научная статья по теме ВЛИЯНИЕ ВРАЩЕНИЯ НА УСТОЙЧИВОСТЬ АДВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ ЖИДКОСТИ С ТВЕРДЫМИ ГРАНИЦАМИ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ ПРАНДТЛЯ Физика

Текст научной статьи на тему «ВЛИЯНИЕ ВРАЩЕНИЯ НА УСТОЙЧИВОСТЬ АДВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ ЖИДКОСТИ С ТВЕРДЫМИ ГРАНИЦАМИ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ ПРАНДТЛЯ»

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2015

УДК 532.517:536.252

ВЛИЯНИЕ ВРАЩЕНИЯ НА УСТОЙЧИВОСТЬ АДВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ ЖИДКОСТИ С ТВЕРДЫМИ ГРАНИЦАМИ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ ПРАНДТЛЯ

© 2015 г. Д. Г. ЧИКУЛАЕВ*, К. Г. ШВАРЦ**

*Пермский государственный национальный исследовательский университет, Пермь **Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации, Москва e-mail:mail@chikulaev.com, bmontana@yandex.ru

Поступила в редакцию 12.05.2014 г.

Исследована граница существования монотонной неустойчивости адвективного течения во вращающемся горизонтальном слое несжимаемой жидкости с твердыми границами в зависимости от числа Прандтля (Pr) и числа Тейлора (Ta). Построены нейтральные кривые зависимости критического числа Грасгофа от волнового числа при различных значениях Ta и Pr. Выявлены две гидродинамические моды неустойчивости и исследовано влияние на них вращения в диапазоне 0 < Ta < 105 при малых числах Прандтля. Граница первой монотонной моды с ростом числа Тейлора от 0 до 200 сужается по Pr в пределах от 0.34 до 0. Граница второй монотонной моды с

ростом 268 < Ta < 105 расширяется по Pr от 0.065 до нуля и от 0.065 до 0.92.

Ключевые слова: адвективные течения, устойчивость, вращение, нейтральная кривая, метод дифференциальной прогонки, метод сеток.

Впервые адвективные течения при отсутствии вращения были описаны аналитически Г.А. Остроумовым [1]. Рассматривались течения, возникающие в плоском горизонтальном слое жидкости при наличии постоянного градиента температуры на обеих границах слоя. Плоскопараллельные адвективные течения при различных граничных условиях описаны в [2, 3].

Устойчивость таких течений для случая с твердыми границами исследована в [4, 5] с помощью метода Галеркина. При малых числах Прандтля возникает гидродинамическая мода, обусловленная гидродинамическим механизмом, при которой вихри на границе встречных потоков неподвижны [5]. Монотонная гидродинамическая мода неустойчивости существует при малых числах Прандтля (0 < Pr < 0.34). Она с ростом Pr резко стабилизируется ввиду того, что в области образования вихрей имеется устойчивая температурная стратификация, затрудняющая их развитие.

В работах [6, 7] впервые аналитически получены уравнения адвективного течения во вращающемся плоском горизонтальном слое жидкости. В них тоже рассматривался случай, при котором на границах температура линейно изменялась с продольной координатой. Отметим, что аналогично течениям без вращения, вектор скорости ориентирован перпендикулярно силе плавучести, горизонтальные компоненты есть, но нет вертикальной компоненты вектора скорости [8].

Работы, посвященные исследованию устойчивости адвективных течений во вращающемся слое жидкости, описаны в обзоре [9]. Устойчивость адвективных течений во вращающемся плоском горизонтальном слое жидкости с твердыми границами была

исследована с применением метода сеток при Рг = 6.7 (вода) в [8, 10] и при Рг = 0.1 в [11]. Показано, что при вращении адвективное течение становится более устойчивым, за исключением небольшого интервала значений числа Тейлора Ta. В рамках линейной теории вращение не меняет монотонный характер неустойчивости течения. В [8, 10] рассмотрены случаи винтовых и спиральных возмущений. При Рг = 6.7 и числе Тейлора Ta < 60 спиральные возмущения более опасные, чем винтовые пространственные, а при Ta > 60 наоборот.

Сравнение метода дифференциальной прогонки с методом сеток для исследования устойчивости адвективного течения во вращающемся слое жидкости произведено в [12]. Получены одинаковые результаты, и показана эффективность метода сеток.

