№ 6
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2014
УДК 681.5:621.313
ВЛИЯНИЕ РАЗРЕЗА ПЛАСТИНЫ НА ВИХРЕВЫЕ ТОКИ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНУЮ СИЛУ, ИСПЫТЫВАЕМУЮ ДВИЖУЩИМСЯ ВИТКОМ С ТОКОМ
© 2014 г. В. И. АСТАХОВ, Э. М. ДАНИЛИНА
Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) им. М.И. Платова, г. Новочеркасск E-mail: v.astakhov@mail.ru; elka-hy@mail.ru
Выполнен расчет вихревых токов и координат электромагнитной силы, испытываемой прямоугольным витком, несущим постоянный ток, при движении витка над немагнитной бесконечной проводящей пластиной с разрезом. Последний имитирует стык путевой структуры системы электродинамического подвеса.
Расчет проведен в условиях, когда пластина является геометрически тонкой и может быть заменена проводящей поверхностью. Принятая идеализация подтверждается сравнением с данными расчетов, полученными другими авторами по строгой математической модели для пластины без разреза.
Результаты, представленные графиками зависимостей координат электромагнитной силы от времени, показывают, что подъемная сила над разрезом испытывает провал, который может достигать десятков процентов, а возмущение тормозной силы имеет знакопеременный характер и может многократно превышать по модулю ее значение.
Ключевые слова: пластина с разрезом, движущийся виток, вихревые токи, электромагнитная сила.
THE EFFECT OF A CUT IN A PLATE ON EDDY CURRENTS AND ELECTROMAGNETIC FORCE ACTING ON A MOVING LOOP WITH CURRENT
V. I. Astakhov, E. M. Danilina
Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk E-mail: v.astakhov@mail.ru, elka-hy@mail.ru
It was calculated eddy currents and coordinates of electromagnetic force acting on a moving loop with direct current over infinity conducting plate with a cut. The cut imitates a splice-joint (clinch) of a roadbed of electrodynamical levitation system.
The calculation was carrying out in conditions when the plate is geometrically thin and can be replaced by conducting surface. The used idealization is confirmed by the comparison with the calculation data which was obtained by other authors with a help of the strict mathematical model for the plate without a cut.
The results afford to make an estimate of time behavior of inserted agitations by the cut in electromagnetic force.
Key words: the plate with a cut, moving loop, eddy currents, electromagnetic force.
Рис. 1. Расположение витка над пластиной с разрезом
Разрезы (стыки) проводящего путевого полотна — один из источников возмущений, действующих на катушку с током (постоянный магнит), которая играет роль магнитной опоры в системе электродинамического подвеса. Оценка возмущений, вносимых стыком в электромагнитную силу, испытываемую катушкой, может быть полезна при разработке системы демпфирования (гашения колебаний) и удерживающей арматуры. Рассмотрим приближенный способ получения такой оценки на примере прямоугольного витка с постоянным током i, летящего со скоростью и = -eyu (и = const, и < c, c — скорость света в вакууме) над бесконечной немагнитной проводящей пластиной с разрезом, выполненным вдоль оси координаты х. Расположение витка относительно пластины и геометрические параметры, которые будут использоваться, показаны на рис. 1. В частности, геометрический центр витка A (пересечение диагоналей) имеет координаты 0, yA, zA в декартовой системе координат.
Исходная постановка
Будем считать пластину геометрически тонкой в том смысле, что к/2 < , поэтому
при разложении в теле пластины индукции В 0 магнитного поля витка в ряд Маклоре-на достаточно удерживать лишь пару слагаемых, т.е.
В0 (х, у, г) = В0 (х, у, 0) + г (х, у, 0), |г| < к/2. (1)
дг
Кроме того магнитным и тепловым эффектами г-координаты плотности 5 объемного тока пластины пренебрежем в силу ее малости и быстрого затухания при удалении от
края [1] (в пластине без разреза ее нет), т.е. полагаем 8 = ~ёх 8 х + ~ёу 8 у, где ех, еу — единичные орты системы декартовых координат; 8 х, 8 у — координаты плотности тока.
