М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 6 • 2014
УДК 532.59:551.466
ВНУТРЕННИЕ СЕЙШИ В ВОДОЕМЕ, ЗАПОЛНЕННОМ НЕПРЕРЫВНО СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТЬЮ
© 2014 г. И. В. СТУРОВА
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск e-mail: sturova@hydro.nsc.ru
Поступила в редакцию 29.10.2013 г.
Исследовано поведение внутренних сейш в бассейне переменной глубины в рамках линейной модели длинных волн. Результаты для непрерывной стратификации на примере одного из поперечных сечений Телецкого озера (Горный Алтай, Россия) сопоставлены с результатами для прямоугольного бассейна, а также моделями двухслойной и трехслойной жидкости. Показано, что для глубоководного озера периоды внутренних сейш достаточно хорошо аппроксимируются решением для эквивалентного прямоугольного бассейна.
Ключевые слова: внутренние сейши, непрерывная стратификация, приближение длинных волн, двухслойная и трехслойная жидкость, Телецкое озеро.
Внутренние сейши представляют собой свободные стоячие волны, которые возникают в замкнутых или полузамкнутых бассейнах, заполненных стратифицированной жидкостью. В природных водоемах, например, озерах, стратификация вызвана, как правило, сезонным нагревом верхнего слоя воды. Различные возмущения, действующие на водную массу, такие как ветер, сильный дождь, резкое изменение атмосферного давления, сейсмические воздействия, выводят из равновесия разноплотностные слои воды. После прекращения воздействия возникают внутренние сейши, в которых слои колеблются около своего положения равновесия. Большое значение внутренние сейши имеют для экологии озер, так как они приводят к перемешиванию и перераспределению кислорода и питательных веществ в водной среде.
В настоящее время существует обширная литература по наблюдениям внутренних сейш в реальных водоемах и предложены различные методы расчетов их периодов и внутренней структуры (см., например, [1—3] и библиографию к ним). Достаточно подробно исследованы многие зарубежные водоемы, однако озера России, особенно в восточной ее части, еще мало изучены. В данной работе представлено сравнение различных моделей, используемых для расчета внутренних сейш, на примере одного из поперечных сечений Телецкого озера (Горный Алтай, Россия). Результаты для непрерывной стратификации в реальном бассейне сопоставлены с результатами для бассейна постоянной глубины, а также моделями двухслойной и трехслойной жидкости.
1. Постановка задачи. Рассматривается плоская задача о свободных колебаниях устойчиво стратифицированной жидкости в бассейне переменной глубины. В вертикальной плоскости Oxz бассейн занимает область 0 < x < L, -H(x) < z < 0, где x — горизонтальная, а z — вертикальная координата, отсчитываемая вверх от невозмущенного положения верхней границы жидкости z = 0; H(x) > 0 — глубина бассейна в невозмущенном состоянии.
Линеаризованная система уравнений Эйлера для несжимаемой жидкости без учета эффектов вращения имеет вид (см., например, [4])
, ,ди др , др .л 1Ч
д1 дх д1 дг
др , • п ди , дъ> г. /,
"т"" + Ро^ = 0, — + — = 0 (1-2)
д1 дх дг
где и(х, г, О и мг(х, г, О — горизонтальная и вертикальная компоненты скорости; р0(г) — плотность жидкости в невозмущенном состоянии; р(х, г, 0 и р(х, г, ^ — возмущения давления и плотности от стационарного гидростатического состояния; g — ускорение силы тяжести; штрих означает дифференцирование по г; t — время.
Для исследования внутренних сейш верхняя граница жидкости обычно предполагается твердой крышкой, так как вертикальные смещения свободной поверхности во внутренних волнах малы, что приводит к следующему граничному условию
V = 0 (г = 0)
Введение этого условия позволяет отфильтровать поверхностные сейши без существенного искажения внутренних сейш. На дне ставится условие непротекания жидкости
V = и ^ (г = -Н(х))
дх
Введем гармоническую зависимость по времени
(и, V,р,р) = Яе[(и, Ш,Р,Л)ехр(гю0] (1.3)
где ю > 0 — искомая частота свободных колебаний жидкости в бассейне (частота сейши). Используя функцию тока х, г), определяемую выражениями
ду/дх = Ш, ду/дг = -и
систему уравнений (1.1), (1.2) можно свести к одному уравнению [2]
в у dv + h _ n2 |dV = о
dz2 g dz L ю2 jdx2
(1.4)
с граничными условиями
y = 0 (z = 0, z = - H (x)) (1.5)
2 i
Здесь N (z) = -gp0/ро — частота плавучести. Используя приближение Буссинеска и модель длинных волн, уравнение (1.4) сводится к виду [2, 5]
^=о (1.6)
-л 2 2 -л 2
dz ю дх с граничными условиями (1.5).
