ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2014, том 50, № 6, с. 623-629
УДК 551.55;532.593
ВЛИЯНИЕ ВЯЗКОСТИ НА ГОРИЗОНТАЛЬНУЮ ДИФФУЗИЮ ПРИМЕСИ
В ПОЛЕ ВЕТРОВЫХ ВОЛН
© 2014 г. Г. С. Голицын*, O. Г. Чхетиани*, **
*Институт физики атмосферы им. A.M. Обухова РАН 119017Москва, Пыжевский пер., 3 **Институт космических исследований РАН 117810 Москва, ул. Профсоюзная, 84/32 E-mails: gsg@ifaran.ru, lgg@ifaran.ru Поступила в редакцию 13.12.2013 г., после доработки 29.01.2014 г.
В задаче о диффузии примеси на поверхности моря в присутствии ветровых волн показано, что учет вязкости в поле скорости ветровой волны нарушает потенциальный характер течения. Это дает возможность, как показывает моделирование, жидкой частице переходить из одной волны в другую, что и обеспечивает диффузию примеси на водной поверхности. Расстояние между соседними жидкими частицами растет со временем, что также является признаком диффузии. Введение вязкости порядка турбулентной, т.е. в несколько см2/с, обеспечивает сходимость данных наблюдений к результатам расчетов. Исследование было вызвано тем, что в классической потенциальной теории морского волнения жидкие частицы не выходят за пределы волны, т.е. формально диффузия невозможна.
Ключевые слова: диффузия, ветровые волны, дрейфовые течения.
DOI: 10.7868/S000235151406008X
1. В 1971 г. была опубликована статья Окубо [1], суммирующая результаты наблюдений за ростом размеров 85 пятен примеси на поверхности океана со временем и в пространстве. Наблюдалось расширение пятен по ветру стх и в поперечном направлении стг Эти данные относятся к средним широтам Северного полушария. Время наблюдений варьировало от часа (3600 с) до 107 с, т.е. четырех месяцев. Поскольку синоптический период порядка нескольких суток, то сила, длительность и направление ветра могли многократно меняться за время жизни пятен. Наблюдения относились к разным морям, океанам и сезонам, поэтому общим механизмом диффузии пятен в такой большой и разнообразной статистике данных могут быть только ветровые волны, хотя в индивидуальных случаях могут влиять течения и их градиенты скорости в поперечном к ним направлениям, циркуляции Лэнгмюра и т.д. Для простоты будем обозначать ахау = S(t) — площадь пятна. Коэффициент турбулентной диффузии вычислялся в [1] как
K( г) =
S (r(t))
41 '
(1)
где ? — время наблюдения за ростом пятна до "среднего" размера г. Цифра 4 переводит эту фор-
мулу в коэффициент горизонтальной диффузии при броуновском движении, когда К(г) = 2ЖО, где N — размерность пространства, Б — коэффициент диффузии. Эти результаты были аппроксимированы в [1] на глаз степенными закономерностями:
S(t) = 0.0108Г, у = 2.34, K(r) = 0.0103Г3, р = 1.15,
(2) (3)
где длины измеряются в см.
К счастью, в этой же статье были опубликованы таблицы первичных данных, что позволило установить с вероятностью 95% пределы на эти показатели: у = 2.33 ± 0.10 и р = 1.15 ± 0.05 с коэффициентами детерминации в обоих случаях, близкими к 0.95. В работе автора [2], исходя из степенных аппроксимаций энергонесущей части частотных спектров возвышений, в зависимости от возраста волнений удалось объяснить оба показателя п и т с хорошей точностью: у = 2.4 и р = = 7/6 ~ 1.166... Для этого были использованы значения показателей спектра возвышений
Б(ю)« аю
(4)
с п = 11/3 для волн с возрастом О, близким к насыщению 0.83 < О < 1.2 и п = 13/3 для молодых волн с О = и10/Сф > 2. Здесь и10 — скорость ветра на высоте 10 м, Сф = ыр/g — фазовая скорость пика в
n
спектре волнения. В полосе частот до 3—4 от частоты спектрального пика юр содержится до 90% энергии, поэтому использование показателей степени, определенных вне этого интервала, лишь слегка увеличивает энергию волнения. В этой полосе согласно обширным расчетам [3] прослежена эволюция спектра в связи с изменением обратного возраста (и разгона) волнения О = и10/сф. Известно, что с увеличением длины волн, т.е. с уменьшением обратного возраста волны, они становятся менее крутыми. Расчеты [3] показывают, что для О > 2 показатель степени п - 13/3, для 1.2 < < О < 2 п - 4, а для волн близких к насыщению, О < < 1.2п - 11/3.
