научная статья по теме ВНЕШНЕЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ НЕСТАТИЧЕСКОГО СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА В ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ Математика

Текст научной статьи на тему «ВНЕШНЕЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ НЕСТАТИЧЕСКОГО СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА В ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ»

2t +(тг), Я+(Т,.) яш величиной

вид

га/2

л/п!.

О

. которые опи-системы беско-

.: Гостехиздат,

cs and Kinetic

ю 8.11.2005 г., и 23.111.2005 г.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 145, № 3 декабрь,2005

-fifaeiöit-ion гыгиП'.-- <мл«гхя> • »

© 2005 г.

am

--mffi-tr? т-шЭ

ГйгИЧЗДООХ ««f

A.A. Логунов*, М.А. Мествиришвили*

ВНЕШНЕЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ i

ПОЛЕ НЕСТАТИЧЕСКОГО юцэт*жт-

СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА '"■"»" В ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ -

ЖГ-л

Показано, что в полевой теории гравитации внешнее гравитационное поле нестатического сферически-симметричного источника, описываемое диагональным метрическим тензором, может быть только статическим.

Ключевые слова: релятивистская теория гравитации, теорема Биркгофа, масса гравитона, нестатический сферически-симметричный источник.

В общей теории относительности (ОТО), которая связывает гравитационное поле с метрическим тензором риманова пространства, в классе допустимых функций доказана теорема Биркгофа, согласно которой внешнее поле нестатического сферически-симметричного тела может быть только статическим. В релятивистской теории гравитации (РТГ) [1], [2] гравитационное поле ф^" является физическим полем, развивающимся в пространстве Минковского, а его источник - сохраняющийся в пространстве Минков-ского тензор энергии-импульса всех полей материи, включая и гравитационное поле.

Такой подход приводит к эффективной метрике риманова пространства и к другой системе уравнений, которая отличается от системы уравнений ОТО, а поэтому при изучении данного вопроса необходимо специальное рассмотрение. Полная система уравнений РТГ имеет вид

1 т2

+ I 9^9

fß _ i^v")

laß

= 8тг Г"", (1) = = 0, ^ (2) где тензор энергии-импульса вещества согласно Гильберту определен равенством

v^T"" = -2

ög» v'

* Институт физики высоких энергий, Протвино, Московская обл., Россия. E-mail: Anatoly.Logunov@ihep.ru

426

а.а. логунов, м.а. мествиришвили

т - масса гравитона, Ьм - плотность лагранжиана вещества. Эффективная метрика риманова пространства определена следующим образом:

УГК} = +

Г" = v^SS"", Г" = >/=77"v, Г" = yFiP"-

Система уравнений (1), (2) общековариантнаотносительно произвольных преобразований координат и форминвариантна относительно преобразований Лоренца. Это означает, что принцип относительности имеет всеобщее значение. В РТГ, в противоположность ОТО, он точно выполняется для всех физических явлений, в том числе и гравитационных. Именно поэтому в теории имеют место фундаментальные законы сохранения энергии-импульса и момента количества движения системы. Система координат в уравнениях (1), (2) задается метрическим тензором пространства Минковского. Мы выбрали систему единиц, в которой ñ = с = G = 1.

Для того чтобы времениподобные и изотропные интервалы в эффективном римано-вом пространстве не выходили за конус причинности пространства Минковского, должны выполняться условия

9»vU»Uv ^ 0, т„-УУ = 0. (3)

Эффективное риманово пространство в РТГ имеет простую топологию. В ОТО в общем случае топология не простая. Именно поэтому полевые представления о гравитации в принципе не могут привести к уравнениям ОТО.

Ниже мы установим, что внешнее гравитационное поле вида

ds2 = U(t, г) dt2 — V(t, г) dr2 - W2{t,r)[d92 + sin2 в d<j>2}, (4)

создаваемое нестатическим сферически-симметричным источником в инерциальной системе координат, может быть только статическим, т.е. метрические коэффициенты U, V, W не зависят от времени t.