В этих условиях электромагнитная сила ¥, испытываемая витком со стороны вихревых токов пластины, выглядит как
V 2
¥ = -ДОс1Б I [5В°]Сг = -До[аВ°]СЛ - ДО
Л -к/2 Л Л
где £ — срединная плоскость пластины (г = 0); а = Г2 8Сг — линейная плотность по-
¿-Щ 2
верхностного тока; т = Г2 г8Сг — линейная плотность дипольного момента (диполь-¿-к/ 2
ная плотность) вихревых токов, также учтено, что со стороны собственного магнитного поля пластина испытывает нулевую силу.
-д B т —
д z
dS = Fn + FT
Отметим, что дипольная плотность Т учитывает проявление эффекта близости и в рамках принятых допущений [1] не чувствительна к наличию края, следовательно, и разреза пластины. Поэтому можно ожидать, что вклад эффекта близости в возмущение электромагнитной силы будет ничтожно мал, и следует уделить внимание рассмотрению
^ = - Ц[о В >5.
(2)
Воспользуемся еще раз геометрической малостью толщины h пластины. При рассмотрении магнитного поля снаружи отождествим пластину с ее срединной плоскостью S, несущей вихревые токи плотностью а. В теле пластины подчиним плотность 5 объемного тока уравнению
3 и < V2,
(3)
где у — удельная проводимость материала пластины, = 4л-10 Гн/м, известному [2] как "приближение плоской волны". Это приближение опирается на физический факт, состоящий в том, что, проникая из воздуха в проводник, электромагнитное поле распространяется в основном в глубь проводника. Объясняется это большим различием длин электромагнитной волны в воздухе и проводящей среде [2].
Прежде чем записать уравнения электромагнитного поля для нашей задачи, подвергнем его характеристики преобразованию Фурье [3] по координате х:
/(т) = [ в]тх/(х)с1х, /(х) = -1 [ е ]тх /(т)йт 1 2п J
(4)
и аналогичному преобразованию по переменной £
/(ю) = | е^/т, /(?) = 2- | е^/(Ю)йю.
(5)
После этого, учитывая (3), найдем [1]
го1 ИЕ = -/ юВи Шуе = 0 о = у Е
и = 0,
М >0;
гог(Я - ни) = 0 &уВ = 0 В = Ц 0Н
И > 0;
(6)
Щ = 0, у = 0;
у = ^ Ш А, 2
Р = 4мт);
Яог н = о
и = 0;
Б1уВ = 0 |н(ш, у, И, ю) - Н0(ш, у, и, ю)| -
0,
Р
Р(т, У, Ю)1 у_> 0;
где у — линейная комплексная проводимость, а производные по координате х в дифференциальных операциях заменены умножением на —/т. Остальные обозначения — общепринятые.
Первый столбец соотношений в (6), с учетом правила обратного преобразования Фурье (4), определяет электрическую компоненту (ее фурье-образ по времени) на плоскости z = 0 (снаружи она не представляет интереса), второй — магнитную компоненту во всем пространстве.
5
ОТ
30
Решение задачи
В терминах функции тока у, вводимой равенством а = |^гаё у ] и калибровкой V = 0, у = 0, задача для электрической компоненты приобретает вид [1]
Лу = , у * 0,
¥ = 0, у = 0, (7)
М—п-> 0,
|у|->ю
. 2 а ш . где Ау = —т у +--у, л = ] юу ц 0, - ж < ю < ж, - ж < т < ж.
а у
Заметим, что при ю = 0 имеем X = 0 и у - 0, поэтому этот случай из дальнейшего рассмотрения исключим.
Решение задачи для магнитной компоненты есть закон Био-Савара—Лапласа [4], представленный в терминах фурье-образов. В частности [1],
да
И (т, ум, 0, ю) = -Д 2П | V (т, ун, ю) К (\т\ |ун - ум|) ¿ун + И% (т, ум, 0, ю),
—да
где К0 (|т |ун - ум|) - функция Макдональда [5] аргумента \т\ \ун - ум|.
