Ъ = к. Оче-
к,
видно, что незатухающие квазирелеевские волны могут существовать только при Ъ > 1. Введем также безразмерные параметры:
к
-5
Рис. 1. Плоскость поверхностного импеданса. Кривые Р и Q соответствуют скорости С = 1.
Х„
2Ъ2 - 1 - рХп 2q - Хп)
¡Ъ( 2 Р - X,) 2Ъ2-1- ^.Х,
= 0.
(11)
циент Пуассона, р = - П , q = «1Ъ2 - 1.
С учетом формул (3)-(5) и этих обозначений условия (6) и (7) после несложных преобразований могут быть записаны в виде следующей системы двух однородных алгебраических уравнений:
(2Ъ2 - 1 - ipzn)А - iЪ(2q - izn)В = 0, (8)
2р - izt)А + (2Ъ2 - 1 - iqzt)В = 0. (9)
Приравнивая нулю детерминант системы (8)-(9), получим характеристическое уравнение для определения неизвестной величины Ъ
Величины Хп и X, могут изменяться от до при этом отрицательные значения соответствуют упругому, а положительные - инерционному импедансу. Уравнение (11) можно представить в следующем виде
А + рХп + qXt- (Ъ2-pq)XnXt = 0.
(12)
Нетрудно видеть, что при отсутствии нагрузки = zt = 0) уравнение (10) переходит в обычное уравнение для релеевской волны, представленное здесь в форме
А = (2 Ъ2- 1 )2-4pqЪ2 = 0.
Решения уравнения (10) существенно зависят от обеих составляющих поверхностного импеданса; при этом действительные значения для неизвестной величины Ъ получаются только при мнимых значениях zn и zt, каковые мы и будем рассматривать в дальнейшем. Исходя из этого, представим эти величины в виде zn = —'Хп и zt = - iXt. Подставив их в уравнение (10), получим
Прежде всего, определим области изменения Хп и X, в пределах которых будет выполнено условие Ъ > 1. Для удобства графического представления результатов введем в рассмотрение безразмерную с1
скорость С = — = ъ , которая для квазирелеевских
волн должна быть меньше единицы. Подставив в (12) предельное значение Ъ = 1 (С = 1) и учитывая,
что в этом случае р = л/1 - П и q = 0, получим уравнение
Х„Х.
-Л-П2Хп -1 = 0.
(13)
Уравнение (13) в координатах Хп, X, описывает гиперболу, представленную в виде ветвей Р и Q на рис. 1, где верхняя полуплоскость соответствует инерционному, а нижняя - упругому импедансу X,; аналогично, правая полуплоскость - инерционному, а левая - упругому импедансу X,,. Уравнение (12) также описывает гиперболу с горизонтальной
р0 „ v qo
X, =
и вертикальной Xn =
(Ъ0 Рoqo) (Ъ0 Рoqo)
асимптотами. Значок 0 означает, что использует-
0
5
С
Q
Рис. 2. Зависимость от безразмерной частоты скорости квазирэлеевских волн при наличии поверхностного слоя с разрезами. 1 - v = 0.5; 2 - v = 0.25; 3 - v = 0.
ся некоторое значение > 1 (C < 1). На том же рисунке в качестве примера для v = 0.3 приведена гипербола (12) для C = 0.7, обозначенная цифрой 1, и одна ветвь гиперболы для C = 0.35 (цифра 2). Из анализа рисунка можно установить общие закономерности поведения дисперсионных характеристик в зависимости от характера импедансной нагрузки. Так, можно сделать вывод, что в плоскости Xn, Xt существуют три различные зоны, ограниченные кривыми P и Q. В зоне I (импедан-сы Xn и Xt преимущественно упругие) квазирэле-евские волны не существуют. В зоне II для каждой точки импедансной плоскости существует одна квазирэлеевская волна, скорость которой уменьшается по мере удаления от кривой P. В зоне III для каждой точки существуют две волны -одна, пришедшая из зоны II, и другая, непосредственно возникшая в зоне III. Двойное пересечение кривых 1 и 2 говорит о том, что, кроме этого, могут одновременно существовать две волны с равными скоростями, но при различных сочетаниях величин Xn и X.
Помимо общих закономерностей, изложенных выше, рассмотрим несколько конкретных примеров, дающих наглядное представление о влиянии импедансной нагрузки на свойства квазирелеев-ских волн.
В качестве первого примера рассмотрим упругое полупространство, свободная поверхность которого имеет вертикальные разрезы одной и той же глубины l, малой по сравнению с длиной сдвиговой волны в среде. Предполагается, что эти
разрезы представляют собой цилиндрические поверхности с произвольной формой направляющей, а столбики внутри этих поверхностей имеют максимальное поперечное сечение ё, малое по сравнению с длиной квазирелеевской волны. При таких предположениях можно считать, что для полупространства у > 0 слой -I < у < 0 является импедансной нагрузкой инерционного типа. Нетрудно убедиться, что удельные импедансы имеют значения 2п = = -7рю/, а их безразмерные величины zn = zt = -к,, так что Хп = Xt = к,1. Вводя безразмерную частоту О = к, и подставляя ее в уравнение (12), получим относительно нее квадратное уравнение
- р«?)О2 - (р + ^)О - А = 0. (14)
Решения уравнения (14) приведены на рис. 2 в виде зависимости введенной ранее безразмерной
скорости С(О) = гтО) = С(от безразмерной Ь(О) сг
частоты О для различных значений коэффициента Пуассона. Видно, что с увеличением частоты скорость монотонно убывает от значения СК (для релеевских волн) при О = 0. Расчет выполнялся до значений О = 1 (толщина слоя I равна ~0.16 длины сдвиговой волны), что соответствует выбранной импедансной модели.
Во втором примере рассмотрим такой же слой с вертикальными разрезами толщиной 21, расположенный между двумя идентичными полупространствами в области -I > у > I. Очевидно, что в таких условиях могут существовать квазирэлеев-ские волны, локализованные вблизи этого слоя в обоих полупространствах. В силу симметрии задачи относительно плоскости у = 0 общее решение можно разбить на два независимых - симметричное и асимметричное (см., например, [9]) и рассматривать их только для одного полупространства. При этом поверхностные импедансы для каждого типа решения будут различными. С целью их определения рассмотрим граничные условия в плоскости у = 0.
Поскольку при симметричной форме колебаний слой сжимается по оси у, и каждое его сечение перемещается как целое по оси х, то соответствующие граничные условия можно записать в виде
иу (0) = 0, а ху( 0) = 0. (15)
При асимметричной форме такое перемещение происходит по оси у, а каждый полуслой колеблется по оси х в противофазе по отношению к другому. Это приводит к следующим граничным условиям:
а уу( 0) = 0,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.