МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <2 • 2008
УДК 532.51.013.4:536.25
© 2008 г. Д. В. ЛЮБИМОВ, Т. П. ЛЮБИМОВА, Е. С. САДИЛОВ
ВЛИЯНИЕ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА КОНВЕКЦИЮ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ ЖИДКОСТИ
Рассмотрена устойчивость механического равновесия подогреваемого снизу горизонтального слоя проводящей жидкости при наличии магнитного поля, вращающегося в горизонтальной плоскости. Исследованы как конечные частоты вращения поля, так и предельный случай высоких частот. Показано, что магнитное поле стабилизирует равновесие. Зависимость длины волны критических возмущений от напряженности поля немонотонна, причем с увеличением напряженности магнитного поля происходит смена моды наиболее опасных возмущений от длинноволновой к коротковолновой. Проведены численные расчеты нелинейных трехмерных режимов конвекции. Обнаружено, что при конечных надкритичностях и достаточно сильном магнитном поле могут быть одновременно устойчивыми как валы, так и гексагональные ячейки.
Ключевые слова: вращающееся магнитное поле, конвекция, горизонтальный слой жидкости, проводящая жидкость.
Исследования влияния магнитного поля на возбуждение тепловой конвекции в плоском горизонтальном слое проводящей жидкости восходят к классическим работам Томпсона и Чандрасекара. Томпсон [1] рассмотрел возникновение конвекции в плоском горизонтальном слое проводящей жидкости с недеформируемыми границами, свободными от касательных напряжений. Позднее конвекцию в плоском горизонтальном слое жидкости в магнитном поле исследовал Чандрасекар [2, 3]. Он установил, что необходимым условием колебательной неустойчивости является неравенство Ргт > Рг (здесь Рг = v/x - число Прандтля, а Ргт = v/vm - магнитное число Прандтля). В подавляющем большинстве случаев в земных условиях в действительности выполняется обратное неравенство. Что касается монотонной неустойчивости, то уже в работах [1-3] было показано, что на границу монотонной неустойчивости оказывает влияние только вертикальная составляющая магнитного поля. Наличие же горизонтальной составляющей отражается только на форме критических возмущений: конвекция возникает в виде валов, вытянутых вдоль горизонтальной составляющей поля.
Упомянутые результаты нашли экспериментальное подтверждение в работах [4-6].
Исследование влияния вращающегося магнитного поля на поведение неоднородно-нагретой жидкости в основном связано с широким практическим применением магнитных полей как средства бесконтактного управления тепломассопереносом при выращивании кристаллов, перемешивании многокомпонентных систем и др. В обычно изучаемых ситуациях горизонтальные размеры сосуда с жидкостью сопоставимы с вертикальными. В этом случае основной эффект магнитного поля, вращающегося в горизонтальной плоскости, состоит в генерации течения в азимутальном направлении [7]. В литературе имеется лишь небольшое число работ, касающихся взаимодействия термогравитационной конвекции и вращающегося магнитного поля (например [8, 9]), в которых изучается взаимодействие азимутального течения и термогравитационной конвекции.
Работы, посвященные исследованию конвекции в горизонтальном слое при наличии вращающегося магнитного поля, отсутствуют, хотя этот случай представляет спе-
циальный интерес. Дело в том, что в случае удаленных боковых стенок и неэлектропроводных границ индуцированное магнитным полем азимутальное течение экспоненциально мало всюду, кроме сравнительно небольших областей, примыкающих к боковым стенкам. В пределе бесконечного горизонтального слоя, несмотря на наличие переменного поля, оказывается возможным состояние механического равновесия, однако вращающееся поле будет воздействовать на возмущения равновесия. Исследованию такого воздействия и посвящена настоящая работа.
1. Постановка задачи. Рассмотрим конвективное движение проводящей жидкости, заполняющей бесконечный горизонтальный слой, подогреваемый снизу и помещенный во внешнее магнитное поле. Магнитное поле на большом удалении от слоя предполагается параллельным слою и равномерно вращающимся в горизонтальной плоскости. В самом слое и его окрестности в отсутствие движения жидкости поле неоднородно, однако зависит лишь от вертикальной координаты. Такая неоднородность поля, как будет показано ниже, совместима с условиями механического равновесия жидкости. Цель настоящей работы - исследование влияния поля на линейную устойчивость равновесия и численный анализ нелинейных режимов конвекции.
Запишем безразмерные уравнения свободной тепловой конвекции проводящей жидкости в приближении Буссинеска [10], пренебрегая джоулевым тепловыделением:
^ = АБ + V х (u х B) (1.1)
д t Pr
Ul i Lm
2
1 í? u PrmHa
-1-( ^u + uVu = - Vp + Аu + RaTez + —m— BVB (1.2)
Pr 1.Э t ) z Pr
uVT = А T (1.3)
dt
Vu = 0, VB = 0 (1.4)
Здесь появляются следующие безразмерные параметры:
I--3 2
На = ^/Р-, Ra = £eX-, Pr = X, О = <*L, Prm =
c
c Vpv' vx ' x x m -2
где На - число Гартмана, Яа - число Релея, Рг - число Прандтля, О - безразмерная частота вращения поля, Ргш - магнитное число Прандтля, Ь - толщина слоя, 0 - перепад температур между границами слоя, В* - магнитное поле вне слоя на бесконечности. Пренебрежение джоулевым теплом означает, что мы считаем малым следующий параметр: .То = аю2Ь4Я2/(кс20) (к - коэффициент теплопроводности). Это означает, что рассматривается случай не очень больших частот вращения.
