научная статья по теме ВЛИЯНИЕ ТРЕЩИНЫ В ЛЕДЯНОМ ПОКРОВЕ НА ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОГРУЖЕННОГО КОЛЕБЛЮЩЕГОСЯ ЦИЛИНДРА Математика

Текст научной статьи на тему «ВЛИЯНИЕ ТРЕЩИНЫ В ЛЕДЯНОМ ПОКРОВЕ НА ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОГРУЖЕННОГО КОЛЕБЛЮЩЕГОСЯ ЦИЛИНДРА»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Том 79. Вып. 2, 2015

УДК 532.59;539.3:534.1

© 2015 г. И. В. Стурова

ВЛИЯНИЕ ТРЕЩИНЫ В ЛЕДЯНОМ ПОКРОВЕ НА ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОГРУЖЕННОГО КОЛЕБЛЮЩЕГОСЯ ЦИЛИНДРА

Представлены результаты решения линейной задачи об установившихся колебаниях горизонтального цилиндра, погруженного в жидкость, на верхней границе которой плавает ледяной покров с бесконечной прямолинейной трещиной, параллельной оси цилиндра. Ледяной покров моделируется тонкой упругой пластиной, а частично смерзшаяся трещина — системой двух пружин: вертикальной и спиральной. Предполагается, что свойства пластин могут меняться скачком при переходе через трещину. Использован метод распределенных по контуру тела массовых источников. Соответствующая функция Грина построена с использованием разложений по вертикальным собственным функциям. Выполнены расчеты гидродинамической нагрузки, действующей на цилиндр, и амплитуд вертикальных смещений ледяного покрова. Показано, что волновое движение существенно зависит от положения цилиндра относительно трещины и ее свойств. Дана связь коэффициентов демпфирования с амплитудами изгибно-гравитаци-онных волн в дальнем поле.

В настоящее время все известные теоретические работы, посвященные влиянию льда на движение погруженного в жидкости тела, выполнены в предположении, что ледяной покров является однородным и неограниченным по горизонтальным координатам. Имеется обзор этих работ [1]. Исследована двумерная задача о генерации волн в ледяном покрове пульсирующим массовым источником, погруженным в бесконечно глубокой жидкости [2]. В реальных условиях ледяной покров не однороден, в нем могут существовать трещины, полыньи, каналы, а также торосы.

В данной работе рассматривается задача о влиянии бесконечной прямолинейной частично смерзшейся трещины на волновые движения, возникающие в жидкости при установившихся колебаниях погруженного горизонтального цилиндра. Исследуются гидродинамические нагрузки (коэффициенты присоединенной массы и демпфирования), действующие на тело, и вертикальные смещения ледового покрова в окрестности трещины, индуцированные колебаниями тела.

Актуальность этой задачи связана с тем, что при современном интенсивном освоении полярных районов Мирового океана, в частности, в связи с добычей нефти и газа на шельфе, возникает необходимость эксплуатации в этих районах длинных погруженных трубопроводов и плавающих емкостей. Следует отметить, что решение представленной двумерной задачи позволяет описать гидродинамические нагрузки, действующие не только на длинные трубопроводы, но и на трехмерные удлиненные тела, используя метод плоских сечений [3].

Близкой к рассматриваемой является задача о дифракции изгибно-гравитационных волн на прямолинейной трещине, которая в настоящее время достаточно полно изу-

чена. Контактно-граничные условия на трещине сводятся к заданию перерезывающих усилий, изгибающих моментов или вертикальных смещений краев льдин. Было рассмотрено прохождение и отражение плоских монохроматических волн при наличии трещины со свободными краями или стыка двух смерзшихся льдин с различными свойствами [4—8]. Исследовано влияние частично смерзшейся трещины, которая моделируется системой двух пружин (вертикальной и спиральной) [9—12]. При решении применяется [5, 6, 12] метод Винера—Хопфа и используются [4, 7—11] разложения по вертикальным собственным функциям. Имеется более подробный обзор работ по дифракции изгибно-гравитационных волн на трещине [13].

