ИЗВЕСТИЯ РАН. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ, 2015, том 79, № 7, с. 997-1004
УДК 538.9
ВЛИЯНИЕ СПАРИВАНИЯ НА ТЕПЛОЕМКОСТЬ СИСТЕМ С ИЗОЛИРОВАННОЙ ГРУППОЙ УРОВНЕЙ
ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ ФЕРМИ © 2015 г. А. В. Лунёв, В. М. Михайлов, А. К. Власников
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Санкт-Петербургский государственный университет" E-mail: lunars@mail.ru
Рассчитана каноническая теплоемкость в зависимости от температуры для систем с изолированной группой уровней вблизи поверхности Ферми (F) при использовании точных собственных значений эффективного гамильтониана БКШ (HBCS ). Если в сферических системах имеются два вырожденных уровня, разделенных энергетическим интервалом As, это может привести к двум максимумам в C при малых значениях G/As. С возрастанием G/ Ае и при деформациях системы эти два максимума объединяются в один.
DOI: 10.7868/S0367676515070170
ВВЕДЕНИЕ
Одночастичные энергетические спектры таких мезоскопических систем, как атомные ядра или металлические кластеры, демонстрируют заметные нерегулярности. Примерами этого явления могут служить оболочки в сферических ядрах и кластерах, разделенные большими энергетическими интервалами, а также менее ярко выраженные "оболочки" в деформированных ядрах, теоретическая возможность появления которых была рассмотрена О. Бором и Моттельсоном [1], которые хорошо заметны на любой рассчитанной схеме одночастичных уровней деформированных ядер (см., например, [2, 3]).
Эти нерегулярности в одночастичных спектрах оказывают влияние на силу парных корреляций, определяющих сверхтекучие свойства ядер или сверхпроводящие свойства кластеров. Сгущение уровней вблизи уровня Ферми (Ш) приводит к усилению парных корреляций, разрежение — к ослаблению. Такие колебания силы спаривания, проявляющиеся в изменениях парной энергии или спа-ривательной щели, хорошо известны как для ядер [4], так и для кластеров [5].
Менее изучено влияние этих нерегулярностей на термодинамические свойства систем с развитыми парными корреляциями. На основе эффективного спаривательного взаимодействия, предложенного Бардиным, Купером, Шриффером (БКШ), были довольно подробно рассмотрены термодинамические свойства систем с парными корреляциями, в которых уровнем Ферми являет-
ся сильно вырожденный уровень, не полностью заполненный частицами (см. [6] и литературу в этой работе). В ядерной физике такая ситуация реально не осуществляется, так как вблизи уровней с большим одночастичным моментому (т.е. с большим вырождением), таких как ^ 9/2, 1Л11/2 или 1/13/2, всегда находятся уровни с меньшим у. В кластерах такая ситуация была бы возможна, однако если уровень не полностью заполнен, то конкуренция спаривательных и деформирующих сил приводит к деформации системы (эта конкуренция рассматривалась в [7]). Это приводит к расщеплению сильно вырожденного уровня и интерпретируется как проявление эффекта Яна и Теллера.
Тем не менее эта модель одного уровня является хорошим примером, демонстрирующим, насколько использование точных собственных значений (ТСЗБКШ) эффективного гамильтониана БКШ изменяет теоретические термодинамические свойства, рассчитанные с помощью стандартного вариационного метода этих же авторов (СВМБКШ) или квазичастичного метода Боголюбова. Модель одного сильно вырожденного уровня, как показано Фриделем [8], приводит в СВМБКШ к высокой критической температуре (Тс), что вселяет некоторую надежду получить сверхпроводник с высокой Тс с помощью кластерных сетей. В литературе рассматривалось также несколько версий существования вблизи Ш двух уровней, разделенных относительно небольшим интервалом энергии. Нижний из них (уровень
Ферми) полностью заполнен, а верхний свободен. В [9], где учитывалось непосредственно взаимодействие электронов с фононами (не гамильтониан БКШ), было показано, что такая система также может обладать высокой Тс. В [10, 11] термодинамические свойства систем, у которых вблизи ¥ имеются два изолированных уровня, рассматривались на основе ТСЗБКШ. Изолированность уровней означает, что термодинамические свойства системы при очень низких температурах определяются только этими уровнями, так как энергетические интервалы, отделяющие эти уровни от выше- и нижерасположенных, существенно выше температур, при которых парные корреляции оказывают заметное влияние на термодинамические свойства.
Возможность появления групп изолированных одночастичных уровней, один из которых является уровнем Ферми, реализуется как в ядрах, так и в кластерах, о чем можно судить на основании спектров, полученных с различными одноча-стичными потенциалами как сферически симметричными, так и учитывающими деформацию систем. Примеры таких двух близких уровней даны в [9].
