МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <5 • 2008
УДК 532.546.013.4:536.25
© 2008 г. Д. В. ЛЮБИМОВ, Т. П. ЛЮБИМОВА, И. Д. МУРАТОВ, Е. А. ШИШКИНА
ВЛИЯНИЕ ВИБРАЦИЙ ИА ВОЗНИКНОВЕНИЕ КОНВЕКЦИИ В СИСТЕМЕ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО СЛОЯ ЧИСТОЙ ЖИДКОСТИ И СЛОЯ ПОРИСТОЙ СРЕДЫ, НАСЫЩЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ
Исследуется возникновение конвекции в подогреваемой снизу двуслойной системе горизонтальных слоев чистой жидкости и пористой среды, насыщенной той же жидкостью, под действием вертикальных вибраций. Для описания свободной тепловой конвекции в жидком слое используется приближение Буссинеска, в пористом слое - приближение Дарси-Буссинеска. Рассмотрение ведется в рамках осредненного подхода. Для предельного случая тонкого жидкого слоя получены эффективные граничные условия на верхней границе пористого слоя, учитывающие конвекцию в жидком слое, показано, что вибрации оказывают стабилизирующее действие, а наличие жидкой прослойки ведет к дестабилизации. Численно исследовано возникновение конвекции при произвольных значениях отношения толщин жидкого и пористого слоев. В случае тонких жидких слоев имеются две моды неустойчивости: коротковолновая и длинноволновая. В случае толстых слоев нейтральные кривые унимодальны. Вибрации оказывают стабилизирующее действие на возмущения с любым волновым числом, однако их действие на коротковолновые возмущения значительно сильнее, чем на длинноволновые.
Ключевые слова: конвекция, пористая среда, двухслойная система, вибрации.
Конвекция несжимаемой жидкости в пористой среде рассматривается в большом числе работ (см., например, обзор [1]). Значительно меньше изучена ситуация, когда слои пористой среды чередуются со слоями однородной жидкости, хотя на практике этот случай встречается довольно часто. В работе [2] исследовано возникновение конвекции в трехслойной системе, состоящей из двух слоев пористой среды, разделенных жидкой прослойкой. Обнаружено, что при подходящем соотношении толщин слоев имеет место конкуренция двух мод неустойчивости: длинноволновой, связанной с возмущениями, охватывающими все толщину системы, и коротковолновой, порождаемой конвекцией в жидкой прослойке. Позднее в [3] аналогичный результат был получен для двуслойной системы однородная жидкость - пористая среда, насыщенная жидкостью. В работах [4-6] изучалось влияние высокочастотных вибраций на возбуждение конвекции в горизонтальном слое пористой среды, насыщенной жидкостью, и было показано, что вертикальные вибрации повышают устойчивость системы вплоть до полной стабилизации равновесия.
В настоящей работе рассматривается влияние высокочастотных вертикальных вибраций на возникновение конвекции в подогреваемой снизу системе горизонтальных слоев однородной жидкости и пористой среды, насыщенной жидкостью.
1. Постановка задачи. Определяющие уравнения и граничные условия. Рассмотрим задачу об устойчивости механического равновесия двуслойной системы, состоящей из слоя однородной жидкости толщиной Н1 и расположенного под ним слоя пористой среды толщиной Н2, насыщенной той же жидкостью. Система ограничена сверху и снизу твердыми плоскостями, поддерживаемыми при постоянных разных температурах, и подвергается вертикальным гармоническим вибрациям с амплитудой а и частотой ю.
Для описания свободной тепловой конвекции в жидком слое будем использовать обычное приближение Буссинеска, в пористом слое - приближение Дарси-Буссинеска.
Рассматриваемая задача имеет решение, соответствующее состоянию механического равновесия. Уравнения, описывающие малые возмущения равновесия, в системе отсчета, связанной с колеблющимся пористым слоем и твердыми границами, имеют вид
dU = Vpf + vAw + gрГу - aю2рГуcosraí (1.1)
= X f AT + Af ug, divu = 0 (1.2)
mlU = - p V Pm - Ku + gP^7 - a cos raí (1.3) dQ
b d- = Xeff AQ + Am u g, divu = 0 (1.4)
Здесь и - скорость конвективного движения в чистой жидкости, и - скорость конвективной фильтрации в пористой среде, р, рт - давления в жидкости и в пористой среде, Т, Ф - отклонения температуры в жидкости и в пористой среде от теплопроводного распределения, р, V, в - плотность, кинематическая вязкость и коэффициент объемного расширения жидкости, g - ускорение силы тяжести, Ар Ат - вертикальные градиенты температуры в жидкости и в пористой среде в состоянии механического равновесия, связанные соотношением КрАр = ктАт, кр, кт - коэффициенты теплопроводности жидкости и пористой среды, т - коэффициент пористости, К - коэффициент проницаемости среды, Ь - отношение теплоемкостей единиц объема пористой среды и жидкости, Хр, Хт - температуропроводности жидкости и пористой среды, у - орт вертикальной оси, Хер - эффективная температуропроводность, определенная по теплопроводности пористой среды, насыщенной жидкостью, и теплоемкости единицы объема жидкости, Хер = ЬХт'
Поясним последнее слагаемое в уравнении (1.3), описывающее силы инерции, связанные с неинерциальностью системы отсчета. Простейший способ его получения заключается в применении общефизического принципа эквивалентности: неинерциаль-ность поступательно движущейся системы отсчета эквивалентна появлению дополнительного гравитационного поля, так что для учета сил инерции достаточно сделать замену ускорения свободного падения g на выражение g - ¿V/Л, где V - скорость не-инерциальной системы отсчета относительно лабораторной. Альтернативный способ вывода состоит в записи уравнений движения сначала в лабораторной системе, а затем в преобразовании скоростей к движущейся системе отсчета. При этом, однако, надо иметь в виду, что скорость фильтрации в отличие от средней скорости движения жидкости в порах не подчиняется преобразованию Галилея, вместо него следует писать и' = и + тУ, где и' - скорость фильтрации в лабораторной системе отсчета, и - в движущейся. Неучет этого обстоятельства приводит к дополнительному множителю т-1 в силах инерции [4, 5].
