КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2008, том 46, № 2, с. 168-173
УДК 629.78:531.36
ВЛИЯНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ НА УГЛОВОЕ ДВИЖЕНИЕ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ СПУСКА
© 2008 г. В. С. Асланов, А. В. Дорошин
Самарский государственный аэрокосмический университет им. ак. С П. Королева
Поступила в редакцию 21.03.2006 г.
Рассматривается движение космического аппарата (КА) с переменной массой на активном участке траектории спуска. Получены приближенные аналитические решения для углов пространственной ориентации КА, которые позволяют выполнить анализ нутационного движения и выработать рекомендации по массовой компоновке КА, обеспечивающие наименьшие отклонения продольной оси и вектора тяги от заданного направления. Проведены расчеты ошибок стабилизации продольной оси КА с помощью численного интегрирования полных моделей и с помощью полученных аналитических решений, результаты которых показали хорошее соответствие.
PACS: 45.40.Gj
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Для придания вектору тормозной тяги заданного направления при осуществлении спуска КА в атмосферу аппарат стабилизируют в пространстве посредством закрутки вокруг продольной оси. Длительность работы тормозной двигательной установки (ТДУ) составляет порядка 20 секунд, в течение которых из-за выгорания топлива происходит изменение инерционно-массовых характеристик КА. Начальные угловые возмущения приводят к появлению на активном участке нутационных колебаний продольной оси аппарата с изменяемой амплитудой. Отклонения продольной оси, а, следовательно, и вектора тяги служат причиной к переходу на орбиту спуска, отличающуюся от расчетной и, следовательно, к увеличению области рассеивания точек посадки.
Ставится задача получения простых приближенных аналитических решений для углов пространственной ориентации КА, позволяющих выполнять анализ движения и вырабатывать рекомендации по массовой компоновке аппарата, обеспечивающие наименьшие отклонения продольной оси от заданного направления, а, следовательно, наименьшее рассеивание точек посадки. Пространственное движение аппарата вокруг центра масс определяет, в том числе, и движение его продольной оси, а, следовательно, направление вектора тормозной тяги. Эффективность гироскопической стабилизации определяется величиной отклонения конечной скорости центра масс КА на активном участке от номинального значения. Как правило, в задачах спуска тормозной импульс считается мгновенным и его направление считается неизменным [1]. Однако в реальных условиях во время работы ТДУ направление
вектора тормозной тяги изменяется вследствие нутационно-прецессионного движения.
Следует отметить, что указанная задача рассматривалась ранее в ряде работ, например, в монографии [2]. Однако в указанных работах в явном виде не представлены решения для кинематических параметров пространственного и траектор-ного движения КА на активном участке спуска. В настоящей же статье проводится интегрирование в квадратурах соответствующих динамических уравнений, и находятся аналитические решения для указанных кинематических параметров.
В работе [3] указано, что после окончания работы ТДУ отношение модуля поперечной скорости к модулю полной скорости не должно превышать некоторого заданного значения:
п = Ук\ <П*, (1.1)
где |Ук| = - величина конечной
скорости центра масс КА после работы ТДУ, ось £ совпадает с заданным направлением тормозного импульса, П - предельно допустимое значение критерия П.
Критерий П, характеризующий угловую ошибку в выдаче тормозного импульса, может быть получен путем численного интегрирования соответствующих уравнений движения центра масс, например [3], совместно с уравнениями движения относительно центра масс или с использованием аналитических решений.
2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ПЕРЕМЕННОГО СОСТАВА
При описании движения тела переменного состава воспользуемся гипотезой "близкодействия"
[4, 5], согласно которой отбрасывание частиц происходит только с некоторой части поверхности тела переменной массы, причем частицы, не имеющие относительной скорости по отношению к системе координат, связанной с телом, считаются принадлежащими телу. Частицы, имеющие относительную скорость, телу уже не принадлежат и влияния на его движение не оказывают. Уравнения движения будем записывать в системе координат Охуг, жестко связанной с КА и имеющей начало в точке О, совпадающей с начальным положением центра масс. Отметим, что в процессе выгорания топлива в ТДУ положение центра масс относительное КА изменяется. Введем следующие системы координат: ОХУХ -подвижная и в общем случае неинерциальная система координат, оси которой остаются коллине-арными осям некоторой инерциальной системы; Охуг - система координат, связанная с КА, ось Ог направлена вдоль продольной оси аппарата, в направлении которой выдается тормозная тяга Р. Будем считать, что аппарат обладает осевой динамической симметрией, которая не нарушается в процессе изменения массы, и центр масс тела перемещается вдоль оси симметрии Ог.
Динамические уравнения движения динамически симметричного тела переменного состава можно получить из динамических уравнений движения системы двух соосных тел [3, 7], положив моменты инерции одного тела равными нулю:
Z
( А - m pe) p + ( C - A ) qr = Mx,
(A - mpC)q - ( C - A)pr = My, er = Mz,
(2.1)
где A = A(t), C = C(t) - экваториальный и продольный моменты инерции тела, вычисленные в связанной системе координат Oxyz; pC = pC(0- расстояние между центром масс тела и началом координат системы Oxyz; Mx, My, Mz - проекции главного момента внешних сил на связанные оси. Уравнения (2.1) совпадают с известными уравнениями движения твердого тела переменной массы [4-6] при неизменном положении центра масс тела pC = 0.
