ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 462, № 2, с. 131-134
МАТЕМАТИКА
УДК 517.518.23
ВЛОЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА В СЛУЧАЕ ПРЕДЕЛЬНОГО ПОКАЗАТЕЛЯ
© 2015 г. Член-корреспондент РАН О. В. Бесов
Поступило 24.12.2014 г.
БО1: 10.7868/80869565215140030
В работе устанавливаются вложения пространства Соболева Жр и пространства Брд (в случае предельного показателя) в некоторые пространства локально суммируемых функций нулевой гладкости. Этим уточняются вложения пространства Соболева в пространства Лоренца и в пространства Лоренца—Зигмунда. Выясняется соотношение между пространствами Лоренца и соответствующими пространствами функций нулевой гладкости. Установлены аналогичные вложения пространств потенциалов.
Пусть N — множество натуральных чисел; N = = N и {0}, п е N1; К" — п-мерное евклидово пространство точек х = (х1, ..., хп); Ьр(0), Ь* — лебеговы пространства функций с нормами соответственно
(
= || f ^(№011 = J| f( x )| pdx
1 /p
(T
11ф|L0* II = = JlФ(t)l0dt
1/0
где 0 < T< да; Q = [-1, 1]n, hQ = [—h, h]n, Qh(x) = Q(x, h) = x + [— h, h]n, Qh = Qh(0); x — индикатор Q или
[—1, 1], B(x, h) = {y: Iy — x| < h}, {e(-}" — стандартный базис в №n.
Символом \E обозначим лебегову меру множества E с Все рассматриваемые функцииf G ^ № локально суммируемы на области своего определения G(f <= L(G, loc)).
Невозрастающей перестановкой функции f: №n ^ № называется функция
f*(t) = inf{т: |{x: f(x)| >т}| < t}, t> 0,
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской Академии наук, Москва E-mail: besov@mi.ras.ru
равноизмеримая с функциейf Рассмотрим функцию
t
f** (t) = - Гf* (u)du = - sup f| f(x)| dx.
t J t E: IE = t
, 0, r
Символом Ьрд ,1 <р, q, г< да, обозначим полунормированное пространство функций из Ьг (Кп, 1ос) с конечной полунормой
J|| 8( h, r)fLp\\q , (1)
,1/г
где
5( h, rfx) := j( 2h )-2n J J fx + y)
(2)
[-h, h][-h, h] 1
r I-
-f(x + z) \ dydz > при 1 < r <да,
S(h, да)f(x) := ess sup f(x + y) - f(x + z)|.
y, г e [—h, h]n
Символом Bp'qr обозначим нормированное пространство функций f с условием/**(?) ^ 0 при
t ^ 0 и нормой || f |Ь
0,r
pq |
, 0,1
Замечание 1. Пространство совпадает с пространством ВМО, введенным и исследованным в [2]. Возможность характеризовать нулевую гладкость функций в терминах полунормы (1) отмечалась в [3].
Тео р е ма 1. Пусть5 е N1, 1 <р < г< q < да,
Тогда
п п п s - - + - = 0.
p q
Wp( №n )с b0qpr (№n) .
(3)
(4)
0
E
r
n
0
132 БЕСОВ
Теорем а 2. Пусть 1 < р < г < q < да, 8 > 0, 1 < 0 < п С 1 1/9
<да и выполнено (3). Тогда ¡дЦ^ = + £ \р-\^{Н)ЛЬр\ ,
вр0 (кп )С ¿о9г (г). (5) /=1 ^ о J
Теоремы 1, 2 установлены в [1] при ограниче- где 0 < 8 < т е N.
НИИ 1 > 1 — 1 + 1 . П»««.. 1 ТТл,„п,1. 1 < г, ^ г-^ „ ^ да о — 1 1
Лемма 1. Пусть 1 < р < г < q < да, б =---> 0,
г д
г р д
Обозначив символом(х) = (2И)—п | /(у)-у п е ^ = п — п , ц = 1 - 1 + 1, V = 1 - 1 + 1 ,
ео, к)
среднее значение функции/на кубе Q(x, И), отме- И > 0,/е у е
тим, что (см. [1]) при 1 < г < да
p q p q
n\
, K(y, h) = |y|-n"x(j) = y+ nEX(h),
5(h, r)f(x)) < \ inf (2h)-2n f f (f(y) - C + (10)
1C e R qXh)qXh) F(x, h) := JK(x - y, h)f(y)dy.
Тогда существует постоянная Cr такая, что
ъ ! 1/p
$h-nE\\F( •, h )\\p I! < Cjfllp (11)
r !1/r
+ f(z) - C) dydz [ < 2 { inf ( 2h)-n X
I C e R (ъ ,, T 1/P
1/r 1 J" "^h I
^ ^r / 7 Ч-Й f I./V \ 0
x J f(y) - CrdyI < 2r(2h)-n J f(y) - fh(x)|rdy =
ех к) ех к) для любой функции/ е ¿р(Кп).
