научная статья по теме ВЛИЯНИЕ ПРИВОДА НА ВИБРАЦИОННОЕ ПОДДЕРЖАНИЕ ВРАЩЕНИЯ Машиностроение

Текст научной статьи на тему «ВЛИЯНИЕ ПРИВОДА НА ВИБРАЦИОННОЕ ПОДДЕРЖАНИЕ ВРАЩЕНИЯ»

ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН

№ 3, 2015

УДК 534.1

© 2015 г. Герц М.Е., Герц М.М.

ВЛИЯНИЕ ПРИВОДА НА ВИБРАЦИОННОЕ ПОДДЕРЖАНИЕ ВРАЩЕНИЯ

Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, г. Москва

Выполнен динамический анализ системы, в которой под действием электродинамического вибровозбудителя возвратно-поступательное движение осциллятора преобразуется во вращательное движение массы с дебалансом. Методом осреднения в первом приближении исследованы условия существования и устойчивости стационарных режимов вынужденных колебаний. Выявлено наличие участков неустойчивости дорезонансных режимов и значительное сужение области устойчивых синхронных режимов при учете характеристик привода. Получены механические характеристики системы при использовании ее в качестве синхронного вибродвигателя. Приведен пример, в котором средний статический момент на выходе криво-шипно-ползунного механизма не превышает момента в рассмотренном способе преобразования движения при максимальной амплитуде колебаний.

На реализацию известных динамических эффектов существенно влияют характеристики привода, как правило, сужающие области существования. Так происходит в системах с "ограниченным возбуждением" [2, 3], в которых вращательный дебаланс-ный привод сообщает прямолинейное движение осциллятору. Другие примеры: явление типа "хула-хуп" при самосинхронизации в результате преобразования вращательного движения привода через линейное движение основания на вращение маятников и случай асинхронного двигателя [2]. В настоящей работе рассматривается реализация эффекта вращения маятника с вибрирующей точкой подвеса [1].

1. Динамическая модель (рис. 1, a) содержит электродинамический вибровозбудитель 1, подвижная катушка которого с обмоткой сопротивления R сообщает движение массе M (включающей массу колеса) в направлении x. Масса M через вращательную пару передает движение колесу с моментом инерции J и дебалансом m с координатами x:, y1 и плечом l. Пружина с жесткостью K и коэффициентом сопротивления B связывает массу M с основанием. Учитывается также противодействующий вращению колеса в направлении ф момент Q = —B1 ф — Q0sign ф , где B1 — коэффициент сопротивления, Q0 > 0 — суммарный момент Кулонова трения и полезной нагрузки. Напряжение на обмотке составляет величину E = E0cos rat, где E0 > 0, ra — амплитуда и частота.

Сравним предложенную схему с исследованными ранее. Модель рис. 1, a получается заменой входа на выход в одной из моделей [3] с "ограниченным возбуждением", то есть вместо вращательного привода координаты ф рассматривается поступательный привод 1 координаты x. Если же на ось колеса поместить одно или несколько колес с дебалансами и заменить вибровозбудитель 1 рис. 1, a вращательным приводом на одно из колес, то получим частный случай системы синхронизации, рассмотренной в [2].

Отметим, что в последнем случае присутствуют два эффекта — "ограниченного возбуждения" в системе с несколькими степенями свободы и вибрационного (за счет ко-

Рис. 1

лебательного движения массы M) поддержания вращения. Учитывая, что в системе электродинамический вибровозбудитель — линейный осциллятор отсутствует эффект "ограниченного возбуждения", то именно рассматриваемая модель рис. 1, а позволит выявить влияние привода на вибрационное поддержание вращения.

Система рис. 1, a является альтернативой кривошипно-ползунному механизму рис. 1, б, также преобразующему поступательное движение во вращательное.

Переходя от координат x¡, y к обобщенным координатам x, ф по соотношениям x = x: + lsinф, lcosф = y1, имеем выражения для кинетической T и потенциальной П энергий

2 2 2 2 T = 0,5(Mx + mx - 2/rnupcosф + /ф ), П = 0,5Kx - mglcosф, (1)

где g — ускорение свободного падения.