Ввиду малого размера КА по сравнению с радиусом орбиты момент от гравитационной силы можно не учитывать. Будем рассматривать процесс симметричного выгорания топлива в ТДУ, когда отброс точек происходит строго в направлении продольной оси, а центр масс незначительно перемещается от своего начального положения:
pC ^ A/m. Момент реактивной силы относительно центра масс в этом случае будет отсутствовать. В силу сделанных допущений, перепишем динамические уравнения (2.1) следующим образом:
p + b(t)qr = 0, q - b(t)pr = 0, r = 0, (2.2)
zk Y A V
p
Рис. 1
где
b ( t) = C( t)/A ( t ).
(2.3)
В качестве углов, определяющих положение связанной системы координат Oxyz относительно системы OXYZ, будем использовать углы эйлерова типа: у —► у —► ф (рис. 1). Последний поворот на угол ф происходит вокруг оси динамической симметрии аппарата Oz. Такой выбор в дальнейшем позволит получить искомые приближенные решения, в том числе для угла нутации.
Кинематические уравнения для введенных углов пространственной ориентации имеют вид:
Y = p sin ф + q cos ф, у = (p cos ф - q sin ф)/cos Y,
ф = r -tg y( p cos ф - q sin ф). (2.4)
Будем определять угол нутации б как угол между осью OZ и осью динамической симметрии аппарата Oz, тогда из сферической геометрии следует, что
cos б = cos у cos Y.
(2.5)
Отметим, что при малых величинах угла нутации (а следовательно и углов у, Y) формула (2.5) переписывается в виде:
А2 2 2 б = у + y .
3. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
(2.6)
Пусть масса, продольный и поперечные моменты инерции аппарата при работе тормозного двигателя изменяются по линейному закону, что с достаточно большой точностью выполняется для ракетных двигателей твердого топлива, исполь-
x
зуемых в качестве ТДУ, с топливными зарядами звездообразного профильного сечения и пакет-но-шашечными зарядами при условии их равномерного выгорания:
А (t) = Ao - at, C (t) = Co- ct,
(3.1)
0 = у + i у,
(3.2)
0 (t) = 0oexp [ iJ( t)],
(3.4)
где
J( t) = r0 J b (t) dt =
Ao cro
-ln I 1- —
Coro
2 at/Ao-
Aocro
(3.5)
Выделяя действительную и мнимую части решения (3.4), запишем выражения для угловых скоростей:
y = yocos( J(t)) - tosin( J(t)) =
= roGsin(Fo- J(t)),
t = y osin(J(t)) - "tocos( J(t)) = = ro G cos (Fo- J (t)),
(3.6)
at/Ao - ln(1 + 5)
Co ro
Ao cro
= — t -
a
Co ro Aocri
oo
1,2 Ui ^ (3.7)
5-2 52+i 51 -...I.
где А0, С0 - начальные значения соответствующих моментов инерции; а, с > 0.
Воспользуемся процедурой записи уравнений углового движения при малых углах нутации в комплексной форме, которая используется в целом ряде работ, например, в [6]. Введем следующую комплексную переменную:
5 = -at/Ao.
действительная и мнимая части которой представляют собой первые два угла из последовательности поворотов (рис. 1), причем в силу (2.6) |0| = б, т.е. модуль комплексной переменной характеризует величину угла нутации. При малых углах нутации действительная и мнимая части переменной 0 описывают движение проекции апекса продольной оси КА 01 по неподвижной координатной плоскости ХОУ. Опуская вспомогательные выкладки указанной процедуры, подробное описание которых можно найти в работе [6], не трудно привести первые два уравнения (2.2) к следующему комплексному уравнению:
0 = щЬ (г)0. (3.3)
Из уравнения (3.3) можно получить зависимость для комплексной угловой скорости:
Для рассматриваемого класса КА величина 5 за время работы ТДУ не превышает значения 0.2. Поэтому, отбрасывая в разложении члены, содержащие 5 в третьей и выше степенях, а также полагая F0 = 0, получим следующие приближенные уравнения для углов пространственной ориентации:
t = ro G cos (X t + ц2), y = ro G sin (Xt + ц t2) ,(3.8)
где
X = -r C ц = ro Ic aC-An 2 An V Ас
(3.9)
Для комплексной угловой скорости справедливо следующее уравнение:
0 = у + гу = г'г0 О ехр [ г (X г + цг2)], (3.10)
из которого следует, что дальнейшее интегрирование в комплексной форме не представляется целесообразным, т.к. приводит к формализованному виду решения в специальных функциях комплексного переменного. Исходя из этого дальнейшие преобразования будем проводить на основе разделенных уравнений (3.8).
В силу конструктивных особенностей КА параметры параметров ц и X могут принимать как одинаковые, так и противоположные знаки, что, соответственно, зависит от выполнения или невыполнения следующего условия:
Л = (cAo- aCo )< o.
(3.11)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.