Инерциальная система координат в пространстве Минковского задается интервалом

da2 = dt2 - dr2 - г2[d02 + sin2 в d<f>2]. (5)

На основании уравнений (1) для задачи, определяемой соотношениями (4) и (5), находим уравнения для функций U, V и W:

_1___10/1 dW2\ 3 fdW2\2 д / 1 dW2\

W2 2 Vdr\W2 dr ) 4VW4 V dr ) dr\2VW2 dr ) +

1 dW2 d\n{VW) m

+ 2UW2 dt dt + 2

r2 1/1 1

1 W2 + 2\U V

= 0,

1 1 d f 1 dw2\ 3 fdw2\2 d ( 1 ¿w2\ w2 + 2üdt + — 1—(6)

3 fdW2 y _}_dW2\_ 4UW4\ dt ) + dt\2UW2 dt )

1 dW2d\n(UW) m2

+

2VW2 dr dr 2

1/1 1

1 —— ,

W2 2\U V

= 0,

1 d2W2 1 dW2dW2 1 dv dW2 1 dUdW2 n 4'

= o. áim-a

W2 dtdr 2W* dr dt 2VW2 dt dr 2UW2 dr dt

m

Эффективная метрика

■извольных преобразо-шк Лоренца. Этоозна-. В РТГ, в противопо-■н. в том числе и гра-иальные законы сохра-Система координат ства Минковского.

эффективном римано-Минковского, долж-

(3)

геологию. В ОТО в оставления о грави-

(4)

и в инерциальной е коэффициенты

-.ется интервалом

(5)

[ (4) и (5), находим

У-

дг 1

г Г

д\\'г дг

2 г

■Г д\У

Г

т

+

= о,

= 0, = 0.

(6)

внешнее гравитационное поле сферически-симметричного тела 427 Уравнения (2) для выражений (4) и (5) принимают вид »ми \ > >

(7)

•ктт-'.т {?* к {9).

IV2 = \1уЧ{г),

...л^топ Д»£) «кэа&- 3 / 0 /и

где д(г) - произвольная функция.

Для дальнейшего удобно пользоваться представлением

--------------------"»геыО

В переменных ц, и, X, а уравнения (6) имеют вид

+

тп

= 0,

а/т мгс пят

е- + е-( А + 5 (А)2 - \)ф) - \г~" А' (V + ) +

+

т

1-г*е~х-ке-*-е-П =0

■ (31)

Л )

(8)

(9) (10)

где, например, А = 0А/Л, А' = дХ/дг. «гмф \ аиптФ л-лтко; он

Уравнения (7) принимают вид

А - £ (м -=»(г).

р' - и' + а' = 2ге

«/-а

рлнедшкф' 'яитЕК1,

Введем обозначения

• 2ш - ц + V, / = А-а (г).

Согласно (11) имеем Из (13) и (15) находим

= 4 + 'ед

р-и = 2/.

р = ы + /, и- ш-Уравнение (12) выразим через функции ш, / и а\

2/' + а' = 2геи,~2^~" ■

(П) (12)

(13)

(14)

(15)

(16)

428 ; : 3's, ■ юннн a.a. логунов, м.а. мбствиришвили ?*<п ЗЗНПьШв

Дифференцируя (17) по t, находим - ..

2f'=(2f' + a')(u-2f).

Подставляя это выражение в уравнение (10) и учитывая равенства (14), (16), получим неоднородное линейное уравнение в частных производных г„ u, f,

(18)

Система обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующая уравнению (18), имеет вид

dt dr dLi

Г -/ 3 Я'

Отсюда находим

Складывая эти равенства, получим

, 3 3/.. 30/ 2 дt 2 дг

Из условия полного дифференциала находим

.чн^™ чг,.--.. д2/

dt дг

= 0,

но последнее означает, что функция / представима в форме Общее решение уравнения (18) имеет вид

где Р - произвольная функция.

С учетом выражений (19) и (20) уравнение (17) принимает форму

(19)

(20)

2 tp' + а' = 2г ехр

-\m~lv(r)+F(f)

»'omemoj

Левая часть этого уравнения не зависит от t, а поэтому правая часть также должна не зависеть от t. Это возможно, если ф^) постоянна, но отсюда следует, что функции /л, и, Ане зависят от времени. В этом случае гравитационное поле вида (4) статическое. Но возможен и второй случай, когда Р — //2. Тогда , -чей;;

внешнее гравитационное поле сферически-симметричного тела 429 а функции ц, и, А согласно (16) и (14) будут равны . го '«мгот г гзТ

= 3^(4), = 4>Ц) - 2ф), ХЦ, г) = + <р(г) + а(г) = / + ст.

(21) (22) (23)

Для анализа данного случая нам необходимо обратиться к уравнениям (8) и (9). Разность этих уравнений равна

+

+ е

(24)

а их сумма -

2е"А - е-"

+ е~

+

х + {х)2-\х{^-й)

+ т (1 — г е~ ) = 0.