= 21( 2 h)-n J
1 Q(x, h)
г 11/г Лемма 2. В условиях леммы 1
(2к)-п Г (/(у) -/(I))^ dy\ < г» ,1 /р
' Ц|| 5( к, г )/■(к )|| р Ц < /||р, (12)
Q(x, h)
< 25(h, r)f(x). (6)
Положим где Cr не зависит от f е Rn)
5(к, г)/(х) = (2к)-п/г(|/|г)к (х) = Доказательство теоремы 1 базируется на пред-
ставлении
n
I * | f( • )|r'1/r
"h) 1 f( x) = JJX t1 - П + K-^r) DSf(y)dydt
= (2h)n'WЛ . ,f(0,r) 1"(x). (7)
Заметим, что ■ , ' (13)
' о I = 1
5(к, г^х)< 25(к, ) V/ е Ь(1ос). (8) Отметим (см. [1]), что при 1 < q < 8 < да, 1 < I < г < да
для п.в. x е Rn,
b0p'qr (Rn )с b%'( Rn). (9)
где
Приведем определения пространств WS, B>pq .
Положим при т е И е К, / е {1, 2, ..., п}
ft (x) = tn fc(y-f)f(y) dy, (14)
Q, Kit е C" (Rn) при i = 1, 2, n [8].
А™(к ^^(х) := £ (-1 )т -уСт/(х + ]кг). 1 = о
Определение 1. При 8 е 1 < р < да символом Жр = Жр(Кп) будем обозначать пространство Соболева с нормой
Доказательство теоремы 2 проводится с помощью интегрального представления функции в Хг(1Кп, 1ос) через ее разности, см. [8]:
' Про- fix) = J^ J"Jt 2-X(y)Z;-[")ДГ(u)
0 i = 1
W% = || f LJ + ^ ||f J. xf(x + y + ме;-)du dy dt,
|a| = s
где — финитные бесконечно дифференцируемые функции.
Использованные методы применимы к дока-функций / ^ К с нормой зательству принадлежности пространству функ-
При 8 > 0, 1 <р, 0 < да символом Вр, 0 = Вр в (Кп) емые функции. [8, п. 18.1] обозначим банахово пространство Использованные методы применимы к дока-
m
n
ВЛОЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА
133
ций нулевой гладкости в интегралов типа потенциала, имеющих вид
I(х) = )0 < * < п,
Чх - А"-' (15)
/ е Ьр(Кп),
где функция к: К" х К" ^ К дифференцируема по х на Кп\{у}, функции к, |§гаёхк(х, у)\ локально суммируемы по у на Кп\{х} и
\к(х, у)|< С,
С (16)
|gradx£(x, y)| <
|x - y|
при x Фy.
Примерами таких интегралов типа потенциала являются потенциалы Рисса и Бесселя:
[т-Щт,®, (х - УШЪ,
х - у|
где 0,(1) = Ш-1((1 + \£,\2)—/2), Е — преобразование Фурье. Будем считать, что
1 < p < r < q <да, s = п - п > 0.
\\f\Lp
jт 1/q
= | J(t1 f (t))qf| , (19)
причем при q = да интеграл в правой части понимается как 8ир?1/р/*(?).
г > 0
Известно, что
Ьрд с ЬрГ при 4 < г. (20)
Теорема вложения Соболева Жр (Кп) с Хг(Кп), 1 < р < q < да, "для предельного показателя", т.е.
при 5 — п + п = 0, была усилена в терминах про-р 4
странств Лоренца. Так, в случае 5 = 1
W1(№)с Lqp(Г), 1 <p < q < да,
1 - n- + n- = 0
(21)
ства Wp (№n), s = п е N, в соответствующее про-p
странство Орлича [10]. В этом же случае q = да аналогом вложения (21) является вложение W (G) в пространство Лоренца—Зигмунда
о 1 1
W(G)c L„p(logL)-1 (G), p = n, (22)
° 1
где G — область в №n с конечной мерой \G|, а W1 (G) —
подпространство пространства функций из Wln (G), обращающихся в ноль на dG [6]. Принадлежность функции f пространству Lxp(logL)—1(G) Лоренца— Зигмунда характеризуется конечностью квазинормы
IG
f L-(logL)-'(G)' = i[ ЙГГМ/О.
'dt t
< да.
Для случая функций, определенных на К", соответствующую квазинорму можно ввести в виде
(17) р 4
Теорем а 3. Пусть/е Хр(Кп), потенциал (15) обладает сформулированными свойствами и выполнены условия (17).
