РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2014, том 59, № 7, с. 657-663
СТАТИСТИЧЕСКАЯ РАДИОФИЗИКА
УДК 621.396.662.072.6.078
ВЛИЯНИЕ ЗЕЛЕНОГО ШУМА НА СИСТЕМУ ФАЗОВОЙ АВТОПОДСТРОЙКИ ЧАСТОТЫ
© 2014 г. С. А. Гуз
Московский физико-технический институт (государственный университет), Российская Федерация, 141700Долгопрудный Московской обл., Институтский пер., 9
E-mail: guz@lit.ru Поступила в редакцию 27.12.2013 г.
Рассмотрена работа системы автоподстройки частоты при действии на нее широкополосного отфильтрованного в области низких частот стационарного шума (зеленый шум). Для анализа подобных систем построен метод усреднения, который учитывает внешний шум уже в нулевом приближении. Введены понятия эффективного потенциала и поправочного процесса и определена их роль в развитии динамики системы. Выполнен численный эксперимент, который подтвердил выводы теории.
DOI: 10.7868/S0033849414070067
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть сигнал, подаваемый на вход системы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) первого порядка имеет вид
s(t) = A cos[®/ + £,(?)],
где A = const и 2,(t) — случайный стационарный в широком смысле процесс. Вначале этот сигнал поступает на перемножающее устройство П (рис. 1).
Будем считать, что управляемый генератор УГ системы выдает сигнал s0(t) = A0 sin[®0t + ф(0], где 9(t) — медленно меняющаяся фаза. Сигнал с перемножающего устройства равен
up = pss0 = pAo A cos(®st + £)sin(ro0t + ф) = = (sin(Qt + - ф) + sin [ + ®0)t + + ф]},
где ц — коэффициент передачи перемножающего устройства, Q = - ю0. Убирая с помощью фильтра Ф, прозрачного на низких частотах, гармонику на частоте + ю0 [1] получаем, что управляющий сигнал имеет вид
u0 = I ^AA0 sin(Qt + - ф).
Предположим, что смещение частоты ф управляемого генератора от значения ю0 пропорционально u0, т.е. ф = kbu0, где kb — некоторый коэффициент преобразования, зависящий от параметров конкретного генератора. Тогда
ф = I ^kbAA0 sin(Qt + 2, - ф).
Сделаем замену переменной x = Qt + % - ф: X = Q -1 цkbAA0 sin x + 4
или, вводя обозначение Q 0 = 1 ^&bAAo, получаем
стохастическое уравнение системы
X = Q. - Q0 sin x + 4
Положим Q 0 = 1 и запишем уравнение движения в виде
x = Q - sin x + Z,
(1)
где ^ = 4- Появление производной по времени от шума означает новое качество внешнего возму-
П
Рис. 1. Схема системы фазовой автоподстройки частоты: П — перемножающее устройство, УГ — управляемый генератор, Ф — фильтр.
щения, которое было названо "зеленым" шумом [2]. Действительно, если спектральная плотность процесса ограничена в области нулевой
частоты, то Sz((o) = ю 5^(ю) и появляется дефицит в области "красного" цвета, что оправдывает условное название "зеленый" шум. Система ФАПЧ первого порядка не является единственной среди систем с зеленым шумом. В работе [2] перечислены и другие примеры воздействия зеленого шума.
Во многих случаях исследование действия внешнего зеленого шума на стохастическую систему можно свести к решению системы стохастических уравнений с гауссовскими белыми шумами. Соответственно, становится возможным использование уравнения Фоккера—Планка. Правда, при увеличении числа независимых переменных его решение превращается в довольно серьезную отдельную математическую проблему. В работах [2—4] показано, что при определенных условиях влияние зеленого шума значительно проще исследовать, если использовать метод усреднения Крылова—Боголюбова. Кроме того, этот метод практически без изменения схемы вычислений позволяет достаточно просто изучать влияние негауссовских внешних шумов, что, вообще говоря, проблематично сделать посредством обобщения уравнения Фоккера—Планка. Посмотрим, что можно сделать в этом плане при воздействии на систему зеленого шума.
2. МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ
В работе [5] доказана фундаментальная теорема о сходимости по вероятности решения системы дифференциальных стохастических уравнений, в которой быстрым движением является случайный процесс, к решению усредненной системы.
Эта теорема является математическим обоснованием построенной далее процедуры аналитических вычислений для исследования стохастических систем с внешним зеленым шумом. Наличие аддитивного зеленого шума позволяет малый параметр е рассматривать только перед внешней силой и получать нулевое приближение, в котором уже учитывается внешний шум. Следует отметить, что такой подход обобщает традиционную схему метода усреднения.
Теперь, в силу указанного обстоятельства траектория системы в нулевом приближении оказывается слабостационарным процессом, как интеграл от зеленого шума. По аналогии со схемой метода Крылова—Боголюбова, эту траекторию вполне допустимо рассматривать, как основную "быструю" компоненту движения системы. Главным преимуществом такого подхода является снятие условия малости на интенсивность внешнего шума, что очень существенно для решения многих задач, имеющих практическое значение. Очевидно,
что теперь усреднение основных уравнений движения следует проводить за интервалы времени, превышающие не только период быстрых периодических возмущений системы, но и время корреляции полученного таким образом нулевого приближения.