В настоящей работе мы рассматриваем случай, когда один из группы изолированных вырожденных уровней, являющийся уровнем Ферми, неполностью заполнен частицами при нулевой температуре и при отсутствии парных корреляций, Т = О = 0, где О — константа эффективного взаимодействия БКШ. Существует ли возможность удерживать сферическую симметрию кластеров при неполностью заполненных электронных оболочках? В настоящее время ответ скорее отрицательный, поэтому в данной статье мы рассматриваем также возможность деформаций, хотя и довольно упрощенным образом, вводя расщепление на двукратно вырожденные уровни с равными энергетическими интервалами между ними. Условие О/Аб < 1, по-видимому, может иметь место не во всех случаях. Общая тенденция такова, что как в атомных ядрах, так и в металлических кластерах константа О возрастает либо с уменьшением числа нуклонов (О ~ А), либо с числом делокализован-ных электронов N (О ~ ). Однако в кластерах эта константа обусловлена взаимодействием электронов с фононами, и расчеты в [12] показывают,
что при малых N < 103 в сферических кластерах О обнаруживает довольно сильные флуктуации, а в деформированных вместо роста с уменьшением N константа О убывает. Поскольку расчеты в [12] содержат ряд приближений, реалистические значения О могут быть получены из анализа эмпирических данных, в частности по теплоемкости. Также
необходимо отметить, что применимость эффективного взаимодействия БКШ к кластерам ограничена системами, в которых осуществляется слабая связь электронов с фононами.
В последующих разделах рассмотрен метод нахождения точных собственных значений гамильтониана БКШ (раздел 1), в разделе 2 представлены расчеты теплоемкости для канонического ансамбля с учетом двух групп уровней вблизи ¥, в 3-м дано заключение.
1. МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ТОЧНЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЭФФЕКТИВНОГО ГАМИЛЬТОНИАНА БКШ
Гамильтониан БКШ, описывающий поведение системы ферми-частиц в слое Дебая со многими энергетическими уровнями, представим в виде
Нвсз = X(Е' г - ОАр,
(1)
,, р
где И, = аЦа, + а}ат, А = а/а/, Ар = йрйр, а, (а,) -фермионные операторы рождения (уничтожения); I (равно, как и р) — совокупность одночастичных квантовых чисел: для сферических систем с учетом спин-орбитальной связи I включает полный момент частицыу, орбитальный момент I, проекцию полного момента т > 0; для сферических систем без учета спин-орбитальной связи — орбитальный момент I, его проекцию Л, проекцию спина Л = ± 1, Л + Е > 0. Состояние , сопряжено по времени к состоянию I, т.е. в , проекция т < 0 и Л + Е < 0. 6, — одночастичные энергии, ц — уровень отсчета энергий (б, - ц = 0 для нижнего уровня).
Если имеется несколько (М) изолированных уровней, то 20, обозначает вырождение уровня /, т.е. на этом уровне может находиться максимальное число фермионов, равное 20;-. При учете спин-орбитальной связи 0.{ = +1, без учета 0.{ = 21{ + 1.
Для деформированных систем О, = 1, т.е. на каждом уровне могут находиться две частицы.
Гамильтониан (1) диагонализуется на базисе функций, каждая из которых характеризуется набором чисел И1, И2, ..., Им, где N1 — число фермионов на каждом уровне / (/ = 1, 2, ..., М), X. N1 = N, N — полное число частиц на уровнях,
51, 52,..., зм — набор сениорити каждого уровня. Таким образом, на каждом /-том уровне имеется
= 2щ + частиц, где п{ — число пар на /-том уровне.
Основное состояние системы имеет сениорити ^ = X- ^, равное нулю. Для возбужденных состояний я, Ф 0. Гамильтониан (1) не связывает состояния с разным сениорити, поэтому диагонализация (1)
при каждом наборе {я}^ = 51, 82,..., ям происходит независимо. Следовательно, для каждого заданного
допустимого набора {^М рассматриваются все допустимые наборы {п}М = п1, п2,..., пм и соответствующие волновые функции:
м
X Км-1 ИМ], \{п)М) - №>>, (2)
получаем систему уравнений
м-1
I=1
^ и ИМ)
нормированы на единицу.
й (8/) =
2а
20
я, - 2
(3)
Обозначая собственные значения гамильтони-
ана
НБС8 через Ецм-1 (каждому набору {я}м соответствует собственный набор энергий Е, }М-1 ) и минимизируя функционал Ф по амплитудам:
Ф = (¥| НВС3 - Еым-г , (4)
а
X
( ,м-1 {п}1
а, ,М-1
М-1 (е{п}М-1 - Е{п}М-1) +
Гу(п>, п +1)
,п, -1,«.■ +1
= 0.
(5)
где суммирование всех частных состояний ведется по неполному набору {п} М-1 с коэффициентами а, }м-1, поскольку предполагаемое число
пар на последнем М-том уровне определяется заполнением всех предыдущих и равно пМ =
N - я, 2 - ХМ-1 nJ. Волновые функции
Каждый набор верхних индексов для а соответствует одной строке, а нижних — столбцу в матричном
представлении; набор индексов п} Мд,-,1, п -1, пу + Ц
( )М-1
есть {п}1 , где на г-том месте п{ заменяется на (п -1), а на у-том п, — на (пу + 1); одноуровневые энергии е^м-1 и матричные элементы Гу (п, п, + 1) определяются соответственно
м
е )М-1 И
X [в А - С (Т (пк))2 ],
к=1
Гу (п, п■ + 1) = -От (п, )т (п■ + 1), т (пк) = л/пк (О.к - пк - Як + 1).
(6)
При фиксированных О, N/ и я каждое состояние уровня г вырождено, т.е. этим квантовым числам могут соответствовать несколько состояний с различными угловыми моментами. Это вырождение для каждого уровня г в сферической системе обозначим й (я)
й(я = 0) = 1, й(я = 1) = 20.,. В деформированной системе (О,- = 1) сениорити может принимать значения 5 = 0 (уровень пуст или заполнен двумя частицами) и 8 = 1, есл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.