1. Постановка задачи. Рассматривается идеальная несжимаемая жидкость, заполняющая безграничную в горизонтальном направлении полость толщины Н. Волновые движения в первоначально покоящейся жидкости вызваны малыми горизонтальными, вертикальными и вращательными колебаниями погруженного горизонтального цилиндра. Ось цилиндра параллельна трещине, и задача является двумерной. В линейном приближении, считая возмущенное движение жидкости установившимся и потенциальным, полный потенциал скоростей волнового движения можно записать в виде

Комплексные радиационные потенциалы фу(х, у) характеризуют движение, обусловленное колебаниями тела с частотой ш по трем степеням свободы с амплитудами ^ у, х — горизонтальная ось, направленная вдоль невозмущенной верхней границы жидкости, вертикальная ось у проходит через трещину, г — время. На верхней границе жидкости (у = 0) плавают две полубесконечные упругие пластины Л1(х < 0) и Л2(Х > 0) с различными свойствами. Пластина Л, характеризуется модулем Юнга Е,, коэффициентом Пуассона V,, толщиной Л, и плотностью рД/ = 1,2). Пластины соединяются на линии х = 0 двумя линейными пружинами: вертикальной и спиральной с коэффициентами жесткости соответственно к33 и к55. Осадка пластин не учитывается. Предполагается, что пластины контактируют с водой во всех точках и во все моменты времени.

Внутри жидкости выполняется уравнение Лапласа

Афу = 0 (-да < х <<х>,-Н < у < 0) (1.2)

Граничные условия на верхней поверхности жидкости имеют вид

3

Ф(х, у, г) = Яе I уФу (х, у) ехр (;ю г)

_ у=1

(1.1)

х < 0, у = 0

(1.3)

х > 0, у = 0

(1.4)

= Е(й? /[12(1 - V 2)], М1 = рЛ, I = 1,2

3

2

g — ускорение силы тяжести, р — плотность жидкости.

На линии х = 0 должны выполняться контактно-граничные условия, которые сводятся к заданию перерезывающих сил и изгибающих моментов:

Д

д ФУ(0-, 0) дх3ду

= -к

33

дф, (0+, 0) дф, (0-, 0)"

ду

ду

(1.5)

д 4Ф- (0+, 0) д 4Ф- (0-, 0) Д2-3- - Д1-о-

дх ду

Д1 я 2Я- _ к55

дх ду

дх ду

д2фу-(0+, 0) д2фу-(0-, 0)

дхду

дхду

Д

д3фу-(0+, 0) = Д 53ФУ(0-, 0)

дх 2ду

дх 2ду

(1.6)

(1.7)

(1.8)

Эти условия — наиболее общие граничные условия для частично смерзшейся трещины. В частном случае к33 = к55 = 0 края трещины становятся невзаимодействующими, т.е. свободными. При к33 = ж, к55 = 0 линия х = 0 представляет собой свободный шарнир, что в случае ледяного покрова соответствует свободному налеганию льдин. При к33 = к55 = ж трещина между льдинами отсутствует и имеет место жесткое сцепление льдин с различными свойствами.

На замкнутом контуре погруженного тела ставится условие непротекания

дф/

= п,

х, у е - = 1,2,3

дп

Здесь п = (пх, пу) — внутренняя нормаль к контуру S, П1 = Пх, П2 = Пу, П3 = (у - у0)П1 - (х - х0)П2

(1.9)

(1.10)

х0, у0 — координаты точки, относительно которой происходят вращательные колебания тела. Граничное условие на дне имеет вид

дф/

—- = 0, — да < х < да, у = —Н ду

В дальнем поле следует потребовать выполнения условия излучения дф,-

—- ± 1кф] ^ 0, х ^ ±да дх

(1.11)

(1.12)

которое означает, что генерируемые волны расходящиеся. Волновое число к равно q0 или р0 в зависимости от свойств ледяного покрова вдали от трещины. Значения q0 и р0 определены далее в разд. 2.

