МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 5 • 2014
УДК 533.6.011.5+532.517.4
ВЛИЯНИЕ ВРЕМЕНИ РЕЛАКСАЦИИ ТУРБУЛЕНТНОЙ ВЯЗКОСТИ НА МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ В СОПЛАХ И СТРУЯХ
© 2014 г. И. Э. ИВАНОВ, И. А. КРЮКОВ, Е. В. ЛАРИНА
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва e-mail: ivanovmai@gmail.com, kryukov@ipmet.ru, larinaelenav@gmail.com
Поступила в редакцию 17.07.2013 г.
Рассмотрены некоторые модификации трехпараметрических моделей турбулентности, предназначенные для повышения точности расчета турбулентных течений в соплах с отрывом пограничного слоя и в сверхзвуковых струях со сложной ударно-волновой структурой. На основе идеи учета предыстории течения с использованием дополнительного релаксационного уравнения для неравновесной турбулентной вязкости предложены три модификации k— ю—цгмодели, построенной на базе k—ю-модели, и один вариант k— s—^-модели турбулентности. В этих модификациях вводится дополнительная зависимость времени релаксации неравновесной турбулентной вязкости от различных физических параметров, которые могут быть важны вблизи точки отрыва пограничного слоя от стенки сопла: вязкие эффекты, эффекты наличия больших градиентов средней скорости и больших градиентов кинетической энергии турбулентности (турбулентного давления).Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными показывает, что все предложенные варианты трехпараметрических моделей позволяют повысить точность расчета турбулентных течений в соплах и струях.
Ключевые слова: турбулентность, релаксационная модель, отрывные течения, течения в недо-расширенных струях.
Современные одно- и двухпараметрические модели турбулентности недостаточно хорошо моделируют высокоскоростные течения, в том числе турбулентные высокоскоростные течения в соплах и струях. В частности, это связано с использованием гипотезы Буссинеска, которая подразумевает, что важнейшей характеристикой турбулентности является турбулентная (вихревая) вязкость. В большинстве таких моделей турбулентная вязкость явно зависит от средних параметров потока (тензора скоростей деформации, кинетической энергии турбулентности, скорости диссипации или частоты турбулентных пульсаций) и мгновенно реагирует на изменение этих параметров. Следовательно, предыстория течения не учитывает дополнительную задержку, связанную с нелинейной зависимостью напряжений Рейнольдса и скоростей деформации в пределах жидкой частицы. С другой стороны, эти модели откалиброваны так, что равновесные течения воспроизводятся относительно точно. При моделировании высокоскоростных течений с использованием равновесных моделей точность может существенно снижаеться в зонах больших градиентов [1], где турбулентность заметно отклоняется от равновесия. Модели напряжений Рейнольдса не используют гипотезу Буссинеска и поэтому не сталкиваются с этой проблемой, но они требуют больших вычислительных затрат. Ввиду этого возникла идея [1] для учета предыстории течения в рамках полуэмпирических моделей ввести некоторую задержку в достижении турбулентной вязкостью равновесного значения.
В статье [1] предложено дополнить двухпараметрическую к-ю-модель ещё одним уравнением для неравновесной турбулентной вязкости, которое и позволяет учесть эффекты предыстории течения. Трехпараметрическая к— ю—цгмодель, построенная таким образом, названа Ьа§-моделью [1]. Дополнительное уравнение для неравновесной турбулентной вязкости содержит лишь невязкий конвективный оператор и ис-точниковый член релаксационного типа. В результате вычислительная сложность к—б—ц(-модели близка к вычислительной сложности исходной двухпараметрической модели и заметно ниже, чем у дифференциальных моделей напряжений Рейнольдса.
Важность учета предыстории течения отмечалась ещё в ранних работах по турбулентности, например в [2]. В [3, 4] предложены полуэмпирические модели, учитывающие предысторию течения при помощи обыкновенного дифференциального уравнения для турбулентной вязкости, в котором задавалась зависимость от локальных параметров и пространственной координаты.
Позднее были предложены модели, вводившие пространственно-временные зависимости турбулентной вязкости [1, 5—8]. В модели [5] упрощенные релаксационные уравнения для напряжений Рейнольдса решаются совместно с двухпараметрической к—ю- или $$Т-моделями турбулентности. Данная модель не всегда приводит к более точным результатам по сравнению с Ьа§-моделью и с базовой двухпараметрической моделью, как показано в [5]. В [6] представлена трехпараметрическая Са—к— Б-модель с задержкой, вводимой с помощью дополнительного безразмерного параметра Сж, линейно связывающего скорости деформации с порождением кинетической энергии турбулентности. Эта Сс—к-Б- модель обладает высокой точностью в случае периодических течений относительно высокой частоты, однако она является и более вычислительно затратной. Иной подход представлен в [7, 8], где компоненты тензора напряжений Рейнольдса вычисляются с помощью осредненных произведений пульсаций, подчиняющихся обыкновенным дифференциальным уравнениям, подобным уравнениям для броуновских частиц. Обе модели ограничены течениями типа пограничного слоя.
В [9] показано, что модель [10], используемая в [1] в качестве базовой двухпараметрической модели при построении к— ю—цгмодели, не позволяет достаточно точно предсказывать отрывы в соплах. Для данного класса течений к—ю—^ модель позволяет несколько улучшить точность получаемых результатов [9]. Однако оказалось, что и к— ю—ц(-модель не обладает хорошей точностью в некотором диапазоне отношения давлений. В данной работе предпринята попытка модифицировать и улучшить к— ю— цгмодель.
