АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2012, том 46, № 5, с. 369-379
УДК 22.654.137р30
ВЛИЯНИЕ СЖАТИЯ ЗЕМЛИ НА ФИЗИЧЕСКУЮ ЛИБРАЦИЮ ЛУНЫ
© 2012 г. Б. П. Кондратьев
Удмуртский государственный университет, Ижевск Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН, Санкт-Петербург, Россия
Поступила в редакцию 24.02.2011 г.
Новым векторным методом изучается влияние сжатия Земли на физическую либрацию Луны. С учетом гармоник второго порядка получено выражение момента гравитационных сил, воздействующих на Луну со стороны сплюснутой Земли. Члены этого выражения выстроены по порядку величины. Вклад от сферически симметричной Земли оказывается в 1.34 х 106 раз больше типичного члена, учитывающего сплюснутость. Дана линеаризованная система уравнений Эйлера, описывающих вращение Луны с учетом действия гравитационных внешних сил. Найдено полное решение дифференциального уравнения для либрации Луны в долготе. В это решение входят как ранее изученные нами произвольные и вынужденные гармоники колебаний (возмущения от сферически симметричной Земли и Солнца), так и новые гармоники от сжатия Земли. Поставлена и решена задача спин-орбитального движения об ориентации оси вращения Земли относительно осей инерции Луны при нахождении последней в произвольной точке орбиты. Выяснено, что оси вращения Земли и Луны становятся компланарными, когда Луна на орбите имеет эклиптическую долготу Ь; = 90° или Ь; = 270°. Правило компланарности дополняет известные законы Кассини движения Луны при учете собственных вращений в системе Земля—Луна. Учет влияния сжатия Земли на либрацию Луны в долготе приводит к появлению гармоники с амплитудой 0.03" и периодом Т8 = 9.300 юл. л. Эта амплитуда превышает самую заметную гармонику от Солнца почти в 2.7 раза. Влияние сжатия Земли на вариацию спиновой угловой скорости Луны оказывается незначительным.
ВВЕДЕНИЕ
В небесной механике изучение орбитального и вращательного движения Луны с полным основанием считается задачей повышенной трудности. На существование эффекта физической либрации Луны указал Ньютон и над теорией этого явления в "золотой" век небесной механики трудились Эйлер, Лагранж, Лаплас, Пуассон, Тиссеран, а в наше время — известные иностранные ученые Гартвиг, 1айн, Козиел, Экхард, Мунс (Моутсулас, 1973). Заметный вклад внесли казанские астрономы: А.В. Краснов, Т Банахевич, А.А. Яковкин, И.В. Белькович, А.А. Нефедьев и Ш.Т. Хабибул-лин (Хабибуллин, 1958 и цит. там лит.) создали и обработали уникальные ряды гелиометрических наблюдений и получили более или менее точные значения параметров физической либрации.
Но было бы преждевременно считать, что проблема собственных вращательных колебаний Луны полностью решена. Эти колебания трудны как для наблюдений, так и для теоретического описания. Даже для модели твердой Луны, обращающейся вокруг сферически симметричной Земли, полной теории физической либрации до сих пор нет. В тени остается ряд важных вопросов, и среди них — влияние возмущений от несферичности Земли. По традиции, в задаче о физической либрации Луны (в отличие от теории ее поступательного движения) гравитационными силами вследствие сжатия Земли пренебрегают. Так, в работе (Henrard,
1982) влияние сжатия Земли учитывается только на поступательное движение Луны и, между прочим, говорится, что влияние несферичности на физическую либрацию пренебрежимо мало. Тем не менее, в работах (Eckhardt, 1981; 1982) была сделана попытка учесть несферичность Земли в рамках полуаналитической модели, однако акцент в них был сделан на численном решении уравнений и коллекционировании найденных гармоник, а не на детальной аналитической проработке проблемы. Не учитывалось Экхардом и совместное влияние на спиновое вращение Луны сил от сжатия Земли и возмущений от Солнца. Найденная им единственная гармоника для либрации Луны в долготе
5т = 0.007'' sin Q
(0.(t) — долгота восходящего узла) не дает достоверной картины явления.
