МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <4 • 2008
УДК 532.51.013.4:534.23:536.4
© 2008 г. ЧУНГ-ВЕН ЛАН, Д. В. ЛЮБИМОВ, Т. П. ЛЮБИМОВА, Н. А. ОСПЕННИКОВ, Я. Н. ПАРШАКОВА, ВАН-ЧИН Ю
ВЛИЯНИЕ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ВИБРАЦИЙ НА МОРФОЛОГИЧЕСКУЮ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ НАПРАВЛЕННОЙ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ БИНАРНЫХ СПЛАВОВ
Численно исследуется влияние вибраций различного типа на морфологическую неустойчивость фронта при направленной кристаллизации бинарных сплавов в условиях невесомости и земных условиях. Частота вибраций предполагается высокой, а амплитуда малой, и применяется осредненный подход. Показано, что высокочастотные вращательные вибрации порождают интенсивное среднее течение, локализованное у фронта кристаллизации, направление этого течения противоположно направлению гравитационно-конвективного течения. Взаимодействие вибрационного течения с гравитационной конвекцией в земных условиях приводит к оттеснению гравитационного вихря от фронта кристаллизации. Как в земных условиях, так и в условиях невесомости вращательные вибрации оказывают сильное стабилизирующее действие на морфологическую неустойчивость и предотвращают образование приосевой впадины.
Ключевые слова: устойчивость, гравитационная конвекция, вибрации, невесомость, кристаллизация.
В процессе кристаллизации бинарного расплава температура кристаллизации не остается постоянной величиной; она зависит от концентрации примеси на фронте кристаллизации. Эта зависимость изображается линией ликвидуса на плоскости Тт - С. При небольших концентрациях линия ликвидуса хорошо описывается линейной функцией Тт = Тт0 + тС, где Тт0 - температура плавления чистого материала, т характеризует наклон линии ликвидуса (в настоящей работе рассматривается только случай т < 0).
При движении фронта кристаллизации перед ним образуется избыток примеси, не успевающей перейти в кристалл (при коэффициенте сегрегации к < 1; в настоящей работе рассматривается только такой случай). Поскольку коэффициент диффузии, как правило, мал, возникает большой градиент концентрации перед фронтом. В результате температура кристаллизации растет с удалением от фронта. Если скорость движения фронта, а значит, и градиент концентрации достаточно велики, то рост температуры кристаллизации происходит быстрее, чем рост температуры расплава. В результате на небольшом расстоянии от фронта расплав оказывается переохлажденным и малые возмущения фронта начинают нарастать. Возникает неустойчивость, получившая название морфологической неустойчивости [1]. Переохлажденность расплава можно характеризовать параметром АО = СТ - Оь, где ОТ - градиент температуры; Оь определяется как Оь = тОС (ОС - градиент концентрации примеси). При этом АО < 0 соответствует переохлажденному расплаву; порог возникновения морфологической неустойчивости определяется из условия АО = 0.
Как показано в классической работе по морфологической неустойчивости [1], при малой поверхностной энергии фронта кристаллизации расплав-кристалл наиболее опасны коротковолновые возмущения. Это означает, что критерий неустойчивости АО < 0, который, как следует из результатов [1], справедлив для бесконечного плоского фронта кристаллизации, можно применять и для фронта, искривленного и ограничен-
Z(r)
1
К
К У
'a
r
T
Фиг. 1. Геометрия задачи: 1 - кристалл, 2 - расплав, 3 - ампула, 4 - профиль внешней температуры
ного, когда пространственный масштаб возмущений много меньше радиуса кривизны фронта. Более того, для таких мелкомасштабных возмущений критерий неустойчивости можно применять локально, так как неустойчивость будет развиваться прежде всего на тех участках фронта, где выполняется критерий неустойчивости.
Радиальная неоднородность температуры в расплаве, неизбежно возникающая из-за различия теплопроводностей расплава и кристалла и выделения теплоты фазового перехода, приводит, с одной стороны, к искривлению фронта кристаллизации, а с другой - к возникновению термоконвективного движения. Влияние этого движения на фронт кристаллизации бинарного расплава может приводить к своеобразному эффекту - образованию впадины на фронте кристаллизации в окрестности оси. Механизм этого эффекта следующий: выделение тепла приводит к повышению температуры в центральной области, что порождает восходящий конвективный поток вдоль оси. Компенсационный поток расплава, т.е. опускное течение, локализовано вблизи стенок ампулы, так что в окрестности фронта кристаллизации возникает радиальное течение, направленное от стенок к оси ампулы. Это течение выносит в приосевую область примесь, накопившуюся около фронта кристаллизации. В результате вблизи оси концентрация примеси значительно возрастает. Поскольку температура фазового перехода падает с ростом концентрации, в зоне повышенной концентрации кристалл "протаивает", в нем образуется впадина.
Таким образом, ключевой момент для образования впадины - это наличие в окрестности фронта радиального потока, направленного к оси. Если бы это радиальное течение удалось подавить или хотя бы оттеснить от фронта на расстояние, большее толщины диффузионного слоя, то образование впадины можно было бы предотвратить или хотя бы уменьшить его глубину. В настоящей работе анализируется возможность воздействия на морфологическую неустойчивость и формирование впадины при направленной кристаллизации бинарных сплавов с помощью высокочастотных вибраций малой амплитуды.
