МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА < 6 • 2008
УДК 517.977
© 2008 г. Т.В. ЗАВРАЖИНА
ВЛИЯНИЕ УПРУГОЙ ПОДАТЛИВОСТИ ЗВЕНЬЕВ НА ДИНАМИКУ И ТОЧНОСТЬ ПОЗИЦИОНИРОВАНИЯ РОБОТА-МАНИПУЛЯТОРА С ВРАЩАТЕЛЬНЫМИ И ПОСТУПАТЕЛЬНЫМИ СОЧЛЕНЕНИЯМИ
Для многозвенного робота-манипулятора с упругими звеньями с вращательными и поступательными сочленениями поставлены задачи динамического и кинематического управления пространственными движениями. Они сводятся к решению системы дифференциальных уравнений гибридного типа с обыкновенными и частными производными по независимым переменным. Применяется алгоритм численного интегрирования таких систем, разработанный ранее для роботов-манипуляторов с упругими звеньями антропоморфного типа. Обсуждаются сложности математического моделирования роботов-манипуляторов при наличии одновременно вращательных и поступательных сочленений с упругими звеньями. Для сравнительного анализа и оценки точности позиционирования центра масс груза, транспортируемого манипулятором, поставлены задачи динамического и кинематического управления пространственными движениями робота-манипулятора с жесткими звеньями с вращательными и поступательными сочленениями. Разрешающие уравнения в этом случае получены на основе формализма Лагранжа II рода. В качестве примера приводится решение задач динамического управления упругим и жестким двузвенным манипуляторами, которые имеют два вращательных и одно поступательное сочленение.
1. Введение. Одной из основных проблем робототехники является обеспечение необходимого уровня позиционирования рабочих органов роботов-манипуляторов, который существенно зависит от конструктивных особенностей их кинематических схем. Будем рассматривать кинематическую цепь манипулятора, два упругих звена которой, примыкающие друг к другу, образуют кинематическую пару пятого класса вращательного или поступательного типа, выполненную в виде идеальных цилиндрического шарнира или поступательного сочленения. Любое другое соединение упругих звеньев будем заменять эквивалентной последовательностью указанных сочленений пятого класса. Введение в кинематическую цепь манипулятора упругих звеньев с поступательными степенями подвижности позволяет существенно снизить погрешности позиционирования транспортируемого в схвате груза по сравнению с наиболее часто используемой и, тем не менее, неблагоприятной с точки зрения обеспечения приемлемого уровня погрешности позиционирования консольной схемой манипулятора. Возникающий за счет упругой податливости звеньев консольного механизма манипулятора резкий рост погрешностей позиционирования, который приводит к быстрому износу шарнирных узлов, ухудшению работы контура управления, повышению потребления энергии, удается погасить в случае наличия поступательных сочленений для малых геометрических размеров манипулятора и сравнительно небольших внешних воздействий системы управления. В связи с выше сказанным проблемы изучения динамики и точности позиционирования рабочих органов роботов-манипуляторов с вращательными и поступательными степенями подвижности приобретают особую актуальность.
Вопросы исследования динамических показателей роботов-манипуляторов, содержащих поступательные сочленения, посвящены работы [1-8]. Первые публикации [1, 2] по этой проблеме основаны на предположении о жесткости звеньев манипулятора. Разрешающие уравнения динамики манипуляторов получены в них с использованием уравнений Ньютона-Эйлера и формализма Лагранжа соответственно. Дальнейшие исследования посвящены изучению движения роботов-манипуляторов с поступательными сочленениями и упругими звеньями. В работах [3, 4] приведены упрощенные расчетные модели манипуляторов, в структуре исполнительного механизма которых имеют место одинарные или телескопические соединительные призматические устройства с выдвижным упругим стержнем. Разработки последних лет [5-7], рассматривающие проблему поступательных сочленений, для учета упругой податливости призматических звеньев используют уравнения Лагранжа в сочетании с методом конечных элементов. В работе [6] составлена система разрешающих уравнений для скользящих в продольном направлении балок с одинарными поступательными сочленениями. В статье [7] в качестве примера применения предложенной методики рассматривается математическая модель динамики Стэнфордского манипулятора. Задачи разработки дальнодействующих роботов-манипуляторов с призматическими соединительными узлами сервисного назначения обсуждаются в [8], где установлено, что упругость звеньев в сочетании с их большой длиной обусловливает появление существенной погрешности позиционирования рабочего органа.
