ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2013, том 47, № 6, с. 618-623
УДК 66.071.7:532.5.001.5
ВЛИЯНИЕ ТОЛЩИНЫ СЛОЯ ЖИДКОСТИ НА НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПРОЦЕССА АБСОРБЦИИ © 2013 г. Т. А. Поройко, Е. Ф. Скурыгин
Ярославский государственный технический университет skouryguine@rambler.ru Поступила в редакцию 06.09.2013 г.
Рассмотрена неустойчивость Марангони в нестационарном процессе абсорбции газа слоем жидкости конечной толщины. Исследована зависимость критического времени выхода процесса в неустойчивый конвективный режим от физических характеристик процесса и толщины слоя жидкости. Численно получена зависимость критического числа Марангони от числа Льюиса.
Б01: 10.7868/80040357113050114
ВВЕДЕНИЕ
Изменения температуры на свободной поверхности жидкости, неизбежно возникающие в процессах межфазного тепло- и массопереноса, порождают градиенты поверхностного натяжения, которые могут вызвать движение жидкости и привести к увеличению скорости межфазного тепло- и массообмена. Такое явление известно как термокапиллярная конвекция, или эффект Марангони [1—3]. Интерес к эффекту Марангони связан с практической важностью поиска механизмов интенсификации химических процессов [1—13]. В работах [3, 6, 7] изучалась диффузионно-конвективная неустойчивость процесса физической абсорбции газов неподвижным слоем жидкости, вызванная температурной зависимостью поверхностного натяжения. Работа [8] посвящена теоретическому анализу неустойчивости испарения бинарных смесей; эффект связан с зависимостью поверхностного натяжения от состава смеси. В [9] выполнен анализ конвективной неустойчивости слоя жидкости в условиях ее охлаждения, вызванного испарением; учитывались совместно конвекция Марангони и Рэлея. В [10] решалась задача неустойчивости Марангони в процессе абсорбции двуокиси углерода водным раствором моноэтаноламина, сопровождающейся объемной химической реакцией. В [11] исследовано влияние эффекта Марангони на кинетику растекания по поверхности воды органических жидкостей. В [12] выполнен численный анализ напряжений Марангони, вызванных загрязняющими веществами, абсорбирующимися на поверхности малых воздушных пузырьков, поднимающихся в воде; показано, что напряжения Марангони способны изменить характер течения всплывающих
пузырьков. Работа [13] посвящена анализу экспериментальных данных зависимости поверхностного натяжения от определяющих параметров в абсорберах тепловых насосов и холодильных машин.
В [3, 6, 7] экспериментально показано, что процесс абсорбции двуокиси углерода водой протекает в диффузионном режиме до некоторого критического времени, после чего сменяется более интенсивным конвективным режимом. Оценки [6, 7] показали, что причиной неустойчивости является температурная зависимость поверхностного натяжения. Для случая абсорбции газа неподвижным слоем жидкости бесконечной толщины вычислено критическое время перехода процесса в конвективный режим, а также приведено выражение для потока массы в закритической области. Не исследовано влияние толщины слоя жидкости на неустойчивость процесса абсорбции.
Цель настоящей работы — исследование зависимости критического времени от толщины слоя жидкости, вычисление минимальной толщины слоя жидкости, при которой возможна диффузионно-конвективная неустойчивость процесса.
ФОРМУЛИРОВКА ПРОБЛЕМЫ
Рассматривается нестационарный процесс абсорбции газа неподвижным слоем жидкости конечной толщины Н. Снизу жидкость ограничена твердой поверхностью, сверху жидкость взаимодействует с газовой фазой, в которой содержится компонент А. Компонент А абсорбируется жидкостью, в газовой фазе его концентрация поддерживается постоянной, в жидкой фазе его концентрация в начале процесса равна нулю.
Основное сопротивление тепло- и массопере-носу в процессе абсорбции сосредоточено в жидкости. В диффузионном режиме распределение концентрации компонента А и температуры описывается известными уравнениями [14]
дс(0) д2с(0)
дс ._ d ^^ = 0,
dt
дТ(0)
X-
dz
д 2т (0)
= 0,
(1)
(2)
дг " дг2
где с — концентрация компонента А в жидкости, Т — температура, Б и х — коэффициенты молекулярной диффузии и температуропроводности, I — время, верхний индекс (0) соответствует диффузионному режиму. Координата г направлена вглубь жидкости по нормали к свободной поверхности, значение г = 0 соответствует границе жидкость—газ.
На границе жидкость—газ выполняются следующие условия. Концентрация компонента А принимает значение с*, соответствующее его парциальному давлению в газовой фазе [15]
с = с* при г = 0, (3)
поток тепла равен количеству тепла, выделяющегося при растворении компонента А
дТ
дс
(0)
dz
= 0 при z = h,
(5)
для теплопроводной нижней границы — постоянство температуры
Т(0) = Т0 при z = h,
(6a)
для теплоизолированной нижней границы — отсутствие потока тепла
д Т
(0)
dz
= 0 при z = h.
(6б)
Начальные условия зададим в виде с(0) = 0, Т(0) = Т0 при t = 0.
(7)
Для малых изменений температуры поверхностное натяжение а можно аппроксимировать линейной функцией [16]
а-ао = -е(Г - Г0), (8)
где е — температурный коэффициент поверхностного натяжения, значение а0 соответствует температуре Т0.
