ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 461, № 4, с. 410-413
= МЕХАНИКА
УДК 539.3
ВЛИЯНИЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОГО СЛОЯ НА НЕЛИНЕЙНЫЙ ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНОГО БРУСА ИЗ СЖИМАЕМОГО МАТЕРИАЛА © 2015 г. В. А. Левин, Л. М. Зубов, К. М. Зингерман
Представлено академиком РАН Н.Ф. Морозовым 26.09.2014 г. Поступило 09.10.2014 г.
Б01: 10.7868/80869565215100102
В статье решена плоская задача теории наложения больших деформаций [1, 2] об изгибе составного прямоугольного бруса, состоящего из двух слоев, один из которых предварительно деформирован. Получено точное аналитическое решение этой задачи для случая, когда брус изготовлен из сжимаемых нелинейно-упругих материалов, механические свойства которых описываются потенциалом Джона [3, 4]. Явные аналитические решения некоторых других задач о напряженно-деформированном состоянии нелинейно-упругих тел с предварительно напряженными включениями при больших деформациях получены в [5—7]. Точное решение плоской задачи об изгибе однородного прямоугольного бруса для потенциала Джона при больших деформациях приведено в [4].
1. В соответствии с теорией наложения больших деформаций выделяются три состояния (конфигурации) составного бруса: начальное не-деформированное, промежуточное и конечное. В промежуточном состоянии брус состоит из верхнего ненапряженного слоя и нижнего однородно деформированного слоя, которые скреплены по линии контакта. Конечное состояние возникает после изгиба составного бруса как единого целого. Для той части бруса, которая предварительно не деформирована, промежуточное состояние совпадает с начальным. Далее начальному состоянию соответствует индекс 0, промежуточному состоянию — 1, конечному — 2. Постановка и решение задачи осуществляется в координатах промежуточного состояния. Декартовы координаты частицы в промежуточном состоянии будем обо-
Московский государственный университет
им. М.В. Ломоносова
ООО "Фидесис", Москва
E-mail: v.a.levin@cae-fidesys.com
Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону
Тверской государственный университет
значать х, у, I, а декартовы координаты частицы в конечном состоянии — X, У, Z. Обозначим через Fkn градиент деформаций при переходе из к-го в п-е состояние. Для краткости будем опускать нижние индексы у тензоров, описывающих переход из начального в конечное состояние, например, Fol2 = F.
Рассмотрим плоскую деформацию прямо -угольного бруса, занимающего в промежуточном состоянии область 0 < х < 1, 0 < у < к. Размер по координате I значения не имеет. Область 0 < у < к1 (0 < к1 < к) занята предварительно напряженным слоем. Начальная (предварительная) деформация этого слоя относительно естественного, ненапряженного состояния материала однородна и задается следующим градиентом деформации:
Foд =Ш1 ® ^ +Yi2 ® i2 + iз ® i3, (1)
где iк — координатные орты, а и у — положительные постоянные. Для верхней части бруса (в области к1 < у < к) предварительная деформация отсутствует и F0д = E (Е — единичный тензор).
Пусть нам известно определяющее соотношение упругого материала относительно естественной, ненапряженной конфигурации тела:
D = Ф(Р). (2)
Здесь F — градиент деформации, Б — тензор напряжений Пиолы, Ф — тензорная функция отклика. Определяющее соотношение того же материала в координатах промежуточного состояния имеет вид
Б1 = (^д)-1 <1 Фр), F = Fo>l • ^, (3)
где Б1 — тензор напряжений Пиолы относительно промежуточного состояния.
Будем использовать модель сжимаемого гармонического (полулинейного) материала [3, 4], для которого упругий потенциал Жи функция отклика задаются выражениями
W = tr2 (U - E) + цtr (U - E)2, 1 - 2v
Ф(Р) = (v tr U -1 - v) A + 2|aF,
U = (F • FT)1/2, 1 TT-1
(4)
(5)
A = U"1 • F.
