АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2009, том 86, № 9, с. 928-934
УДК 523.92-46-337
ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ МЕРИДИОНАЛЬНОЙ ЦИРКУЛЯЦИИ В СОЛНЦЕ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ ДИНАМО-ВОЛН
© 2009 г. Е. П. Попова
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Москва, Россия Поступила в редакцию 07.04.2009 г.; принята в печать 07.04.2009 г.
Исследовано влияние солнечной меридиональной циркуляции на распространение динамо-волны в зависимости от вида движения вещества в приближении Паркера. Показано, что учет меридиональной циркуляции позволяет увеличить длительность цикла солнечной активности, причем поведение динамо-волны существенно зависит от широтной зависимости скорости движения вещества. Полученные результаты открывают возможность качественного объяснения минимума Маундера.
РАС Б: 96.60.Jw, 96.60.Hv
1. ВВЕДЕНИЕ
Циклы солнечной активности принято связывать с действием механизма динамо. Схема работы динамо была предложена в фундаментальной работе Паркера [1]. Рассмотрим полоидальное магнитное поле как поле магнитного диполя, находящегося в центре Солнца. Тороидальное магнитное поле получается из полоидального под действием дифференциального вращения, находящегося внутри конвективной зоны Солнца. Обратный процесс превращения тороидального магнитного поля в полоидальное осуществляется в результате нарушения зеркальной симметрии конвекции во вращающемся теле. Сила Кориолиса при действии на поднимающиеся и расширяющиеся (опускающиеся и сжимающиеся) вихри приводит к преобладанию правых вихрей в северном полушарии (левых вихрей — в южном полушарии). Электродвижущая сила, возникающая в результате действия электромагнитной индукции Фарадея, после усреднения по пульсациям скорости приобретает компоненту, параллельную среднему магнитному полю. Она и замыкает цепь самовозбуждения в динамо Паркера. Прямое рассмотрение простейших моделей динамо предсказывает слишком короткий цикл активности. Для того чтобы разрешить возникающую трудность, можно учесть адвективный фактор. Влияние такого фактора, в данном случае меридиональной циркуляции, ранее изучали методами прямого численного моделирования уравнений среднего поля [2]. В работах [3, 4] рассматривался вопрос о влиянии меридиональной циркуляции на эволюцию магнитного поля, генерируемого механизмом динамо, в рамках простейшего обобщения уравнений
динамо Паркера. Наблюдательные сведения о виде меридиональной циркуляции достаточно неопределенные. Поэтому изучение поведения решения при различных видах меридиональной циркуляции и его сопоставление с наблюдениями может быть полезным для теоретических предсказаний вида меридиональной циркуляции в рамках модели динамо и, тем самым, может пролить свет на характер движения вещества в конвективной зоне Солнца.
В работах [3, 4] рассматривался простейший случай, когда меридиональная циркуляция является константой в северном полушарии и имеет противоположный знак в южном полушарии. Это предположение с очевидностью ограничено. Цель данной работы снять условие постоянства по широте меридиональной циркуляции.
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ Рассматриваемая модель является одномерной задачей динамо в тонкой оболочке при наличии адвективного фактора:
дА п д2 А
- + = + (1)
дВ
д (V (д)В) BA д2В
Здесь В — тороидальное магнитное поле, A пропорционально тороидальной компоненте векторного потенциала, которая определяет полоидальное магнитное поле, д — широта, которая отсчитывает-ся от экватора. Множитель cos д отвечает уменьшению длины параллели вблизи полюса [5]. Уравнения выписаны в безразмерных переменных, так
что амплитуды альфа-эффекта, градиента угловой скорости и коэффициент турбулентной диффузии объединены в безразмерное динамо-число Б. Во втором уравнении опущен малый вклад альфа-эффекта, т.е. используется так называемое аш-приближение. В диффузионных членах опущены эффекты кривизны. Считается, что радиальный градиент угловой скорости не меняется с в. О формальной процедуре вывода подобных уравнений см. [6]. По соображениям симметрии (а(-в) = = -а(в)) уравнения (1), (2) можно рассматривать лишь для одного (северного) полушария с условиями антисимметрии (дипольная симметрия) или симметрии (квадрупольная симметрия) на экваторе. Поскольку магнитное поле Солнца имеет дипольную симметрию, такой случай рассмотрен в данной модели. Величина V описывает меридиональную циркуляцию.
Уравнения (1), (2) восходят к работе Брагинского [7] (см. также [8]). Однако в этих работах молчаливо предполагалось, что меридиональная циркуляция являлась константой, и в уравнении (2)
дВ
фигурировала часть В нашем случае при-
ходится учитывать зависимость меридиональной циркуляции от широты, поэтому мы провели более детальные вычисления.
Следуя [3, 4], решение системы (1)—(2) ищем в виде
A
,B\D\
-2/3
(3)
IQ =
(4)
Если меридиональная циркуляция слабее, чем следует из уравнения (5), тогда она незначительно влияет на динамо. Оценка (5) показывает, что физически интересные значения меридиональной циркуляции имеют тот же масштаб величин, которым определяется длительность цикла. Это вполне соответствует сложившимся представлениям по этому вопросу.