Градиенты поверхностного натяжения вдоль свободной поверхности вызывают напряжения трения хар:
т _ _да т _ да
т хг - , т уг - ,
дх ду
что приводит в движение жидкость
дvх да __ _ _дvv да
(9)
pv
dz
да "" y —, pv—1
дх dz
ду
(10)
где V = (ух, у Vг) — вектор скорости жидкости, координаты х, у направлены параллельно свободной поверхности жидкости. Движение жидкости оказывает влияние на скорость массопереноса и в случае положительной обратной связи может привести к гидродинамической неустойчивости процесса. Критическое время перехода процесса абсорбции в конвективный режим определяется из условия нейтральности малых возмущений концентрации, температуры и скорости [6, 7]:
Дс® Jd -k2]с(1) = Ivz
Uz2 ) D z dz
(0)
ДТ(1) = 1 v дТ
(0)
(11)
(12)
рср1^ = АИВд- при г = 0, (4)
дг дг
где АН — удельная теплота растворения, р — плотность жидкости, ср — удельная теплоемкость жидкости при постоянном давлении.
На границе жидкость—твердое тело выполняется условие отсутствия потока для компонента А
X " дг
ААу г = 0, (13)
где верхний индекс (1) соответствует малому возмущению, Уг — амплитуда нормальной скорости, к — волновое число.
Системе уравнений (11)—(13) соответствуют следующие граничные условия. На свободной поверхности затухают возмущения концентрации и скорости, выполняется тепловой баланс
с(1) = 0, рсддГ— = АИБ^, уг = 0, г = 0. (14)
дг дг
Из уравнений (12), (13) можно получить следующее известное соотношение, связывающее температуру и скорость на свободной поверхности:
,(i)
pv-^-jvz = k2бТ(1), z = 0.
dz
(15)
На границе жидкость—твердое тело затухают возмущения скорости и потока массы
дс
(i)
dv.
= 0, vz = 0, —1 = 0 при z = h,
dz dz
(16)
для теплопроводной твердой поверхности
Г(1) = 0 при г = к, (17а)
для теплоизолированной поверхности
дГ(1)
dz
= 0 при z = h.
(17б)
В системе уравнений (11)—(13) с граничными условиями (14)—(17) неизвестными величинами
10 8
400
800
1200
1600 Le
dc
(0)
"* I -г" —= exp
dz JnDt l. 4Dt J'
dT(0)
T^ ( 2 * I —z = exp1
дг ТПХ ИХ^)
Поток J компонента А в жидкую фазу равен
I(0) = $(0); ](0) = е^,
где Б — площадь поверхности жидкость—газ, ] — плотность потока массы. Плотность потока тепла qравна
(18)
(19)
(20)
*(0) = T*.pcU
int
(21)
где T* — перепад температуры в пограничном слое жидкости:
AHc„.
T* =
Р С
* D
X
(22)
Уравнение (13) для нормальной скорости жидкости также имеет известное решение
v z = Bze
-kz
(23)
где В — произвольная константа.
Время нейтральных возмущений можно представить в безразмерных величинах
t — t+(к+, Ье)^,
(24)
где
Рис. 1. Зависимость безразмерного критического времени от числа Льюиса для слоя жидкости бесконечной толщины. Точки — численный расчет, линия 1 — ап-проксимационная формула (30), линия 2 — асимптотическая формула (28), пунктирная линия соответствует предельному значению критического времени при бесконечном числе Льюиса.
являются возмущения концентрации, скорости и температуры, а также время t, при котором существуют ненулевые решения для заданного волнового числа к. Критическим считается минимальное по волновым числам время нейтральных возмущений. Другими словами, время t = ^ определяется как минимальное время, при котором возмущения концентрации, температуры и скорости перестают затухать и начинают расти.
СЛОЙ ЖИДКОСТИ БЕСКОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ
Уравнения для невозмущенных значений концентрации и температуры в предельном случае слоя жидкости бесконечной толщины имеют известные решения [17]
k+ - kz*; z* = . ^ JX'
sAHc* V D
t* —
(
(25)
zAHc±
Le —
D
Функция t+(k+, Le+) удовлетворяет следующему уравнению [7]:
2k+t+
•N/LC
exp
exp (4k+t +) erfc (2к+л/Г+)
f 4k+t+ ^
v Le у
erfc 2k
(26)
= 1.
(27)
Критические время и волновое число равны k
kcr = , t cr = tcr+(Le)t*,
z*
t cr+(Le) = min t +(k+, Le) = t+(k„+, Le).
k+
На рис. 1 представлены результаты численного расчета безразмерного критического времени как функции числа Льюиса. В области больших значений Le зависимости критического времени и критического волнового числа описываются следующими асимптотическими формулами:
tcr+ = п(1 + 3n^3Le-^3) при Le ^ да, _ 0-1 -2/3T J6
(28)
kcr + = 2 п ' Le1
(29)
Для Ье > 50 численные зависимости с ошибкой не более 5% аппроксимируется следующими формулами:
tcr+ =п (1 + 3n1/3Le-1/3 + 12Le-2/3),
(30)
ксг+ = (2-1я-^3Ье^6 - 0.7Ье-^6 + 0.9Ье-1/2). (31)
При неограниченном росте числа Льюиса критическое время стремится к предельному значению
tCI ^ я^ при Ье ^ да, (32)
t
cr+
6
4
2
0
40
30
20
10
Масг 7
6
5
10
20
30 Ма
Рис. 2. Зависимость безразмерного критического времени от числа Марангони для системы углекислый газ—вода. Точки — численный расчет, линия — ап-проксимационная формула (35).
400
800
1200
1600 Ье
Рис. 3. Зависимость критического числа Марангони от числа Льюиса. Точки — численный расчет, линия — аппроксимационная формула (36).
что согласуется с результат
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.