Использованный в [1] вариант учета предыстории течения на основе дополнительного уравнения для неравновесной турбулентной вязкости можно применить к большинству двухпараметрических моделей турбулентности. В данной работе этот подход использован для построения трехпараметрической к— б—цгмодели. Работоспособность предложенных вариантов трехпараметрических к— ю—к— б—цгмоделей показана на примерах расчета турбулентных течений в струе и соплах различной геометрии.
1. Моделирование турбулентности. В качестве математической модели будем рассматривать осредненные по Фавру уравнения Рейнольдса для средних величин и уравнения некоторой модели турбулентности для параметров турбулентности. Будем предполагать, что среднее течение — двумерное (плоское или осесимметричное) и нестационарное. Для описания характеристик турбулентности будем использовать некоторые варианты к— б- или к—ю-моделей турбулентности в силу того, что они достаточно хорошо изучены и апробированы для расчета течений рассматриваемого класса [11 — 14].
Уравнения к— Б-модели турбулентности, записанные для нестационарного течения сжимаемого газа при использовании осреднения по Фавру, имеют вид
дрк дри^к _ д
д, дх1 дх1
Окдк | + Рк-Р(е, + ев)
. дх1,
^ + д^^ = _д_(ое д£] + Се1рк е,-Се2р£ д, дх1 дх, ^ дх1) к к
(1.1)
(1.2)
где угловыми скобками обозначено осреднение по Фавру; к — кинетическая энергия турбулентности, х^ — напряжения Рейнольдса, б5 и б^ — соленоидальная и сжимаемые диссипации к соответственно. Коэффициенты переноса имеют вид Бк = ц + ц,/ск, = ц + ц, /аЕ, где ак и сте — турбулентные числа Прандтля для к и б. Через Рк обозначено производство к.
В соответствии с гипотезой Буссинеска напряжения Рейнольдса пропорциональны градиентам средней скорости
(
Тц =
д (щ) + 2 д (ик)
дхц
31хТ ц-3рк8/
хц дх1
где — коэффициент турбулентной вязкости, который для к— Б-модели имеет вид
2
Ц, = С
рк
(1.3)
£,
В [13] предложен вариант к— Б-модели, который хорошо себя проявил при расчетах отрывных турбулентных течений в соплах и струях
с, = шт(0.09, ( АеЯ, )-1), ак = 1.0, ае = 1.3 С1Е = 1.44 + 0.3(Рк - Рб,)(Рк + Р£,)-1, С26 = 1.92
Рк = шт(Рк, РшяхРе,), Рк = Ц,
( ди)2 + (ди
дх) ^ду
2
где ЛЕ = 10-4, Ртах = 15.
В двухпараметрической к— ю-модели турбулентности [10] первое уравнение совпадает с (1.1), а второе, записанное для ю, аналогично (1.2)
дрю + др(и,) ю _ д
д, дх^ дх^
п дю | , „ ю 2
I + Сш1Рк - - Сш2рю дх,) к
(1.4)
гдеОш = ц + ц,/с ю — диффузионный член, а аш — турбулентное число Прандтля для ю. Соленоидальная диссипация выражается через к и ю: е, = сЕкю, а сжимаемая диссипация находится аналогично к—Б-модели. Коэффициент турбулентной вязкости для к— ю-модели имеет вид
ц, = с
рк ю
(1.5)
где к—ю-модель также содержит набор эмпирических постоянных [ец, ее, е1ш, е2ш, ак, аш]. В данной работе использован один из наиболее удачных вариантов к— ю-модели, предложенный в [10].
Для учета влияния сжимаемости на турбулентность моделировался эффект расширения пульсаций скорости на основе подхода [15], где предложено выражение для сжимаемой диссипации
б й = í
где М( =42к/а — турбулентное число Маха, а: = 1.
2. Уравнения для неравновесной турбулентной вязкости. Предложенная в [1] к— ю—
модель (Ьа§-модель), состоит из уравнений (2.1) и (2.4) и дифференциального уравнения для турбулентной вязкости
+ = ^ (2.1)
о1 д хI т
где ц Е — равновесная турбулентная вязкость, определяемая по формуле (1.5) для к— го-модели, ц! — неравновесная турбулентная вязкость, ст — постоянная модели. Для к— го-модели в [1] предложено в качестве времени релаксации т использовать временной масштаб турбулентности т = 1/ю и получено путем численной оптимизации значение ст = 0.35.
Выражение (1.5) для турбулентной вязкости описывает мгновенную реакцию на изменение локальных скоростей деформации, в то же время уравнение (2.1) моделирует отставание значений напряжений Рейнольдса во времени и пространстве (предысторию течения). Наличие в правой части выражения (2.1) источникового члена вида - ) /т позволяет решению "настраиваться" на локальное равновесное значение, поэтому уравнение (2.1) релаксационное, а параметр т — время релаксации.
3. Модификации уравнения для неравновесной турбулентной вязкости. В основе модификации лежит предположение, что релаксационные процессы в турбулентных течениях могут иметь различную физическую природу и, следовательно, различные времена релаксации. В сверхзвуковых соплах отрыву
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.