Тогда I, е Ь°р (Кп), причем существует постоянная С > 0 такая, что
\\ЦЬ09;(Кп)|| < ФЬр(Кп)|| V/е Ьр(Кп). (18)
Пространство Лоренца Ьм = Хрг(Кп) определяется при 1 < р < да, 1 < q < да и при р = q = да как множество функций с конечной квазинормой
да
М log l )-1 («ц =
'dt t.
Вложение (22) усиливает упомянутое вложение в пространство Орлича. Относительно вложений (21), (22) см. также [7, 11].
Для сравнения вложения (4) с вложениями (21), (22) необходимо выяснить соотношение между
пространствами Б°р9г и Ьп при (1 < q <р < да) и соотношение между пространствами и Хшд(1о§Х)-1. Мы установим ниже вложение Б°р9 (Кп) с Ьрс[ при
1 <р, q < да, и вложение (Кп) с Хш?(1о§Х)-1(Кп), используя результаты работы [9] В.И. Коляды.
Те о р е ма 4. Пусть 1 <р < да, т е (0, да), (2Н)п = = 2т, / е Хр(Кп, 1ос),
Ет := {х е Кп: /х)| >/*(т)}, \Е,\ = т,
г т 1/р
N/ Н) := и 11/(х) -/(х + У)^х | .
1 Ет Он
Тогда при 0 < п < Т < да
П т т
1|/*( г) йг < т / (г) йг + |т-1/;Х / н) ^ (23)
0 0 п
или в инои записи
/**(п) </**(Т) + \т-1/pNp/ Н)^. (24)
п
Эта теорема по существу установлена В.И. Колядой [9] в периодическом случае при 1 < р < да. Здесь она приведена в несколько измененном варианте,
р 4
[4, 5]. Для случая q = да аналогом классической теоремы вложения Соболева для предельного показателя является теорема о вложении простран-
0
0
134
БЕСОВ
дающем возможность перейти к оценкам для перестановок функции/через ||5(И, р)/\\р (уточняющим оценки через модули непрерывности и охватывающим случай р = да).
Переходя в (23) к пределу по Т ^ да и считая, что/е Хр(Кп, 1ос),/**(0 ^ 0 при I ^ да, получаем из (24) оценку
f**(П) = 1- Jf*(t)dt < ^l/pNp (f h)dr
0 n
при ( 2 h )n = 2т, 0 <п<да. Отметим еще, что при 1 < p < да
Np(f h) < J T J J|f(x) - f(x + j)|pdydx 1
(25)
<
R"ßh 2n + 1
(27) loc),
■T 1 1/p
1-Г f* ( -) 1p dt1 JL i + |in t|.
iL'I < Af** ( T) +
+
где A =
dt
t( 1 + I in t| )p
< 2 р ||5(2к,р)/||р. (26)
Те о р е м а 5. Пусть 1 <р < да, 1 < q < да, /е Ьрд , /** (I) ^ 0 при I ^ 0. Тогда существует постоянная С> 0 такая, что для всех функций/е Ьррр ,/**(?) ^ 0 при I ^ да,
г ® , 1/г г ® , 1/г
| |(^1/р/*(0)г<С| |||8(к,р)/\\р-Н
^ о ' ^ о
Теорема 6. Пусть 1 < р < да, / е Ьр( 0< Т < да. Тогда
г T 1 1/p
С J Jll 8(2 h, да)/ ^Гг 1 < Af**(T) + Cjf ,
Вложения в теоремах 5, 6 являются строгими (т.е. не являются равенствами), что показано в лемме 2 из [1].
Результаты этой работы были доложены на конференции "Spectral Theory and Differential Equations", которая состоялась в июне 2014 г. в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 14-01-00684), Программы РАН "Современные проблемы теоретической математики".
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бесов О.В. // Тр. Мат. ин-та РАН. 2014. Т. 284. С. 89-104.
2. John F., Nirenberg L. // Communs Pure and Appl. Math. 1961. V. 14. P. 415-426.
3. Gogatishvili A., Koskela P., Zhou Y. // Forum Math. 2013. V 25. № 4. P. 787-819.
4. O'NeilR. // Duke Math. J. 1963. V. 30. P. 129-142.
5. Peetre J. // Ann. Inst. Fourier. 1966. V. 16. P. 279-317.
6. Hansson K. // Math. Scand. 1979. V. 45. P. 77-102.
7. Cianchi A. // Rev. Mat. Iberoamer. 2004. V. 20. P. 427474.
8. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996. 480 с.
9. Коляда В.И. // Мат. сб. 1988. Т. 136(178). № 1(5). С. 3-23.
10. Юдович
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.