АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2013, том 47, № 3, с. 163-174
УДК 22.654.137р30
ВЛИЯНИЕ СЖАТИЯ ЗЕМЛИ НА ФИЗИЧЕСКУЮ ЛИБРАЦИЮ ЛУНЫ В ШИРОТЕ © 2013 г. Б. П. Кондратьев
Удмуртский государственный университет, Ижевск Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория Российской академии наук, Санкт-Петербург
Поступила в редакцию 08.10.2012 г.
Векторным аналитическим методом изучается физическая либрация (ФЛ) Луны в широте под воздействием момента гравитационных сил от сжатой с полюсов Земли. Либрационные колебания описываются замкнутой системой из пяти неоднородных линейных дифференциальных уравнений, дисперсионное уравнение имеет пять корней, один из них нулевой. Получено полное решение задачи. Установлено, что сжатие Земли: (а) почти не влияет на ориентацию мгновенной оси вращения Луны, однако создает колебательные повороты тела Луны с амплитудой 0.072'' и периодом биений 16.88 юл.л.; (б) приводит к малым нутациям полюсов орбиты и эклиптики по туго закрученным спиралям, со временем заполняющим диск радиусом 0.072'' с вырезом в центре. Возмущения от сферической Земли дают: (а) ФЛ в широте с амплитудой 34.275''; (б) нутационное движение центров малых спиралевидных нутаций полюсов орбиты (эклиптики) по эллипсам с большими полуосями 113.850'' (85.158''), причем первый полюс обращается вокруг второго по кругу радиусом 28.691''; (в) нутацию полюса мира Луны по эллипсу с большой полуосью 45.04'' и отношением осей всего ~0.004 с периодом Т = 27.212 сут. Главная ось эллипса направлена по касательной к прецессионной окружности, по которой и совершает неравномерное, почти одномерное движение полюс мира. Проводится детальное сравнение движения полюсов вращения у Луны и Земли. Вопреки встречающемуся мнению, движение полюсов вращения Луны не приводит к изменению широт. Динамической причиной наклона среднего экватора Луны к эклиптике является несферичность ее тела.
Б01: 10.7868/80320930X13030043
ВВЕДЕНИЕ
Теория физической либрации Луны берет свое начало с изучения оптических либраций Луны. Оптическая либрация в долготе — это кажущиеся наблюдателю с Земли колебания (5°—8°) тела Луны в восточно-западном направлении с периодом в аномалистический месяц; они исчезают, когда Луна находится в перигее и апогее. Колебания другого вида — оптическая либрация Луны в широте — происходят в направлении север—юг с амплитудой 6°40' и периодом в один драконический месяц Т3 = 27.212 сут. и исчезают, когда Луна в узлах орбиты. Галилей первым (1632 г.) заметил геометрическую либрацию, но правильного объяснения ей не дал, приписав весь эффект незначительной, как оказалось впоследствии, параллактической либрации. В 1643 г. колебания кратеров вдоль линии север—юг наблюдал Гевелий. Заметив, что амплитуда колебаний в широте зависит от положения Луны относительно узлов, он пришел к выводу о существовании у Луны и либрации в долготе. Ньютон объяснил оптическую либрацию в долготе сочетанием равномерного спинового вращения с неравномерным движением Луны по эллиптической орбите, а либрацию в широте — наклоном оси вращения Луны к плоскости орбиты.
Но это была лишь прелюдия к изучению более сложных вопросов. Еще Ньютон прозорливо заметил, что возникающие при оптических либра-циях отклонения приливного выступа Луны от направления на Землю приводят к появлению возмущающего момента сил и, как следствие, должны существовать реальные малые покачивания Луны относительно центра масс. Такие покачивания, происходящие на фоне более размашистых оптических либраций, и называются физической либрацией Луны. В линейном приближении ее также принято разделять на колебания в долготе и в широте.
Проблема физической либрации Луны — одна из самых трудных в небесной механике. Предсказанная Ньютоном, она еще целое столетие после выхода в свет "Начал" оставалась недоступной. Но... нераскрыта была еще тайна третьего закона Кассини (1693 г.), гласившего: "плоскость орбиты Луны, плоскость ее экватора и плоскость эклиптики пересекаются по одной линии, причем эклиптика лежит между первыми двумя". По сути, за этой формулировкой скрывается поразительная небесно-механическая "штучка": все три указанные плоскости под возмущающим воздействием Солнца, Земли и планет изменяют свою
ориентацию в пространстве, но при этом все три пересекаются по одной линии! Открытие третьего закона явилось выдающимся достижением наблюдательной астрономии. Однако поначалу астрономы отнеслись к нему настороженно, ведь ни сам Доменико Кассини, ни его сын Жак в 1727 г. убедительных доказательств не предоставили. Учитывая довольно низкую точность наблюдений той эпохи (об этом говорит ошибка при определении наклона экватора Луны к эклиптике в целый градус, по другим источникам — даже три градуса, Ньютон же вообще считал ось вращения Луны перпендикулярной к эклиптике), можно предположить, что у Кассини (старшего) и не было надежных доказательств этого закона. Лишь в 1763 г. Лаланд по результатам наблюдений кратера Манилий смог подтвердить, что нормали к эклиптике, к плоскости орбиты Луны и к ее экватору действительно лежат в одной плоскости. Появившиеся вскоре фундаментальные теоретические исследования Эйлера, Даламбера, Лагранжа и Лапласа расчистили путь к проблеме физической либрации Луны, и перед Бесселем эта проблема предстала уже как объект исследований (и измерений!). Об истории исследований по ФЛ Луны, где работали выдающиеся исследователи, см. (Хабибуллин, 1958) и (Моутсулас, 1973).