Недавно (Кондратьев, 2011) был развит новый, гибкий и информативный векторный подход, позволивший пересмотреть прежнюю теорию физической либрации. В данной работе векторный подход применяется для изучения влияния сжатия Земли на собственные вращательные колебания Луны. Получено аналитическое выражение момента сил, воздействующих на Луну со стороны Земли. Выводится и решается уравнение для либрации Луны в долготе. Учет возмущений на либрацию в долготе от несферичности Земли приводит, в частности, к появлению
Луна
Ф = О
М
Б
■ +
(С - А) (.
2 2 х1 + х2
2x3,)
2Б
(1)
менты инерции тела относительно экваториальной и полярной осей.
Считая Землю симметричной относительно оси максимума инерции Ох3, представим ее моделью с потенциалом (1). Введем единичный вектор ю, направленный вдоль оси вращения Земли, а также вектор Б, направленный из центра Земли в пробную точку (рис. 1). Тогда Бю = х3 и потенциал (1) запишем в виде
Земля
Рис. 1. Взаимное расположение Луны и Земли. Объяснения векторов даны в тексте.
заметной гармоники с амплитудой 0.03" и периодом Т8 = 9.306 юл. л. Эта амплитуда, несмотря на очень малое значение момента сил, все же превышает самую заметную гармонику от Солнца в 2.7 раза и при современной точности наблюдений ее следует принимать во внимание. Для выяснения смысла этой гармоники решена задача спин-орбитального движения Луны. Установлено, что оси вращения Земли и Луны становятся компланарными в тот момент времени, когда Луна на орбите имеет эклиптическую долготу Ь£ = 90° или Ь£ = 270°. В ходе расчетов возникает малый знаменатель, который и играет роль в появлении указанной амплитуды гармоники.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И НАХОЖДЕНИЕ МОМЕНТА СИЛ
Для изучения собственного вращения Луны необходимо знать момент внешних сил. Здесь ограничимся учетом влияния на Луну гравитационных сил от Земли и Солнца. Но если Солнце как возмущающее тело есть просто материальная точка, то с Землей дело обстоит иначе: вследствие ее близости к Луне нельзя заранее пренебрегать даже такими "мелочами", как отклонение формы Земли от сферы. Влияние такого отклонения мы и хотим выяснить в данной работе.
Внешний гравитационный потенциал тела с вращательной симметрией относительно оси Ох3 может быть разложен в ряд и с точностью до вторых гармоник имеет вид
= О
М®
Б
(С - А)® (Б2 - 3 (Бш)2)'
2Б
(2)
Вектор Б зависит от положения пробной точки внутри Луны, именно:
Б = г - И,
(3)
где Я — вектор, соединяющий центры Луны и Земли.
Для упрощения вывода выражения для момента сил разлагаем степени Б по селеноцентрическим координатам пробной точки (т.е. по степеням г) с точностью до членов второй степени:
Б = (Я2 - 2гИ
'/ 2
= я'
г2 - 2 Я2
= Я'
1 + '(г2 -2ги) + п(п-2)(гИ)
2Я
Я
(4)
Далее нам понадобятся значения
Б-1 = Я-1
1 -
- 2гИ + 3 (гИ)2
2Я2
2Я4
Б-3 = Я-3
Б-5 = Я -5
^ - 3(г2 - 2гИ) + 15(гИ)2 2Я2 2Я 4
1 - 5 (г2 - 2гИ) + 35 (гИ)2
(5)
2Я
2Я4
С учетом формул (5) внешний потенциал Земли (2) принимает вид
Фе = ОМ -
1 + 2гИ - г2 + 3 (гИ)2
Я 2Я
2Я
3 (2гИ - г2) 15 (гИ)2