1. Постановка задачи. Основные уравнения и граничные условия. Рассмотрим процесс направленной кристаллизации бинарного расплава с помощью вертикального метода Бриджмена (фиг. 1). В этом методе расплав и кристалл находятся внутри ампулы,
которая медленно вытягивается из печи, так что верхняя часть ампулы заполнена расплавом, а нижняя кристаллом, при этом фронт кристаллизации практически неподвижен относительно нагревателя. Поскольку длина заполненной расплавом части ампулы постепенно уменьшается, процесс кристаллизации нестационарен. В расчетах, однако, часто используется так называемый квазистатический подход, в котором скорость вытягивания ампулы считается малой, и изменением длины области расплава пренебрега-ется. В этом случае течение и тепломассоперенос в процессе кристаллизации описываются стационарными уравнениями термоконцентрационной конвекции. Уравнения термоконцентрационной конвекции в расплаве в приближении Буссинеска в системе отсчета, связанной с нагревателем, имеют вид
(иУ) и = -! V p + vДu + g фТТ{ + рсС) у, Шу и = 0 (1.1)
Р1
иУ Tl = цДТ1; и VC = D Д C (1.2)
Здесь РТ, РС - тепловой и концентрационный коэффициенты объемного расширения, X - коэффициент температуропроводности расплава, D - коэффициент диффузии примеси в расплаве.
Распределения температуры в кристалле и стенке ампулы в системе отсчета нагревателя описываются уравнениями
vaVTs = XsДTs, VaVTa = 1аДTa (1.3)
Здесь Vа - скорость вытягивания ампулы из печи, индексы 5 и а обозначают кристалл и ампулу соответственно, %а - коэффициенты температуропроводности твердой фазы и материала ампулы. Диффузией примеси в кристалле пренебрегается.
Тепловые граничные условия. На внешней стенке ампулы задается линейный закон теплоотдачи
Г = Ка= ( Та - Те) (1.4)
где Яе - внешний радиус ампулы, п - внешняя нормаль к стенке, ка - теплопроводность материала ампулы, Н - коэффициент теплообмена, Те - температура в среде, окружающей ампулу; распределение Те вдоль внешней стенки ампулы далее полагается линейным
(ТН - Тс)
Ть = Тт +-1-(г - гр )
где ТН и Тс - температуры нагрева и охлаждения системы соответственно, гр - начальное положение фронта кристаллизации.
На границе раздела расплав - кристалл считается выполненным условие баланса энергии
г = С: к1пVТ1 - к3пV+ рДИУапег = 0 (1.5)
где п - нормаль к поверхности раздела фаз; и к1 - теплопроводности твердой и жидкой фаз соответственно; ДН - теплота фазового перехода.
Температура на границе раздела расплав-кристалл считается равной равновесной температуре ликвидуса в соответствии с диаграммой фазового состояния:
г = С: Т = Тт( С) (1.6)
Зависимостью температуры кристаллизации от кривизны фронта пренебрегается в силу малости поверхностной энергии.
На границе расплав - ампула задаются условия непрерывности температуры и теплового потока
д Т, дТа
г = Я: Т1 = Та, к, т-г = ка -л-И (1.7)
' а ' дп а дп
где Я - внутренний радиус ампулы.
Температуры на верхней и нижней границах считаются равными температуре окружающей среды
г = 0: = Те( 0), г = Ь: Т, = Те (Ь) (1.8)
Гидродинамические граничные условия. Для скорости на границе расплав - ампула ставится условие прилипания
г = Я: и = Уа (1.9)
На фронте кристаллизации ставятся условия непрерывности касательной компоненты скорости и потока массы через поверхность фазового перехода
г = £ = Уат, р1ьп = рУап (1.10)
На верхней границе расплава считаются выполненными условия отсутствия нормальной компоненты скорости и касательных напряжений
г = Ь: ип = 0, ОпТ = 0 (1.11)
Граничные условия для концентрации примеси. На фронте кристаллизации ставится условие баланса вещества
Оп VС - (1- к) — СУапег = 0 (1.12)
р1
где к - коэффициент сегрегации.
На границе раздела расплав-ампула считается выполненным условие отсутствия потока вещества
г = Я: ^ = 0 (1.13)
дп
Для ампулы конечной длины стационарное решение рассматриваемой задачи не существует. Однако стационарный режим должен существовать для ампулы бесконечной длины в системе отсчета, связанной с нагревателем. Численное исследование такого режима требует замены бесконечно длинной ампулы на ампулу конечной длины с применением искусственного граничного условия для концентрации на верхней границе расплава. Это граничное условие должно, в частности, вместе с условием (1.12) обеспечить сохранение примеси. Такому требованию удовлетворяет искусственное граничное условие для концентрации на верхней границе расплава
- DnVC-Р- (С0-С) Уа = 0 (1.14)
р1
Здесь С0 - средняя концентрация примеси в кристалле вблизи фронта кристаллизации. Именно это условие использовалось в численных расчетах.
2. Метод решения. Задача (1.1)—(1.14) допускает осесимметричные решения. Ограничиваясь рассмотрением таких решений, введем
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.