В (4), (5) ц, v — постоянные, U — положительно определенный тензор растяжения, A — собственно ортогональный тензор поворота. Тензоры U и A являются элементами полярного разложения градиента деформации F. При малых деформациях определяющее соотношение полулинейного материала не отличается от закона Гука с модулем сдвига ц и коэффициентом Пуассона v.
2. Решение задачи изгиба ищется в виде X = p(y) sin р х, Y = p(y) cos р х,
Z = z, в = const, где X, Y, Z — декартовы координаты точек бруса в деформированном состоянии, р — относительный угол поворота поперечных сечений бруса. Градиент дополнительной деформации, отвечающий отображению (6), имеет вид
(6)
F1,2 =PpÍ1
>в! + dP i 2 dy
>e 2 +1
(7)
пуклостью вниз. Поскольку det F12 = вр
дол-
U = Iflpix
+
dp
dy
A = sgn p i 1
»ex + sgn ^ dy
(8)
) e 2 +1
Случаи 1) p> 0 и 2) p< 0 будем рассматривать по отдельности. На основании (8) получим
Í1 ±
dp.
-^i2 ® i2 +]
(9)
и = +Рр1! 1
ау
А = ±ц ® в! ± 12 ® е2 + 1313. Здесь и далее считается, что при использовании символов ± и + верхний знак соответствует случаю 1 (р > 0), а нижний знак — случаю 2 (р < 0). В дальнейшем будем использовать еще обозначения = рр, Ъ2 = —, т.е.
ау
^ = /1(у)11 ® в! + /2(у)12 ® в2 + 1 з ® 13 . (10) Из (2), (5) вытекает представление тензора напряжений Пиолы в задаче изгиба
Б1 = А(у)11 ® в! + Б2(у)12 ® е2 + Бз(у)1 з ® 13. (11) При помощи (1)—(3), (5), (9) найдем выражения напряжений в составном брусе из полулинейного материала:
А = 7^ [(1 -^1 + vF2 + 1],
1 - 2у
А [ + (1 -У)^2 + 1],
1 - 2у
(12)
e1 = i1 cos рх - i2 sin рх, e2 = i1 sin рх + i2 cos рх. Значение функции р (y) есть радиус окружности, в которую превращается при изгибе прямая y = const, поэтому p(y) > 0.
Параметр р может принимать как положительные, так и отрицательные значения. При р > 0 брус изгибается выпуклостью вверх, а при р < 0 — вы' dp ^ V dy J
жен быть положительным, величины р и — имеют
dy
одинаковый знак. Согласно (7), тензор растяжения и тензор поворота имеют представления
Н1 < у < к;
А = 7^[(1 - у')аТ^ + V/2 + у-1],
1 - 2v
= —; [V + (1 - V ')а-1у^2 + а-1], 1 - 2v
0 < у < к1.
Здесь в соответствии с (3) штрихом отмечены компоненты тензора напряжений Пиолы в предварительно деформированном слое, ц' и V' — материальные постоянные нижнего слоя, которые в общем случае не совпадают с материальными постоянными ц и V верхнего слоя.
Вытекающие из (11) уравнения равновесия упругой среды
dD1 dy
Щ
dy
= р A, h < y < h,
= р А', 0 < y' < h1,
(13)
с учетом соотношений (12) и (7) приводят к уравнениям для неизвестной функции р (у). В рассматриваемой задаче мы предпочтем другой способ решения, а именно, составим дифференциальное уравнение относительно функций А(у) и А'2(у). Из (7) и (10) вытекает уравнение совместности
dy
= Р F.
(14)
Разрешая соотношения (12) относительно Ъ1, Ъ2, получим
/ =±1 + (2ц)-1 [(1 -^А -vА2 ], ¥2 =±1 + (2ц)-1 [А + (1 -у)%2 ], к < у < к ; Ъ = ±а-1 + (2ц')-1 [(1 - V')а-1уА' - VБ-,
¥2 = ±у-1 + (2ц ')-1 [-V' А' + (1 - V') ау, 0 < у < к1.