(25)

Согласно (11) имеем

(А)2 - - V) = 0,

поэтому уравнение (25) несколько упрощается:

(20)

также должна не что функции и, 4) статическое.

2е - е

+ е~^Х + т2(1 — г2е_А) = 0. (26)

Выразим уравнения (24) и (26) через функции ш, /, ст:

-/" - а" -\(Г+ ст')2 + (/' + Ст V е-2' (-/ - \(Л2 + /* + ^) = 0,

2 1-

т2г2

е-(а-1/) _ + а„ + (/, + ст,)2 _ + + е-2/^+т2ец) = 0

(28)

Согласно (12) имеем

2геГ~х = 2/' + ст',

(29)

поэтому после замены экспоненциального множителя уравнение (28) принимает вид ^(1-^)(2/' + ст')-[Г + ст'' + (/' + ст')2-/'(/' + ст')]+е-2/(/ + гп2е^)=0. (30)

430 -'чт сшнрьпт а.а. Логунов, м. а. мествиришвили «иачч ззншяна

Так как р зависит только от а / = + <р(г), то в уравнениях (27) и (30) переменные £ и г разделяются:

¿1

"/" - - + + (/' + " V - ^ = (31)

¡+1(/)2-/ш-!Т=кеМ\ (32)

/" + а" + а'(/' + <т') " ; (1 - (2/' + а') = ре~2^\ (33)

}'+т2е^=ре2ф{г\ (34)

где к и р- постоянные разделения.

Обратимся к уравнениям (32) и (34). Введем новую переменную

•ф{Ь) = 1па2(£). ' (35)

Уравнения (32) и (34) принимают вид ~ ; 1 к~'1

I

т2

2аа -8¿2 - — а2 = ка6, (36)

2аа - 2а2 + тп2о8 - ра6. п , , (37)

Отсюда находим

а2 = - [т2а2 + 2т2а8 + 2(Л - р)а6]. (38)

Дифференцируя, получим

а = - [2т2 а + 16т2 а7 + 12 (к- р)а5]. (39) 24 ......- -.....-Т

Подставляя (38) и (39) в уравнение (36), находим соотношение между постоянными разделения р — —2к. При этом имеем * а ■+- —---+ + 4 - ''г, ..

£

Перейдем теперь к анализу уравнений (31) и (33). С учетом (22) и (23) уравнение (29) принимает вид £}

¥>' = + . (41)

Дифференцируя это выражение, находим 'ШШоп

1 1 —(^Ш \ I

- ( = -±<т" + ^та'е-^-" + е"3^ - 3г2е'^~2<т. у - ЭД

внешнее гравитационное поле сферически-симметричного тела 431

(30) переменные

к

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

| (37)

(38)

(39)

^ зэстоянными раз-

(40)

I - О .уравнение (29)

(41)

Г

(42)

Подставляя (41) и (42) в уравнения (31) и (33), получим

—Зг2е_2<тх2 + 2кх2'3 = -®(2 + 2га')е-° - а" + -¿а')2 - т2,

2 1-

-3 г2е~2<тх2 + 2 кх2'3 = х

где мы ввели обозначение х = е . Рассмотрим уравнения

тп2г2\ 3 , —г— - -та - 1 2/2

е -¿о '

(43)

-Зг2е~2<тх2 + 2х(1 + гст')^ + <т" - ^(а')2 = 0, -Зг2е-2<тх2 - х Л - е- + + = 0.

Вычитая одно уравнение из другого, получим

(3/4)Иа-(1/Ус,._а._с.

(44)

х -

3 + (1/2 )га'

3<р

(45)"

При соответствующем а величина а является корнем уравнений (44). Подставляя в уравнения (43) значение х = а, находим

Из уравнений (46) и (47) имеем

2 ка2'3 = -т2, 2к = —а1!3т2г2е~а.

т

(46)

(47)

(48)

Поскольку согласно (46) величина а должна быть постоянной, из выражения (48) следует

<т = 1па + 1пг2. (49)

Из соотношений (46) и (47) находим

иЛ *! Р'

к=~

тп

2а2/3'

(50)

Согласно принципу причинности (3) имеем V ^ V. Чтобы удовлетворить этому неравенству, достаточно, учитывая (21) и (22), наложить следующие условия:

1 <

е2^ < 1.

(51)

(52)

Неравенство (52) отражает физическое свойство гравитационного поля замедлять ход времени по сравнению с инерциальным временем. Учитывая (45), запишем условие (51) в форме

а2'3 } 1. '•■"•'■ (53)

432 h rr! ' Hin;— A.A.

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»