В [13] исследована устойчивость адвективного течения в горизонтальном слое несжимаемой жидкости с твердыми границами при слабом вращении (0 < Ta < 100) и малых числах Прандтля. Показано, что с ростом Ta течение становится более устойчивым, а граница монотонной моды сужается по числу Прандтля. В работе [14] изучалось влияние быстрого вращения при большом значении числа Тейлора (Ta = 105) на аналогичное течение. Показано, что с ростом числа Прандтля от 0 до 0.3 течение дестабилизируется, а при 0.3 < Рг < 0.92 стабилизируется — критическое число Грасгофа возрастает. Определена граница гидродинамической моды.

В данной работе проводится исследование влияния вращения (0 < Ta < 105) на монотонные моды неустойчивости при малых значениях Рг. Определяются диапазоны чисел Прандтля, при котором они существуют для различных значений числа Тейлора. Строятся нейтральные кривые зависимости критического числа Грасгофа от волнового числа при различных значениях Ta и Рг.

1. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечный горизонтальный слой несжимаемой жидкости с твердыми границами z = ±h, который вращается с постоянной угловой скоростью Q0. Ось вращения сонаправлена с вертикальной осью координат Oz. На верхней и нижней границах задана температура T, линейно меняющаяся с горизонтальной координатой х, условие прилипания и замкнутости потока

h h

z = ±h: T = Ax, A = const, и = 0, J uxdz = 0, J uydz = 0 (1.1)

-h -h

Исследование адвективных течений будем проводить на основе уравнений конвекции в приближении Буссинеска во вращающейся системе отсчета с использованием декартовых координат [15]. Отношение конвективной силы, возникающей за счет неоднородности плотности в центробежном поле, к конвективной силе в поле тяжести

определяется числом Фруда Fr [15]. Рассмотрим случай, когда Fr = Qijl/g ^ 1, здесь l — характерный горизонтальный масштаб, g — ускорение силы тяжести. В этом случае влияние поля тяжести существенно. Таким образом, можно пренебречь влиянием центробежной силы. В качестве масштабов длины, времени, скорости, температуры и

2 / 2 / 2 давления соответственно выбираем h, h /v, gpAh /v, Ah и p0gPAh , где v — кинематическая вязкость жидкости, P — коэффициент теплового расширения, A — постоянный горизонтальный температурный градиент на горизонтальных границах слоя, р0 — средняя плотность. Получаем уравнения в безразмерном виде в проекциях на оси вращающейся системы координат [5, 8]:

ди х дг + Gr j их ди х дх + Uу ди х ду ди х + и z—х z д1) | - л/Ta • и у = др дх + Аи х

диу дг + Gr| U х диу дх + Uу диу ду диу л + ° z J +vra • их = др ду + Аиу

ди z дг + Gr | и х ди z дх + Uу диz ду ди z ^ +u ■ it J = -д-Р + Аи z дz z + Т

(1.2)

' ду 0zj oz

ди х dUy ди z , —x + —- + —z = 0 дх ду dz

дТ + „ f дТ + дТ + дТ\ 1 АТ --+ Gr \их--+ и у--+ и z — I = —А1

дг | дх у ду z дzJ Pr

где Т (х, у, z, t) — температура, х — коэффициент температуропроводности, и (х, у, z, t) = (vx,vy,vz) — вектор скорости жидкости относительно вращающейся системы, р — давление, Gr = g$Ah4/ v — число Грасгофа, Ta = (2Q0h /v) — число Тейлора, Pr = v/x — число Прандтля. Условия (1.1) принимают вид

1 1

z = ±1: Т = х, и = 0, J Uxdz = 0, J Uydz = 0 (1.3)

-1 -1

Профили скорости и температуры описаны точным решением задачи (1.2) и (1.3) в работе [8]

»0 (z)=^TaIm/1 (z), U0 (z)=-^Ta(z - Re/1 (z)) w0 (z) = 0, Т0 = х + GrPrT0 (z), T0 (z) = ^Ta u0 (z)

/1 (z) = ^ " = + ')('■ = ^ a

где u0 (z), u0 (z) и w0 (z) — компоненты вектора скорости, Re и Im — действительная и мнимая части комплексного значения, Т0 — температура.