Следует подчеркнуть, что в присутствии белого или окрашенного внешнего шума, нулевое приближение, построенное подобным образом, имеет вид процесса нестационарной диффузии, содержащего в себе и некоторое "медленное" движение. Тогда алгоритм развиваемого ниже варианта метода усреднения не применим.
Далее рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение
х = / (х) + 04), (2)
где 00) — зеленый шум, е — малый числовой параметр. Будем предполагать, что решение этого уравнения носит стационарный характер. Если / (х) — интегрируемая ограниченная функция по переменной х, то ее можно определить через потенциальную функцию и(х) соотношением
т = .
дх
Далее предполагается, что функция и(х) является гладкой функцией x.
Уравнение для нулевого приближения х(0)(О, получаемое при б = 0, следует из (2) и записывает-
.(0) у
ся, как х = ц или
х(0)(0 = + хо = т - ^о) + хо,
к
где х0 — начальное значение переменной х^) при I = t0. Будем рассматривать случай, когда момент t0 настолько отдален от текущего времени t, что переходный процесс в системе можно считать завершенным. Физически это означает, что в предельном переходе t0 ^ -да конкретное значение величины х0 - ) не дает существенного вклада в движение системы и без ущерба общности эту величину можно принять равной нулю, записав
х (0)(О = £(). (3)
На следующем этапе развития теории делаем замену переменной
х = \ + у, (4)
что сводит уравнение (2) к виду
у = е/£ + у). (5)
Теперь в дифференциальном уравнении (5) малый параметр появляется перед всей его правой частью — в форме, соответствующей стандарту,
используемому в классическом алгоритме метода усреднения. Уравнение (5) имеет тривиальное нулевое приближение у(0)(О, равное константе. С учетом (3) и (4) имеем
у (0)(о = х (0)(о -щ = 0. (6)
Исходя из концепции метода усреднения, уравнение для основной компоненты у^) медленного вклада в движении системы можно найти из уравнения (5) посредством следующей процедуры:
f (y) = lim1 f f (y t—1 J
(7)
f (y) = ( f (y+m)
и искомое уравнение для основной компоненты медленного движения записывается в виде
у = г/(у). (8)
Это уравнение является детерминированным и определяет усредненное движение системы. Будем называть это уравнение "уравнениемсравнения". В
соответствии с [5] применение метода усреднения корректно, если функция /(у + £) непрерывна по обоим аргументам и удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу, а также если
8ИР(| / (у + ^)|2)
< да.
Как будет видно из дальнейшего, для интерпретации полученных результатов исследований необходимо ввести "эффективный" потенциал иэф(у) по обычному правилу
f (У) = .
dy
(9)
где y фиксируется [6].
Эффективность такого подхода определяется соотношениями между двумя характерными временами: временем корреляции тf процесса f(Cl + £,(t)) (здесь C — константа) и временем переходного процесса Ts решения уравнения (5). В силу принятого способа усреднения для его применимости помимо стационарного характера решения основного уравнения (2) достаточно выполнения следующего соотношения:
Т f ^ 1.
Вообще говоря, в результате такого усреднения f (у) будет случайной функцией y из-за наличия случайного процесса 2,(t) в процедуре временного усреднения. К счастью, в нашем случае процесс 2,(t) слабо стационарен. Тогда, если у случайного процесса f(Ct + 2,(t)) корреляционная функция Rf (т) стремится к нулю при т ^ да, то выполняется условие эргодичности по математическому ожиданию в смысле сходимости по вероятности [6] для этого случайного процесса и возникает возможность замены внутреннего усреднения по времени в (7) статистическим, т.е.
t+T
lim1 f f(y + £,(f)W = {/(y + &))). t —1 J
t
Строго говоря, в последнем равенстве предел нужно понимать в смысле сходимости по вероятности, поскольку речь идет о сходимости случайных величин.
Таким образом,
Сразу следует остановиться на важном для практических применений случае. Пусть существуют такие точки сп, где п — целое, в которых выполняются условия
f(Cn) = -
'dU эф (y)"
. ду
= 0
и
d 2U
эф
(y)
dy2
> 0.
Тогда при у = сп функция иэф(у) имеет минимумы, в которых уравнение (8) имеет стационарное частное решение у = 0. Окрестности этих точек образуют аттракторы [7] и, если время, в течение которого система находится в области притяжения такого аттрактора, значительно превышает характерные времена переходных процессов, то можно говорить об эффекте частичной синхронизации или частичного захвата в присутствии внешнего шума. Будет показано, что эффективный потенциал иэф(у) является важным инструментом для исследования рассмотренных далее подобных задач. Отметим, что использование эффективных или, как их еще называют, "стохастических" потенциалов, получаемых по некоторым установленным правилам, является частой практикой и для других (не только зеленых) внешних шумов, в частности, для белого шума [8].
Представим полное искомое решение в виде
х(0 = £() + у(0 + гиЦ, у). (10)
Будем называть процесс и^,у) случайным по
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.