Однако в проблеме ФЛ Луны до сих пор не изучено влияние несферичности Земли. Действи-
тельно, если сжатие Земля с полюсов
(•-—)
\ 298.25/
5т = 0.007''sin Q
(1)
(ЗДО — долгота восходящего узла лунной орбиты) не дает достоверной картины явления.
С внедрением компьютеров упор стали делать на численные методы. Но проблему физической
либрации нельзя понять без глубокого теоретического анализа. Актуальным стало развитие нового аналитического векторного метода (Кондратьев, 2011а; 20116). В первой из этих работ в линейном приближении получены основные уравнения задачи и показано, что при возмущениях от сферической Земли и Солнца физическая либрация Луны в широте описывается системой из пяти дифференциальных уравнений:
3Q2
p + aQ1q =--2a(z + z3)sinQ2, z3 = const,
R
q - ßQip = -
_ (i -ni + П2)2
Ro (1 + K)
ß ^ -
давно учитывается в теории Брауна поступательного движения Луны, то в теории вращения Луны возмущения от сжатия нашей планеты по традиции (и без должного анализа) считаются незначительными. Но если учесть сравнительную близость Луны к Земле и высокую точность наблюдений ее движений методом лазерной локации, становится ясно, что для правильной их интерпретации нельзя, как раньше, ограничиваться теоретически удобным, но все же весьма упрощающим суть дела предположением о сферической форме Земли.
Конечно, учет эффекта влияния сжатия Земли на физическую либрацию Луны усложняет и без того непростую задачу. Ранее лишь Экхард в рамках полуаналитической модели сделал попытку учесть несферичность Земли (Eckhardt, 1981; 1982), но акцент у него был сделан на численном решении уравнений, а не на детальной аналитической проработке проблемы. Найденная им единственная гармоника для либрации Луны в долготе
- 3Q2 р{т [ - 5cos2 ^ ] + cos ft [ (г + гз), _ R3 [Щ J (2)
г = R [q - Qy - sin ft ],
= sin ft - q + Q1J1, y = cos ft - Qi*i + p,
где фаза основной вынуждающей силы ftl с периодом в T3 = 27.212 сут. и частота возмущенного движения Луны а равны
CI = fii(1 + ni) - T0), a = Qi(1 -ni + П2). (3)
В систему (2) входят два линеаризованных уравнения Эйлера вращения твердой Луны и три кинематических уравнения векторного метода. Задача рассматривается с точки зрения наблюдателя, связанного с главными осями Oxyz инерции Луны. Плоскость Oxy совпадает с плоскостью ее среднего экватора (экватора Кассини), ось Ox направлена примерно (в точности — когда Луна в узлах) к Земле, а ось Oy — в азимутальном направлении по ходу движения Земли относительно звезд фона. Здесь Z = sin i, где i — наклон орбиты Луны к эклиптике; а, в, у — динамические сжатия Луны:
а
C—B = 4.0361504 х 10-4;
ß = C—A = 6.31486 ± 0.0009 х 10-4; (4)
Y
B
B - A C
= 2.27871 ± 0.0003 х 10-
где А < В < С — главные моменты инерции Луны. С достаточной точностью выполняется соотношение а + у « р. Другие данные о Луне см. в (20).
Дисперсионное уравнение системы (2) есть алгебраическое уравнение
X5 + X(1 + т + ар) + хО?а (р + т) = 0; (5)
оно имеет один нулевой корень и четыре чисто мнимых:
4
= 0,
ю23 = + m + ap + V m2 + 2m (1 + ap - 2a) + (1 - ap),
Ш45 = ±^1 + m + ap - V m2 + 2m (1 + ap - 2a) + (1 - ap),
(6)
где мнимая единица опущена (решения носят колебательный характер) и для краткости обозначено
m = С1 -П1 + П2 )2 1 + к
1.888063878х 10
-3
(7)
Частоты колебаний (6) необходимы для нахождения гармоник произвольных колебаний. В работе (Кондратьев, 2011а) было показано, что при возмущениях от сферической Земли физическая либрация Луны в широте описывается одной гармоникой вынужденных (с периодом Т3 = 27.212 сут.), и двумя гармониками произвольных (Т5 ~ 74.180 юл.л., Т6 = = 27.347 сут.) колебаний. Движение истинного полюса мира на Луне представлено этими же гармониками с максимальным отклонением в 45'' от среднего полюса Кассини. Пятая (нулевая) частота дает стационарное решение с неизвестной ранее небольшой конической прецессией оси вращения. Были пересмотрены и некоторые положения прежней теории: свободных (эйлеровских) колебаний у Луны нет, а есть произвольные колебания, причем вместо Т ~ 148.167 юл.л. (Мельхиор, 1976) есть только период Т5 ~ 74.180 юл.л.
Далее физическая либрация Луны изучалась с учетом дополнительных возмущений от сжатия Земли (Кондратьев, 2012). В аналитическом виде был получен момент сил, действующих на Луну со стороны сжатой Земли, и для либрации в долготе обнаружена неизвестная ранее гармоника вынужденных колебаний с амплитудой 0.03'' и весьма большим периодом Т8 = 9.306 юл.л. (сравни с результатом Экхарда (1)). Удивительно, что при крайне малом значении возмущающего момента сил найденная амплитуда 0.03'' колебаний Луны в долготе превышае
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.