В [2] были объяснены также результаты наблюдений Ричардсона и Стоммела [4, 5], в 1948 г. определивших для молодых волн р - 4/3, что существенно больше 1.15 [1]. Для объяснения результатов Окубо находились частотные спектры вертикальных и горизонтальных скоростей в волне
2 —1 ^(ю) = ю Б^ю) = а1 Би(ю), (5)
где а\1 — коэффициент, который предлагалось определять из данных наблюдений, чего не было сделано в [2], хотя была объяснена природа показателей степени в (2) и (3). Там же была оценена скорость распространения границы пятен, что может дать дополнительную информацию. Действительно, зная Б(() = яг2(?), мы можем оценить
и = & = 0.0686 /117. (6)
&
Эта скорость медленно растет со временем от 0.33 см/с для I = 104 с -3 часа до 1.06 см/с для I = = 107 с -4 месяца. Заметим, что скорость 1 см/с = = 0.864 км/сут. Среднегеометрическое значение скорости распространения границы за это время близко к 0.6 см/с.
Предположение (5) было подвергнуто критике на ряде семинаров с результатами [2], где указывалось, что а1 = 0 для потенциальной теории ветровых волн, когда жидкая частица в волне движется по кругу [6] и фазы вертикальных и горизонтальных скоростей отличаются на я/2 = 90°, т.е. вертикальные движения поверхности не возбуждают никаких систематических горизонтальных движений. Предполагалось феноменологически, что турбулентность осуществит такую связь, например, с помощью вихревой вязкости. Здесь константа связи а1 в (5) будет оценена из самих данных [1], а точная ее природа остается пока вне данного исследования. Как заметил А. Анис (см. [7]), должна быть в волне, пусть малая, но вихревая компонента, приводящая к дополнительной фазе у горизонтальной компоненты скорости частицы. Однако, такая добавка не должна менять дисперсионного соотношения для пика волны.
Вихревой компонентой обладают трохоидаль-ные волны Герстнера [6], но они не имеют прикладного значения. В то же время вихревая компонента в волне возбуждается вблизи поверхности при учете кинематической вязкости V, но эффект мал [8]. Однако тщательное исследование, описанное ниже, показывает, что оно может дать результатам Окубо [1] и [2] разумное физическое обоснование, пусть феноменологического характера, т.е. с определением численных коэффициентов из сравнения с данными наблюдений с учетом статистических параметров морского волнения. Объясняется также природа показателей степени в формулах (2) и (3) и численных коэффициентов в них.
2. Исходный материал содержится в §349 книги Г. Лэмба [8]. Решение уравнения Навье-Сток-са для волн на воде с учетом вязкости имеет вид
и = -(1кЛвк + тСвт') вк+р', (7)
* = -(кЛвк' - 1кСвт') вкх+р', (8)
р = — 2vк1 ± ¿ю = —ю(2у1 + ¿), у1 = vк2/ю, (9) т2 = к1 + р/V = — к1 ± ¿ю/V, (10)
С = - ^ = -2У1; ю = №)1/2, (11)
Лю
где кА = юк, к — амплитуда волны. Для высоты волны имеем
к/ л ¿кх + р(
П = — (Л - 1С) в . р
Учет вязкости приводит к образованию в волне вихревой компоненты, которую можно получить, образуя ротор скорости с помощью (7) и (8). Глубина вязкого вихревого слоя (скин-слой) порядка
¡V -(V/ю)1/2, (12)
что много меньше длины волны А. Величина ш2 комплексная, следовательно, и ш также комплексная.