Подставляя (15) в уравнение совместности (14) и используя уравнения равновесия (13), прихо-
(15)
1.0 1.5 РЛх
M ц hi
И
-1.5 -1.0 у-0.5/ 0
X N 2 / 1 ......■•• / -1
\ / / 3/
V-' / /
^ 1' -2 \
Рис. 1. Зависимости изгибающего момента М от параметра р для разных значений начального удлинения а а = 0.5 (1), 0.7 (2), 1 (3), 1.3 (4), 1.6 (5).
дим к дифференциальным уравнениям для функций D2(y), D2(y)
ЛЕВИН и др.
Dl
1.0
dy
1 _v
dD' а2р2 п, _ 2ц' ар2
Т D2 - ±
h1 < y < h,
0 < y < h1.
(16)
±1 +
(1 -v)p-1 dDi -VD2 dy
2ц
(1 -v ')р-1а-1y dD -v' D2 ■ — 1 dy
= ±а +---.
2ц'
(18)
3. Общее решение уравнений (16) имеет вид
А =
Vy + A2e -py + ,
1 -v
ар
ар
D2 = B1e 1 + B2e 1 +
Y % 2Ц'
(19)
-0.5
-1.0
y
йу2 у2 (1 -V ')у
После нахождения функций £2(у) и Б'2(у) напряжения Б1(у) и Д1'(у) выражаются при помощи (13), функции /1(у) и ^2(у) определяются при помощи (15), а функция р (у) выражается так:
Р(у) = в~^(у).
Граничные условия для уравнений (16):
1) А(к) = 0, 2) £2(0) = 0, 3) ВД) = ^2(кх). (17) Четвертое граничное условие выражает требование непрерывности функции р (у) в точке у = к1 и записывается следующим образом:
Рис. 2. Распределение напряжения £1 по толщине бруса при отсутствии внешней нагрузки при а = 0.5 (сплошная линия) и а = 1.6 (штриховая линия).
Постоянные А1, А2, В1, В2 находим из линейной системы уравнений, вытекающей из граничных условий (17), (18).
Изгибающий момент, который необходимо приложить к концам бруса для реализации деформации изгиба (6), вычисляется по формуле к к м (в) = ]А'рйу + ]ар йу. (20)
0 к1
Отметим, что параметры а и у, задающие предварительную деформацию нижнего слоя, не являются независимыми. Они связаны соотно-1 - V' а
шением у = ■
вытекающим из отсутствия
а (1 -v')
1 -v'
напряжений на площадках y = const в промежуточном состоянии нижнего слоя.
Некоторые результаты численных расчетов представлены на рис. 1 для случая ц' = ц, v' = 0.3, v = 0.35, h = 2.5h1. Приведены зависимости изгибающего момента M от параметра р для разных значений кратности начального удлинения а. Эти зависимости немонотонны, что свидетельствует о существенных нелинейных эффектах. При отсутствии внешней нагрузки (M = 0) брус изгибается выпуклостью вверх, если нижний слой предварительно растянут (а > 1), и выпуклостью вниз, если нижний слой предварительно сжат (а < 1). На рис. 2 показано распределение напряжения D1 по толщине бруса при M = 0 для двух значений кратности начального удлинения а.
Результаты решения могут быть использованы для проверки точности промышленных расчетных пакетов для прочностного инженерного ана-
лиза [8, 9], включая задачи о слоистых конструкциях и слоистых композитах.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках Государственного контракта № 14.579.21.0007 (уникальный идентификатор проекта RFMEFI57914X0007). Исследования проводили в компании "Фидесис" — получателе субсидии Министерства образования и науки РФ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Levin V.A. // Intern. J. Solids and Struct. 1998. V 35. P. 2585-2600.
2. Левин В.А., Зингерман К.М. Плоские задачи многократного наложения больших деформаций. Методы решения. М.: Физматлит, 2002. 272 с.
3. John F. // Inst. Math. Sci. New York Univ. Rept IMM -NYU. 1958. № 250.
4. Лурье А.И. Нелинейная теори
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.