Вернемся к задаче (7) для электрической компоненты. В дальнейшем будет удобно продолжить дифференциальное уравнение на всю ось координаты у. Для этого достаточно учесть, что в точке разреза производная йу/¿у терпит скачок, поэтому правая часть равенства в уравнении (7) получит дополнительное слагаемое
^ (m,0+, ю) - ^ (m, 0_, ю)S(y), v dy dy )
где 8(у) — функция Дирака [6]; знаки "+" и "—" в аргументах означают, что рассматриваются предельные значения со стороны положительных и отрицательных значений координаты у соответственно.
К полученному применим преобразование Фурье по координате у, заменив в равенствах (4) т на п, х — на у. В результате рассматриваемое уравнение примет вид:
-(т2 + п2)у = ^^т22+П2 V + ^ (0+) - ^ (0-)] + И1.
Здесь у = у (т,п, ю), И*° = И° (т,п,0, ю),также использованы табличные интегралы [5], [6]:
|K0 (Px)cos(ax)dx = —. п , J" cos(ny)b(y)dy = 1. о 2V a2 +P2
Отсюда найдем
^(m,0+, ю) - ^(m, 0_, ю)) + XH0 (m, n, 0, ю) dy_dy_1_
¥ (т, П, Ю)=-2-^ 2 + 2 + 2 + 2-' (8)
(2\ т + п +А)\ т + п
после применения обратного преобразования получим
да
да
/ \да
i \ 21 dy, s dy, sW cosnydn
V(m,y,ю) =—I -ь(m,0ю)--^(m,0_,ю) I I—¡=----f
dy dy ) ¿(2V m2 + n2 + X)V,
m2 + n2
X г e JnyH° (m, n, 0, ю) dn
-- ]~нт2—Гг? -да< У
п 3(2V m + n + X)v m + n
—да V
Нетрудно убедиться, что интеграл [7]
G( m) = "г_dn_= (п/2) - arctg(X/V4m2 -X2)
' 0 (Wm2 + n2 + XyímF+ñ2 V4m2 - X2
(10)
при конечном X в ноль обратиться не может, поэтому из краевого условия задачи (7) следует
Jdy, „ ч dy, „ Л X г Ho (m,n,0,ra)dn
-2(m,0+,(m,0^Ьтгт^ J i 2 2-/==
^ dy dy ) G (X, m)_; (2Vm2 + n2 + X)Vm2 + n
после подстановки в (8), (9) будем иметь у = у 1 + у 2, причем , ч 2ХН° (т, п, 0, ю)
VI (m, п ю) =-- и 2 2 2 (11)
(2\ т + п + Х)\ т + п
— фурье-образ решения задачи в отсутствие разреза;
да 0 , ,
/ % X с Ни (т,у,0,ю)dv
^ (Ш, n, =-/==-П-- 1 / 2И ( 2 I 2---(12)
О(X, т) (2>/ т2 + п + Х)л1 т2 + п (2У т2 + V2 + Х)4т
— вклад разреза.
Входящий в эти формулы фурье-образ Н^ (т, п, 0, ю), z — координаты напряженности магнитного поля витка (рис. 1) находится последовательным применением преобразований (4)—(5) к оригиналу
2 b¡ 2 a¡ 2-ut
H0 (x, y, z, t)= -Lf d^ f . dn ,
4ndZ 2 _b/ 2 -a/ 2-J (5- X )2 + (П-У)2 + (zA - Z))
-Ь/ 2 -а/ 2-и?1
в записи которого предполагается, что в нулевой момент времени геометрический центр витка (точка см. рис. 1) находится над разрезом. После технически несложных вычислений получим
г0, \ .vm2 + n2 • ímb\ ■ (na\ -4ñF+ñ|zA-Zs, -------- : 4ш-sinI —isinI —ie [A 'o(nv-
HZ(m, n,z, ю) = 4яГ"' ^ " sini^i sinpie '^5(nu + ю). mn \ 2 / \ 2 /
Применяя теперь к обеим частям равенств (11)—(12) обратное преобразование (5), найдем
2X* (n) Н0°(т, n, 0, t)
¥i(m,n,t) =--2 ^ zV ' ' '2 2, (13)
(2\ m + n + X*(n))V m + n
1 г X*(u)H0 (m, v, 0, t)dv ^ n,0 = 21 2 J- У z ( ' ' ' ) 2 2-, (14)
Vm2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.