где О — гравитационная постоянная, М — масса тела, (х1, х2, х3) — координаты пробной точки в сиг> I 2 , 2 стеме главных осей инерции, Б = ух1 + х2 + х3 —
расстояние этой точки до центра тела, А и С — мо-
2Я
5 (2гИ - г2
(Ига - гга)2 У =
3 (ги)2
2Я3
3 (гИ - г
1 15(гК)2
Я5
2Я'
(Иш)2 + 4 (Кш)М-2Я9 Я5
30 (гК)(Кш)(гш) 3 (гш)2
Я'
Я5
(6)
Как того требует (7), умножим г векторно на градиент потенциала (8). Тогда, в силу очевидного г x г = 0, три члена исчезают, и мы находим:
+ 7 2Я7 г X gradфф = ОМф "г X И + 3 (г X И)( ги) 1_ Я3 Я5
+ 0(С -Л)е (3(г X И) + 15(г X И)^)
Г 2) 2 (Я5 Я7
;(Иш)2 15 (г X И) (Яш)2 105 (г X И) (ги) (Иш)
Я7 Я
6 (г X ш) (Иш) 30 (г X И) (Иш) (гш)
-5--1--7--
Я5 Я7
30 (г X ш)(гК)(Кш) 6 (г X ш)(гш)
Я7
Я
(9)
По определению, момент сил, воздействующих на Луну от Земли, равен
Кф = Ц|(г х gradфф)pdx1dx2dx3,
(7)
Для вычисления вектора момента сил (7) интегрируем теперь выражение (9) по объему Луны. При этом члены, зависящие от г в первой степени, исчезают как нечетные. Остаются члены, которые с точностью до постоянного коэффициента можно записать в общем виде
где р(хь х2, х3) — плотность лунного вещества и радиус-вектор г элемента массы откладывается от центра Луны. Входящий в (7) градиент потенциала фе находим, считая в (6) переменным вектор г. Учитывая вспомогательные формулы для произвольных постоянных векторов a и Ь
grad(гa) = а, grad [(га)(гЬ)] = а(гЬ) + Ь(га),
gradфф = ОМй
А _ X
я3 Я3
3И (ги )
Я5 .
0(С _ Л)@ (3И _ Зг + 15К (ги) _ 2 1Я5 Я5 Я1
2 , - /„ \2 ^.ч/т. \2
15И(Иш)2 15г (Иш)2 _ 105И(ги)(Иш)
-.7 + „7
Я Я Я
6ш(Иш) 30И (гш)(Иш)
+ Я5 + Я7 30ш (гИ) (Иш) 6ш (гш)
(8)
Я'
Я5
(г х а)(гЬ) = (х2а3 - х3а2, х3а1 - х1а3, хха2 -- ха) • (х^ + х2^2 + ХзЬЗ )
(10)
gradr = 2г,
и то, что роль постоянных векторов в (6) играют R и ю, получим:
с постоянными здесь векторами a и Ь. Ориентация системы селеноцентрических координат пока не была фиксирована, и мы принимаем ее связанной с главным осями инерции Луны. Тогда при интегрировании члены, исходящие от х1х2, х1х3, х2х3, пропадают, а интегралы от квадратов координат (моменты инерции относительно главных плоскостей) будут равны:
IОХ2Х3 = Ц|х12р^Х1^Х2^Хз = С + В Л Гц
I Охх = Ц|Х22Р^Х1^Х2^Х3 = •
!охл = Ц|хз2р^Х1^Х2^Хз =
2
Л + С - В
2
В + Л - С
(11)
Здесь и ниже А, В, С (без индексов) — главные моменты инерции Луны относительно осей. Результат интегрирования общего выражения (10) имеет вид
Л|(г X а)(гь)р^х1^х2^хз = Iохх (0, -азЪъ аЪ) +
+ 1Ох1х3 (а3Ъ2,0,-а1Ъ2 ) + 1Ох1х2 ( а2Ъ3, а1Ъ3,0) ■
С учетом (12) и сказанного выше, интегрирование выражения (9) и последующие преобразования в итоге дают:
К ф = х gradфф )pdx1dx2dx3 =
3GM R5
[(С - B)x2x3, (A - C) x1x3, (B - A)x1x2 ] +
G(C - A)s/15
2
{R5 [(C - B)x 2 x3,(A - C) xix3,
(B - A)xix2] - x
R
x [(C - B)x2x3, (A - C) x1x3, (B - A)x1x2 ] + + ^^ [(C - B) (x2®3 + *3®2) , (A - C) x x (x3ro1 + x1®3 ), (B - A) (ю2 + x2ro1)j -; [(C - B) (02Ю3, (A - C) ю1ю3, (B - A) Ю1Ю2]}.
(13)
(14)
K _ 3GMe e
(Aax2 x3, -Bp x1x3, Cyx1x2 ) -
(C - A)e » 1.1 x 10-3m(BR2,
(16)
где Яф — средн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.