Для исследования возникающего адвективного течения применим метод малых возмущений

и = U0 + V, Т = Т0 +9, p = Р0 + P (1.4)

где V, 0, P — малые нестационарные возмущения скорости, температуры и давления, V = (u, и, w). Подставим (1.4) в (1.2) и (1.3). В рамках линейной теории пренебрежем квадратичными слагаемыми V и 0:

ди ^ ( д»0 , ди диг^т dp , . --+ Gr I w—0 + u0--+ u0 — \ Ta • u = -— + Au

dt у dz дх ду) дх

dU + Griw^ + »0 ди + U0 ^l + VTa • и = -др + Au (1.5)

дг у дz дх ду) ду

+ Gr (u0 — + u0 ^1 = -^ + Aw + Ъ

дг у дх ду) дz

du + do + dw _ Q dx dy dz

dy

dT dT

— + Gr I u—0 + w—0 + uQ — + uQ— I _ — Д8

59 dt

dx

dz.

dx

1 dy.

J_ Pr

z = ±1:V = Q, 9 = Q, J udz = Q, J и dz = Q

(1.6)

-1

-1

2. Методы исследования. Исследование устойчивости будем проводить на основе методов сеток и дифференциальной прогонки. Их сравнение представлено в [12].

Большая часть расчетов получена с помощью метода сеток для одномерной задачи. Разработанный 'Л'еЬ-интерфейс [16] позволял управлять расчетами на удаленном сервере с сохранением полученных результатов в базе данных.

В качестве малых возмущений будем рассматривать нормальные возмущения [10]. Введем функции тока у (г, х, z) и вихря возмущений скорости ф

ф (г, х, z) = (Ф1 (г, z) +1§2 (г, z)) ехр (¿кхх) у (г, х, z) = (((г, z) + ¿у 2 (г, z)) ехр ((кхх) и (г, х, z) = ((г, z) + ¿и2 (г, z)) ехр (кхх) 0 (г, х, z) = (01 (г, z) + ¿02 (г, z)) ехр (¿кхх)

(2.1)

5у u = —,

dz

w = ——,

dx

д V d 2 у a

= 2 + 2 = dx dz

где ф1 (t,z), (t,z), u1 (t,z), 01 (t,z), ф2 (t,z), y2 (t,z), u2 (t,z), 92 (t,z) - амплитуды возмущений, kx — вещественное волновое число, характеризующее периодичность возмущений вдоль направления x.

Из системы уравнений (1.5), граничных условий (1.6) и условия, что решение находится в виде нормальных возмущений (2.1), задача сведется к системе одномерных уравнений в частных производных по времени t и переменной z [8]

дф1 - kxGr(uQ (z) Ф2 + uQ' (z) V2) - VTa dU1 = д2ф2г - k^1 + x dt dz dz,

дф2 + kxGr(uQ (z) Ф1 + uQ' (z) V1) - л/Га dU2 = д2ф2 - kx2ф2 - kx91 dt dz dz

^-^T - kZv a

dz

+ фа = Q (a = 1,2)

dU1 - kxGr(uQ (z) U2+uq (z) v 2) - vra^=- k-

dt

dz

dz 2

U1

+ kxGr(uo (z) и + uQ (z)y0 - >/Ta ^ = - klv2

dt 591

Ц - kxGr ('0 )02 + ^ (^)» 2 )-Gr ^ - p1r

dz dz.2

2

g291 dz2

59,

^+kxGr ( (z )91+лаuQ u) »1)-)-pTT

■ d¥2 _ 1

2

5292 5z2

- x

- k'x

с граничными условиями

z = ±1: Vа =^ = иа =9а = 0 (а = 1,2) dz

В качестве начальных возмущений для неизвестных берутся функции

иа = 9а = sin2 nz, фа = 2п2 cos2nz (а = 1,2). Подробная схема решения задачи описана в работе [10].

Для исследования устойчивости в интервале значений числа Тейлора 200 < Ta < 700 в основном применялся метод дифференциальной прогонки. Также с помощью этого метода производилась проверка расчетов, полученных методом сеток, и более подробное построение нейтральных крив

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»