На твердой поверхности, ограничивающей двуслойную систему снизу, исчезают нормальная компонента возмущений скорости и возмущения температуры, на верхней границе - возмущения скорости и температуры:
г = -h2: un = 0, Q = 0; z = hu = 0, T = 0
(1.5)
На поверхности раздела считаются выполненными условия непрерывности температуры и теплового потока:
z = 0: Т = *, К f f = Kmfz С1-6)
В качестве гидродинамических граничных условий на поверхности раздела принимаются непрерывность нормальной компоненты скорости, непрерывность нормальных напряжений и условие Биверса-Джозефа [1]:
d Uz d UT а
z = 0: v„ = и„, Pf-2Р^ = pm, = —(vz- uz) (1-7)
Условие Биверса-Джозефа, появившееся впервые в работе [7] как эмпирическое соотношение, было первоначально записано для однонаправленного течения, параллельного поверхности раздела однородная жидкость - пористая среда. Оно выражало тот факт, что в пористой среде действительное выравнивание скоростей происходит на расстояниях порядка K1/2, что не описывается непосредственно законом Дарси, но может быть учтено в виде эффективного граничного условия. Последующая дискуссия (см., например, работы [8-10]) показала, что условие Биверса-Джозефа неплохо согласуется с экспериментом не только для однонаправленных течений и имеет некоторое теоретическое обоснование на основе предельной процедуры, использующей закон Бринкмана вместо закона Дарси, при учете малости K1/2 по сравнению с внешними размерами. Численное значение константы а зависит от многих факторов и может меняться в довольно широких пределах. В соответствии с экспериментальными данными [7], в настоящей работе принято значение а = 0.1, использовавшееся в ряде работ [1].
Ограничимся рассмотрением высокочастотных вибраций малой амплитуды. Действуя по аналогии с теорией тепловой вибрационной конвекции в однородной жидкости [11-13] и в пористой среде [4, 5], т.е. выделяя в уравнениях (1.1)—(1.4) пульсационные компоненты полей скорости, температуры и давления up, up, T , *p, pp, pmp и оставляя в них главные слагаемые, получаем систему
^Up = -1 — pfp - «ю2РТуcosюt
— = Af u pg, divu p = 0
дТр
ИГ = ^"р'
Эи (1.8)
т =-1—Ртр- Ки р- а ю2р'7 С08 ю д
Ь~д[ = Ати РУ' ^ Р = 0
В уравнении для пульсационной скорости фильтрации оставляется диссипативное слагаемое -Уыр/К, хотя отбрасываем вязкое слагаемое в уравнении для пульсационной скорости в однородной жидкости. Такая кажущаяся непоследовательность обусловлена малостью проницаемости для реальных пористых сред. Действительно, отношение дис-сипативного слагаемого к ускорению имеет порядок ту/(юК) и может стать малым лишь при частотах, больших, чем ту/К, т.е. в килогерцевом диапазоне для реальных сред и жидкости типа воды, в то время как для однородной жидкости высокочастотный предел достигается уже при частотах в несколько герц (для характерных размеров задачи несколько сантиметров, для больших размеров частота может быть еще меньше). В формальной процедуре осреднения, проводимой как асимптотическое разложение по
обратной частоте, это соображение можно учесть, зафиксировав отношение О = шК/у, т.е. устремляя проницаемость к нулю одновременно со стремлением частоты к бесконечности [5].
Будем искать решения системы (1.8) в виде
и р = Яе( V еш), ррр = Яе( Р ), ир = Яе (е'Ш), Ртр = Яе (Рте'Ш')
Для амплитуд У, Щ, Р, Рт пульсационных полей скорости и давления в однородной жидкости и пористой среде получаем уравнения
= -1!-—Рр - а а2 вТу, = 0
Р (1.9)
'W = -1!- VРт W - аа2рФу, divW = 0 т р т К
Для пульсационных полей температуры получаем явные выражения
А А
Тр = —¿Ке(^уе Ш), Фр = —тЯе(iWgе'Ш) (1.10)
р ш р ШЬ
Проведя осреднение в полной системе уравнений, используя следующие очевидные соотношения
_ А _ А
Тр ео8 Ш = --г^Я^ ^у), Ф р ео8 Ш = -г-т-Яе (iWy) р 2 Ш р 2 Ш Ь
приходим к задаче
1 ди 1 Кр Кри
1_с-и = -1- — р + Ди + _р Ту + кЬ -—у Яе ('V у)
Ргт д г е 1} е ' е ' '
дТ 2
Хцг = ДТ + к иу, divи = 0
^ = - —Р; - Ту, divV = 0
етР^ди = - Vрт - и + крФу + Кр»уКе(iWy) (1.11)
д-Ф = А Ф + иу, ёгуи = 0
д г
' QW
= - УРт - W - Фу, divW = 0
тт
* = °-г =, ^ = а(и- ^, Т = ф, | =к| (1.12)
- рр +2 е ^ = -р т, V = ^, РР = Рт
* = й: и = 0, Т = 0, V* = 0 (1.13) г = -1: и* = 0, Ф = 0, = 0
Р _ у_ * _ 8вкЬ2Ат _ _ (аюАш ркЬ)2ю о
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.