В нулевом приближении, подставляя выбранный вид искомого решения в уравнения (1), (2), получаем алгебраическую систему уравнений для ^ и V:
Г/ + ikv/ = av — k
(6)
Гv + ikvv = —i sgn(D)k/ cos в — k2v. (7)
Условие разрешимости для этой системы представляет собой соотношение для частоты динамо-волны и ее волнового вектора — так называемое уравнение Гамильтона—Якоби
(8)
= ехр(г|Б|1/3 5 + т*)(Ъ + \П\-1/3{г + ...), где 7 = |D|2/3Г + |D|1/3Гl + ...,
^ * = (£
5, Цг и иг — гладкие функции и |D| ^ 1. Данный подход подобен известному методу ВКБ в квантовой механике [9], так что 5 — аналог действия, а его производная к = 5' соответствует импульсу, или волновому вектору, который в данном случае является комплексным. Комплексное 7 определяет собственное значение; его действительная часть дает скорость роста, а мнимая дает длительность цикла активности.
Множители Б^^3 в комплексной скорости роста и в действии выбраны так, чтобы дифференциальное вращение, а-эффект, собственное значение и диссипация оказались одного порядка и вошли в старший член асимптотического разложения. Меридиональная циркуляция включена в тот же старший член асимптотического решения при
V = Б^у. (5)
[Г + ikv + k2]2 — iak = 0,
где а = a cos в, а меридиональной циркуляции соответствует слагаемое ikv.
Уравнение (8) при известном Г представляет собой алгебраическое уравнение четвертого порядка относительно k. Чтобы перейти к его исследованию необходимо найти Г.
В работе [3] была описана процедура исследования подобной задачи для v = const. При этом левая часть уравнения Гамильтона—Якоби не содержала явно в, и можно было рассматривать a как параметр. Тогда при заданных a и Г четыре решения уравнения (8) могут быть представлены как точки на комплексной плоскости импульса k. При изменении параметра a эти точки образуют четыре ветви на плоскости k.
В данной работе в левой части уравнения Гамильтона—Якоби есть явная зависимость от в, так что описываемый в [3] метод поиска k прямо применять нельзя. Поэтому мы сначала определяем в*, при которой происходит смыкание ветвей k, а затем находим v* в точке в*. Подставляя значение v* в (8), получаем уравнение
[Г + ikv* + k2]2 — iak = 0, (9)
где явной зависимости от в уже нет, и можно применять процедуру, описываемую в [3].
Из граничных условий следует, что Imk < 0 при в = п/2 (динамо-волны затухают на границе) и Imk > 0 на экваторе (динамо-волна затухает на экваторе). Поскольку а = 0 на полюсе и экваторе, концы четырех ветвей для k могут быть получены из уравнения
Г + ikv* + k2 =0.
(10)
дк
= 0.
Следовательно
2(2ко + ¿V* )(Г + ¿ко V* + к0) = га*,
где а* -§- максимальное значение а, а к0 = к (в*). Из (9), (12) для к0 имеем
4ко (2ко + гV*) = га*. С помощью (12) получаем
Г« =
га
2^* + 2к0 )
Эти уравнения используются для построения Г(г) как функции V*.
Итак, получены три возможных значения к0, а из (12) — три значения Г, которые, как функции V*,
представлены на рис. 1. Величина 1тГ обращается в нуль, т.е. решение растет без осцилляций, если
3
> устц = - у^- (15)
Рис. 1. Зависимость трех значений ЯеГ от скорости циркуляции V*.
Для растущих решений (НеГ > 0) один корень уравнения (10) принадлежит верхней, а другой — нижней полуплоскости.
Не существует одной ветви к (а), гладко соединяющей точки, отвечающие полюсу и экватору. Поэтому нужно подобрать Г так, чтобы гладкое решение сшилось из каких-либо двух ветвей — это и есть условие для определения Г. Как и в обычном динамо Паркера, считаем, что сшивка происходит в точке в = в*, где а становится максимальным. В [3] показана правомерность этого выбора.
Условие того, что две ветви к (а) имеют общую точку, состоит в том, что обращается в ноль производная левой части уравнения Гамильтона—Якоби по к:
ан - но
3. ЗАВИСИМОСТЬ ПОВЕДЕНИЯ РЕШЕНИЯ ОТ ВИДА МЕРИДИОНАЛЬНОЙ
циркуляции
Исходя из простых соображений, можно сделать некоторые предположения относительно вида меридиональной циркуляции. Так как в данной работе мы рассматриваем одномерную задачу, следовательно, меридиональную циркуляцию мы должны представить в виде функции, зависящей только от в. Если предположить, что движущееся к полюсам вещество уходит из слоя, в котором работает динамо, то на полюсах меридиональная циркуляция спадает до нуля, а в средних широтах имеет максимальное значение. В качестве модели такой меридиональной циркуляции мы используем
V(в) = V вш 2в. (16)
Можно предположить, что, наоборот, вещество в процессе движения к полюсам нигде не накапливается и не уходит из слоя вплоть до непосредственной окрестности полюсов. Тогда при приближении к полюсам скорость течения должна увеличиваться и, следовательно, меридиональную циркуляцию можно представить в виде
V (в ) =
вт 2в
(17)
Рассмотрим также комбинированный случай, когда
V (в ) = V(a + Ь вш2в), (18)
а также случай, когда
у(в) = V (а + -
Ь
вт2в
(19)
(12)
(13)
- к?V* - (к(0г))2. (14)
Решая уравнение (9), получаем четыре ветв
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.