Добавляя к (1) силы сопротивления и обобщенную силу возбуждения E с учетом характеристики вибровозбудителя по уравнениям Лагранжа, получаем уравнения движения

2

(m + M)x + Bx + Kx = milcosф - m/ф sinф + Hz,

. (2)

/ф + В1<ф + mglsin ф = -Q0 sign ф + mlxcos ф, Rz + Hx = E0cos 9, 9 = ю,

где переменная z — ток, H — коэффициент электромеханической связи. Третье уравнение в (2) определяет статическую характеристику вибровозбудителя, индуктивность обмотки L которого предполагается малой величиной &LR1 1. Это уравнение справедливо также для приводов других типов, например, пневматических, гидравлических и внутреннего сгорания при использовании линеаризованных статических характеристик с соответствующей заменой коэффициентов R, H, E0. Осуществляя в (2) замену переменных

x = A cos у, x = -ю0А sin у, ф = Q. (3)

Здесь ю0 = л/К/(m + M), полагая медленными переменные v = 9 — у, Z = У — ф и малыми расстройки ю — ю0 = Аю, ю0 — Q = AQ при условиях

I -1 I I -1 I 2

|юю0-1| ^ 1, |Qro0-l| ^ 1, (RB + H )/ю0 R(m + M) < 1,

2 2

E0H/v0A0R(m + M) < 1, m/D2/R(m + M) ^ 1, B1/ю0/ ^ 1, mgl/rn0Q0J < 1, 6o/®oD0J ^ 1, m/A0/J < 1

(A0, D0 — величины порядка стационарных решений первого приближения) после осреднения по быстрой переменной у получаем уравнения первого приближения

• -1 2 -1 A = -bA + e(2ю0) sinv + m/D [2ю0(m + M)] cosZ,

v = ю-ю„ + e( 2„„A )-1cos v + ^ (m + M) ]-1sin Z,

• -1 2 -1 Z = ю0 -D-e(2ю0А) cosv -m/D [2ю0А(m + M)] sinZ,

D = -2b1D -Q0 J1 -m/ra0DA(2J) 1cosZ,

где 2b = (RB + H2)/R(m + M), e = E0H/R(m + M), ю0 = jK/(m + M), 2bx = BJJ.

Приравнивая нулю правые части уравнений (4), находим уравнения для определения параметров стационарных режимов

1 2 1 D = 0, e(2ю0) sinv = Ab-m/ю [2ю0(m + M)] cosZ,

e(2ю0) 1cosv = A(a0 -ю) -m/a2[2ю0(m + M)] 1sinZ, (5)

cos Z = -2 (Q0 + B1 ю) / m/a0aA.

Исключая из (5) тригонометрические функции, после преобразований получаем выражение для амплитуды колебаний

e

2 2Ьш(Q0 + В1ш) m2/2»4 lr( ,2 .2, m2/2m4(»0-ш)2

Ir/ \2 1.2, / г|[(ш0-ш) + b ] + -

(m + M) 4 (m + M)J (m + M)2

(6)

± e2m2/2ш4 2bmz/V(Q0 + B1 ш) 4(Q„ + B1 ш)2[(»0-ш)2 + ¿1 I 2[(. )2 ,2] bV/V ± U----------¡-со [(co0- ш) + b ] - "

/

(m + M) (m + M) (m + M) J 4 (m + M)

/»0 [(»0-ш)2 + b2]2.

Устойчивость стационарных режимов (5), (6) определяется по уравнениям в вариациях системы (4) (A = A* + 8A, v = v* + 8v, Z = Z* + §Z, D = D* + 8D), коэффициенты которых являются элементами характеристического уравнения = 0. Величина каждого коэффициента определителя находится из частной производной правой части j уравнения (4) по i переменной и A, v, Z, D в стационарных точках (4)

b11 = -I2-X, b12 = /1cos v, b13 = -I3sin Z, b14 = 2 ю 1I3cos Z,

2 2 1 1 b21 = -I1A cosv-I3A sinZ, b22 = -I1A sinv-X, b23 = I3A cosZ,

b24 = 2ю I3A sinZ, b31 = I1A cosv + I3A sinZ, b32 = I1A sinv, (7)

b33 = -I3A *cosZ-X, b34 = -1-2ю 1I3A *sinZ, b41 = -m/a0a(2J) *cosZ,

b42 = 0, b43 = m/ю0 ю( 2 J) 1A sin Z, b44 = -2b1 -m/ю0( 2J) 1A cos Z-X,

где II = е/2ю0, I2 = b, I3 = ю2ш1/2ю0(ш + M); * — звездочки при стационарных значениях опущены.

Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости получаются из характеристического уравнения линеаризованной системы с элементами (7) + C3X + C4 = 0 и имеют по критерию Раусса—Гурвица вид

С1 > 0, С2 > 0, C3 > 0, C4 > 0, C3(C1C2 - C3) - C4C2 > 0. (8)

Четвертое условие (8) в данном случае содержит 1900 членов, поэтому (8) находится численно.

2. Первое выражение в (5) показывает, что вибродвигатель по схеме рис. 1, a является синхронным. Наиболее распространенными являются асинхронные вибродвигатели [4, 5], преобразующие высокочастотные колебания резонатора в относительно медленное вращение ротора.

Второе и третье соотношения в (5) соответствуют нелинейному осциллятору, демпфирование и собственная частота которого зависят от момента сопротивления движению колеса и частоты вынужденных колебаний.

В частном случае при Q0 = 0 и J = ml2 из четвертых уравнений (4), (5) получаем параметры стационарного режима синхронного вращения математического маятника с вибрирующей по гармоническому закону с амплитудой А и частотой ю точкой подвеса cos Z = —2В1/ш1ю0А. Это выражение с точностью до величин второго порядка малости (4), (5) совпадает с полученным во втором приближении метода осреднения в [1] соотношением cos Z = —2Б1/ш1юА. При этом и Q0 > 0 четвертое уравнение (4) с той же точностью совпадает с аналогичным для частного случая в нулевом приближении метода прямого разделения движений [6].

Рассмотрим систему (2) с параметрами ш = 8 ■ 10-3 кг, M = 5 кг, B = 10 кгс-1, ю0 = 100 с-1, l = 0,2 м, H = 10 НА-1, J = 0,32 кгм2, Bl = 10-5 Нмс, Q0 = 1,5 ■ 10-2 Нм, L =1,6 -10-3 Гн, R = 4 Ом, где взяты данные реального вибровозбудителя [7]. На рис. 2 для данного примера показаны построенные по (5), (6) амплитудно-частотные характеристики при амплитудах напряжения на обмотке E0 = 12 В (кривая 1), E0 = 9 В (кривая 2), E0 = 8,4 В (кривая 3). Устойчивые, согласно (7), (8), режимы обозначены сплошными линиями.

Рассмотрим характерные особенности исследуемой системы.

В отличие от систем с "ограниченным возбуждением" [2, 3] при изменении напряжения вибровозбудителя не происходит перескоков по частоте - последняя задана. Как и в частном случае системы синхронизации [2], зарезонансные режимы неустойчивы. Отличием является неустойчивость режимов в окрестности резонанса и их отсутствие при уменьшении вынуждающей силы (то же напряжения E0).

Для маятника с вибрирующей точкой подвеса существует ограничение по передаваемой мощности [1, 6]. Легко показать, что в нашем случае для максимума амплитуды мощности из четвертого выражения (5) оно сводится к соотношениям

|cosZ < 1, А > 2(Q0 + юВ1)/mlaa0 (9)

и допускает все режимы выше кривой 4 (9) (рис. 2). То же выражение при ю0 = ю (9) для маятника в частном случае получено в [6]. Для маятника [1, 6] в каждой точке области существования эффекта (9) имеются два режима - устойчивый и неустойчивый. При учете характеристик привода в каждой точке кривых 1-3 (рис. 2) существует единственный режим.

Для различных значений момента Q0 = 1,5 ■ 10-2 Нм (кривая 1), Q0 = 2 ■ 10-2 Нм (кривая 2), Q0 = 2,6 ■ 10-2 Нм (кривая 3) и E0 = 12 В (рис. 3) характер кривых сохраняется.

2 ПМ и нм, № 3

33

A, м 0,0063

0,0045

0,0027

0,0010

3I\ 2\

4! /уй(\ \

A, м 0,0063

0,0045

0,0027

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Машиностроение»