Введем правую прямоугольную декартову систему координат {х, у, г) так, чтобы ось г была направлена по вертикали, а начало системы координат находилось в центре слоя. Границы слоя предполагаются свободными от касательных напряжений, идеально теплопроводными и неэлектропроводными. В этом случае граничные условия записываются в следующем виде:
диху д Вх д Ву
г = 0,1: иг = 0; = 0; Т =1,0; ]„ = --=-2 = 0, В = Ве
2 дг ду дХ (1.5)
Рг Рг
^^: Вх = -—-со8 О г; Ву = -— вт Ог
х Рг у Рг
mm
Здесь Ве - индукция магнитного поля вне слоя, ]п - нормальная компонента тока.
Задача (1.1)—(1.5) допускает решение, соответствующее механическому равновесию:
« = 0, Т о = 1- г
?Г РГ ;т (1.6)
Во = рГ-Ке( Ъовп), Ве о = рГГ-Яе (Ъе о вп)
b - (е - iе )cos h( Y ( 1 + i)(z - 1/2 )) b _ e - ie (17)
b0 - (e. iey) cos h( y (1 + i)/2 ) ' Ье0 _ e^ ^ (L/)
ßnaarnL2 ,
Y = JJ-' Ье0 = ex - 1 eу
где Y - новый безразмерный параметр, характеризующий глубину проникновения магнитного поля в жидкость. Из формулы (1.7) видно, что в основном состоянии магнитное поле внутри слоя горизонтально, однородно по горизонтальным координатам и вращается с той же скоростью, что и внешнее поле. Величина поля и угол поворота по отношению к внешнему полю зависят от вертикальной координаты, но не зависят от времени. Внешнее магнитное поле однородно - распределение индуцированных токов нечетно относительно середины слоя и созданные ими поля во внешней области взаимно компенсируются. В предельном случае малых y поле внутри слоя однородно и совпадает с внешним полем. В противоположном предельном случае больших y поле внутри слоя сосредоточено в тонких скин-слоях. В дальнейшем рассматривается случай y ^ 1. Параметр, характеризующий джоулево тепловыделение, пропорционален Y2, а именно Jo = raL2H2/(2n^K)Y2, т.е. условие y ^ 1 означает одновременно и пренебрежение джоулевым теплом.
Рассмотрим устойчивость равновесия по отношению к малым возмущениям. Сохраняя для возмущений прежние обозначения и, p, T, B и линеаризуя уравнения (1.1)-(1.4) около основного состояния (1.6), (1.7), получаем уравнения
Pr
AB = --pr^BoVB (1.8)
2
1 d U Prm Ha
Pr du = - —P + Au + Ra Tez + ^p— BoVB (1.9)
^ = A T + u„ Vu = 0, VB = 0 (1.10)
dt i
Исключая возмущения магнитного поля, давления и горизонтальные компоненты скорости, получаем задачу
1 dv7 2 2 (Pr л2 2
РГ= A2Uz + RaA2T- Ha2[ pmj (BoV)4 (1.11)
d T
dt
- A T + vz (1.12)
z = 0, 1: V- = 0; ^^ = 0; T =0 (1.13)
z dz
2. Конечные частоты вращения, линейная задача. Будем искать возмущения --компоненты скорости и температуры в виде
i (k^x + k,,y)
vz = V(t) e y sinnz (2.1)
rp i (kxx + kyy) • ON
T = t)e y sinnz (2.2)
Фиг. 1. Зависимость минимального критического числа Релея Ят (а) и критического волнового числа наиболее опасных возмущений (б) от числа Гартмана На, Рг = 6, О = 1500, 2500, 3500, 5000, ~ (линии 1, 2, 3, 4, 5 соответственно)
61120
0.4 0.8 1.2 к
Фиг. 2. Нейтральная кривая Яа(к) (О = 5000, Рг = 6, На = 107.45)
Для амплитуд возмущений (при подходящем выборе начала отсчета времени) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения
-р-^Т = ^ - + 2ш2 к 2 (1 +^2 о 1)у (2.3)
2
^ = - Ч А + V (2.4)
к2 = к2 + к2, д2 = к2 + п2
Система уравнений (2.3), (2.4) решалась численно с использованием метода Рунге-Кутта 4-го порядка точности. В результате были найдены только синхронные решения с частотой кратной 2О, субгармонических решений (с частотой О) найдено не было.
Минимальное критическое число Релея Ят является монотонно возрастающей функцией числа Гартмана, в то время как волновое число наиболее опасных возмущений кт имеет минимум при некотором значении числа Гартмана, зависящем от частоты (фиг. 1). С ростом О минимум кривой кт(На) смещается в сторону больших значений числа Гартмана и при О ^ «> зависимость кт(На) становится монотонной. Эффект стабилизации усиливается с ростом частоты и с уменьшением числа Прандтля. В определенном диапазоне значений числа Гартмана, зависящем от частоты, нейтральные кривые имеют два минимума (фиг. 2), причем при некотором значении числа Гартмана
оба минимума соответствуют одному и тому же числу Релея, при меньших значениях более опасны длинноволновые возмущения, а при больших - коротковолновые. Как видно из фиг. 1, значение Яаш, соответствующее длинноволновому минимуму, практически не зависит от О, в то время как коротковолновый минимум при увеличении частоты сдвигается в область больших Ят.
Рассмотрим линейную задачу в предельном случае высоких частот вращения поля О > 1. Как следует из уравнений (2.3), (2.4), высокочастотные пульсации V и Ф малы, поэтому высокочастотный предел может быть получен формальным осреднением уравнений (2.3), (2.4) по временам много большим О-1. В
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.