Ограниченное количество публикаций, связанных с исследованием динамических характеристик роботов, содержащих поступательные сочленения, объясняется трудностями математического моделирования многозвенных манипуляционных систем с упругими выдвижными звеньями. Медленный прогресс в построении математических моделей таких роботов в рамках описанных выше подходов обусловлен громоздкостью получаемых для них разрешающих уравнений динамики, сложность которых пропорциональна числу выбираемых степеней подвижности. Проблемы моделирования упругих роботов с призматическими сочленениями осложнены, как правило, тем, что элементы упругих звеньев одновременно принимают участие в нескольких видах движения (переносных, задающих перемещение звеньев как твердых тел, и относительных, определяющих относительные упругие смещения звеньев), а гироскопическое взаимодействие между вращательными и линейными компонентами этих движений усложняет их разделение и рассмотрение в отдельности.
При использовании подхода, развиваемого в данной работе, дополнительные трудности моделирования упругих звеньев, присоединенных к кинематической цепи манипулятора призматическими сочленениями, связаны с необходимостью разбиения каждого такого звена на две части и решением, таким образом, двух граничных задач с переменными границами. Этот факт приводит к значительному удлинению реальной кинематической цепи манипулятора, существенному усложнению разрешающих уравнений его динамики и возможности понижения при некоторых значениях геометрических и физических параметров системы точности позиционирования переносимой манипулятором полезной нагрузки.
В данной работе проводятся исследования влияния упругой податливости звеньев управляемого манипуляционного механизма, содержащего вращательные и поступательные сочленения, который транспортирует в пространстве груз шарообразной формы. Проводится сравнительный анализ математических моделей динамики манипуляторов с жесткими и упругими звеньями. Первая модель учитывает распределенный характер параметров упругости и инерции звеньев манипулятора и включает нелинейную систему разрешающих дифференциальных уравнений гибридного типа с обыкновенными производными по временной координате и частными производными по простран-
ственной и временной координатам. Вторая модель с сосредоточенными параметрами предусматривает использование формализма Лагранжа.
2. Математическая модель динамики многозвенного манипулятора с упругими звеньями и постановка задач управления. Построим математическую модель динамики многозвенного пространственного робота-манипулятора, исполнительный механизм
которого состоит из N упругих стержней длины 1п, п = 1, N, последовательно соединенных с неподвижным основанием и между собой с помощью идеальных цилиндрических шарниров и поступательных одинарных сочленений, и жестко закрепленного на конце последнего стержня абсолютно твердого тела (груза). Будем разбивать стержни, закрепленные поступательным сочленением, на две части таким образом, что одна часть (правая) стержня находится до сочленения, а вторая (левая) - после сочленения. Учитывая этот факт, перенумеруем тела, которые входят в состав рассматриваемой системы, в порядке их взаимного присоединения, считая первым звено, шарнирно соединенное с неподвижным основанием, и присваивая правой части разбиваемого стержня номер на единицу меньший, чем левой части стержня. Тогда длины соответствующих стержней
переобозначим I* , п = 1, Р. Заметим, что в таком случае длины стержней, закрепленных вращательными сочленениями, подчиняются соотношению I* = 1п, а длины частей разбиваемых стержней будут переменными величинами, для которых выполняется I* + 1*+1 = 1п, п = 1, N. Кинематическая схема механизма робота-манипулятора с учетом указанных преобразований представлена на фиг. 1. Будем исследовать движение манипулятора в инерциальной системе координат О^ХУХ с ортами 1, ^ к. Для описания движения манипулятора введем жестко связанную с каждым п-м звеном местную систему координат Опх^пгп с ортами 1п, кп, начало которой совпадает с началом рассматриваемого стержня, а ось Опхп совпадает с нейтральной линией стержня в его недеформи-рованном состоянии. Отметим, что для левой части рассеченного выдвижного стержня начало указанной системы координат Оп + 1 совпадает с началом Оп правой части стержня, а соответствующие оси системы координат Оп + 1хп + у + 1гп + 1 совпадают с осями системы Опхпупгп. Для вращательных сочленений введем также дополнительную систему
координат Оп + 1 х* у* г* , начало которой совместим с концом Оп + 1 п-го стержня, а ось
Оп + 1 х* направим по касательной к нейтральной линии стержня в точке Оп + 1.
Будем считать, что каждая из осей соединительных шарниров совпадает с одной из осей местной системы координат, а поступательное одинарное сочленение ориентировано вдоль оси Огх„. Через фп, уп, 0п обозначим углы поворота базиса Опхпупгп относительно базиса Опх*-1 У*_ 1 х вокруг какой-либо из осей Опхп, Опуп, Опгп соответственно. Угол будем считать положительным, если с конца рассматриваемой оси указанный поворот звена виден против хода часовой стрелки.
Через Ьп обозначим функцию перемещения выдвижного звена. Будем считать ее положительной в случае удлинения правой части выдвижного звена.
Задачи динамического и кинематического управления пространственными движениями манипулятора сформулируем следующим образом. Динамическое управление выполняется путем задания N функций упра
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.