Учтем, что при р <§ 1 асимптотика аг^ф-1) = = П — р. Тогда выражение (10) с учетом (11) преобразуется к следующему виду
т = -к (1 - Iу1 ) = -к (1 + у1 ) в = — в ,
V
Ф = ш-^ (у!1) = П - Уь
откуда после дальнейших преобразований в комплексной плоскости с учетом того, что sin
ГП 1
= cos^ -р = --у-' получаем
m _ J-_ (1 + i) J*.
k 2^2
(13)
Для двух компонент скорости жидкой частицы на комплексной плоскости получаем с точностью
до а = (2 У1 )1/2 ^ 1
1 А/ '9 1 АГЛ \ 1/2 '(в + / Л л\
и = -кЛ(а + 1 )е = -кЛ( 1 + у1 ) е , (14)
2 _1 п
0 = кх ±ю? + 2/vk г, у1 = аге1§(а ) = -- а,(15)
w _ -kA(1 - 2¿Y1)e'B _ -kA( 1 + 4У1 )1/2+ V2>
у 2 = arctg ( 2 Y1) = 2 Y1'
'(16)
Отвлекаясь от вязкого затухания, запишем уравнение для линии тока по правилам дифференциальной геометрии в следующем виде:
dx _ dz u w'
или
dx
dz
h ю cos (0 + a) h ю sin (0)
Последнее равенство есть дифференциальное уравнение для линии тока на плоскости (х, г). Воспользуемся формулой для косинуса суммы двух углов и малостью фазы а, сделав замену 0 = кх, представим наше дифференциальное уравнение в виде
k 1 sin ( 0 ) d0
_ dz.
где кЛ = юН, произведение частоты на амплитуду волновых колебаний (высоту волны).
Сравнение формул для горизонтальной и вертикальной компонент скорости показывает, что в отсутствие вязкости, когда Y1 = 0, эти компоненты
. in/2
точно в противофазе, поскольку i = в , и что вязкость более заметна для горизонтальной скорости, меняя ее амплитуду на слагаемое 2(2у1)1/2, против 2Y1 для вертикальной скорости. Дополнительная фаза для u по сравнению с w оказывается всего равной a = (2Y1)1/2. С ростом частоты пика, т.е. с уменьшением длины волны эта дополнительная фаза a = (2Y1)1/2 растет как 1.44 х 10-4ю3/2 при ю2 = kg, но даже при X = 1 м величина a « 15'.
Средний горизонтальный импульс в волне равен
(uw) _ (h^2sin(01 + 2a)cos(01)) _ юУa, (17)
поскольку (cos2 01) = 1/2, а 2a <§ 1. Отсюда можно заключить, что связь между спектрами вертикальной и горизонтальной скоростей, т.е. величина а1 в формуле (5) будет определяться величиной a = (2У1)1/2.
Переходя в действительную плоскость, используя малость дополнительной фазы a = (2Y1)1/2, запишем с помощью (15) и (16) уравнения для траектории жидкой частицы:
dx , , а , ч -У1'
— _ u _ hюcos(0 + a)в ; dt
d _ w _ hю sin(0)e ni', 0 _ kx + at. dt
cos (0) - a sin (0) Неопределенный интеграл от левой части равен
k_1( 1 + a2)-1 [—a0 + ln I cos (0) - a sin (0)|] = = k_1 [ ln I cos (0) - a sin (0) - a0].
Для полного решения надо взять еще интеграл от правой части. Потенцируя интегралы от правой и левой частей, получаем
Ce-akx + kz>( cos (kx) + a sin(kx)) _ 1,
где постоянная С определяется начальными условиями. При a = 0 получаем решение, приведенное в [8]. Наше решение дае
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.