Вертикальное смещение упругих пластин Ж(х, г), вызванное изгибно-гравитацион-ными волнами, определяется из соотношения

дЖ _ дФ дг ду

у=0

По аналогии с представлением (1.1) выражение для Ж(х, г) удобно записать в виде Ж(х, г) = Яе

3

YjZ jWj (x)exp(;®0

7=1

где

5ф dy

Wj (x)

(1.13)

y=0

представляют собой комплексные функции, позволяющие определить амплитуды вертикальных возвышений упругих пластин по отношению к амплитуде колебаний погруженного тела. Используемая гидроупругая модель движения жидкости и ледяного покрова предполагает, что длина генерируемых изгибно-гравитационных волн существенно больше толщины упругих пластин.

2. Метод решения. При решении задачи (1.2)—(1.12) для каждой моды колебания тела вводится неизвестное распределение массовых источников по контуру S, обозначенное aj(x, y). Тогда радиационные потенциалы в любой точке жидкости можно представить в виде

ф j (x, y) = j о j fe n)G(x, y; n)ds, j = 1,2,3 (2.1)

S

Здесь G(x, y; n) — функция Грина рассматриваемой задачи, определяющая потенциал скоростей в жидкости, вызванный пульсациями массового источника единичной интенсивности, который расположен в точке с координатами п).

Для определения функции Грина необходимо решить уравнение

AG = 2п5(x - £)5(y - п)

(5 — дельта-функция Дирака) с граничными условиями, аналогичными (1.3)—(1.8), (1.11), (1.12). Удобно разделить область, занятую жидкостью, на две подобласти:

Г1(-да< x < 0,-H < y < 0) и Г2(0 < x <o>,-H < y < 0)

Значения функции G(x, y; n) в подобластях Г, обозначены как G(x, y; Ь, n) (i = 1,2). Эти функции ищутся в виде разложения по вертикальным собственным функциям соответствующих краевых задач (см., например, [13]):

да

Gi = aiG01) + V?0>0(y) + X RmeqmxVm(y), x, y e Г (2.2)

m=-2

да

G2 = a2G02) + Te-i№m + X Tme~Pmxfm(y), x, y e Г2 (2.3)

m=-2 m*0

где

chq0(y + H) cos qm(y + H)

¥ 0 - ----—, ¥ m - --—

chqQH cos qmH

f0 = chp0(y + H), fm = cos Pm(y + H), m = -2,-1,1,2,...

chp0H cos pmH

Значения q0 и qm определяются из уравнений

Ki = qo(1 + Liqo4)thqoH = -qm(1 + LqJtgqmH, m = -2, -1,1,... (2.4)

где

K1 = p«2/(gp - ®2M1), L = D1/(gp - «M

Вещественный положительный корень q0 соответствует прогрессивной волне. Значения q-2 и q-1 — комплексно-сопряженные с положительными вещественными частями, а вещественные положительные значения qm удовлетворяют неравенствам

(m - 1)n/H < qm < mn/H, m = 1,2,...

Значения p0 и pm удовлетворяют уравнениям, подобным (2.4), при замене индекса 1 на индекс 2 и q0, qm на p0, pm.

При расположении источника в подобласти Г1(^ < 0) в соотношениях (2.2) и (2.3)

а1 = 1, а2 = 0. Функция G§\x, y;^, п) представляет собой потенциал скоростей для источника, погруженного под бесконечно протяженной упругой пластиной со свойствами пластины Л1

да

/-(1) 1 г- , Гы ,4cos k(x 4cos q0(x - ..

Go = ln — + pvl P(y,4, k)-dk -1nP(y,n; q0)-*0V ^ (2.5)

r+ 0 Z(k) Z (q0)

r±2 = (x-^)2 + (y ±n)2

P =-^——{k(L1k4 + 1)[(e ~kychkn - ekyshkn)e ~2kH + ek(y+n)] - 2K1e~2kHshkii shky}

k(1 + e ~2kH)

Z(k) = K1 - k(1 + L1k4)th kH, Z' (q0) = dZ/dk|k=qo Символ pv означает интеграл в смысле главного значения.

При расположении источника в подобласти Г2(Е, > 0) в соотношениях (2.2) и (2.3)

а1 = 0, а2 = 1. Функция G02)(x, y;^, п) представляет собой потенциал скоростей для источника, погруженного под бесконечно протяженной упругой пластиной

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»