2. Прямоугольный бассейн. Решение уравнения (1.6) с граничными условиями (1.5) в случае бассейна постоянной глубины H = const наиболее просто получить в случае однородно стратифицированной жидкости (N = const) [6]
y(x, z) = sin nnx sin mnz (n, m = 1,2,...) L H
Частота внутренних сейш равна
NH n , ч
ю n,m =—----(2.1)
L m
а их период — Tnm = 2л/юи m. В отличие от поверхностных сейш, которые характеризуются только значением n, соответствующим числу узлов по горизонтали в вертикальных смещениях свободной поверхности, тип внутренней сейши определяется двумя параметрами, для которых обычно используется обозначение VmHn [2]. Для периодов внутренних сейш выполняются неравенства [1]
Tn,1 < Tn,2 < ••• < T1,m > T2,m > ••• >
т.е. с увеличением числа узлов уменьшается период колебаний, а с увеличением числа областей колебаний, расположенных по вертикали одна над другой, период колебаний увеличивается.
Соотношение (2.1) показывает, что спектр собственных частот плотный (в математическом смысле) на положительной вещественной оси, так как любое рациональное число может быть записано как n/m для соответствующих n и m. Частоты, связанные с крупномасштабными движениями, т.е. малыми значениями n и m, расположены в окружении мелкомасштабных движений с большими значениями этих параметров. Это составляет значительную трудность при определении искомых частот мод для крупномасштабных движений в бассейне произвольного сечения [6].
В случае неоднородной стратификации, используя метод разделения переменных, решение уравнения (1.6) с граничным условием (1.5) можно искать в виде
V(x, z) = W(z) sin nnx (n = 1,2,...) где функция W (z) определяется из решения краевой задачи
W" + n П ^2(z) W = 0, W = 0 (z = 0, z = -H) (2.2)
ю L
Известно, что для каждого фиксированного значения n эта задача Штурма—Лиувилля имеет счетное число собственных значений и собственных функций Wm(m = 1,2,...), при этом m-я собственная функция имеет m - 1 нуль внутри интервала [—H, 0].
Эффективный метод ускоренной сходимости для решения задачи Штурма—Ли-
увилля предложен в [7]. Для кусочно-постоянного распределения функции N (z) в прямоугольном бассейне общее решение задачи (2.2) в каждом из слоев имеет простое аналитическое представление, и задача определения собственных частот ю„ m сводится к решению трансцендентного уравнения.
3. Многослойная жидкость. Одна из наиболее распространенных моделей стратифицированной жидкости — модель многослойной жидкости, в которой плотность в каждом слое считается постоянной [8]. Большое число работ посвящено двухслойной жидкости, которая позволяет описать только поведение внутренних сейш типа V1Hn(n = 1,2,...) [3]. Модель трехслойной жидкости является более общей и дает возможность также оценить поведение колебаний типа V 2Hn.
В случае трехслойной жидкости в невозмущенном состоянии верхний слой плотности р1 имеет постоянную толщину kj, средний слой плотности р2 — толщину k2, нижний слой плотности р3 — переменную толщину k3(x) = H(x) - k1 - k2. Предполагается, что p1 < р2 < р3. В рамках линейной теории длинных волн движение жидкости описывается следующей системой уравнений [9]
дu1 = -g dn, d(n1 - П2) = -ki dui (31)
dt dx dt dx
дщ dt
du3 "dt
у1 ^ + £l dx dx _
5(Л2^ЛЗ) = -h д_М1 (3.2)
dt dx
y д(п1 - п2) + y дп2 + „ дпз
y 3-г-+ y 2 -г— + ^2 —
dx dx dx _
дпз _ д(Нзщ) (33)
dt dx
Здесь uj(x, t)(j = 1,2,3) — осредненная по глубине горизонтальная скорость в верхнем (j = 1), среднем (j = 2) и нижнем (j = 3) слоях; n j (x, t) — смещения свободной поверхности (j = 1) и границ раздела слоев (j = 2,3) от горизонтального положения соответственно; у1 = р1 /р2, у2 = р2/рз, Yз = Р1/Р3,£ j = 1 - Y j — безразмерные параметры, характеризующие вертикальную плотностную стратификацию жидкости. На боковых границах бассейна x = 0 и x = L, являющихся вертикальными твердыми стенками, задаются условия непротекания жидкости
uj (0, t) = uj (L, t) = 0 (j = 1,2,3) (3.4)
Рассматривая гармонические по времени колебания жидкости аналогично (1.3)
(uy-, П j) = Re[(Uj, Ej )exp(fot)] (j = 1,2,3)
систему уравнений (3.1)—(3.3) с граничными условиями (3.4) можно свести в краевой задаче для трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для нахождения частот ш и соответствующих им полных горизонтальных потоков Qj = hjUj (j = 1,2,3) в каждом из слоев жидкости
W + Q2' + Q3') = -Щ, h2(y1Q1' + Q2' + Q3') = -Щ (3.5)
h3(x)(Y 3Q1' + y 2Q2' + Q3') = -Щ, = ю2 /g (3.6)
с граничными условиями
Qj (0) = Q¡ (L) = 0 (j = 1,2,3) (3.7)
Для решения этой краевой задачи используем спектральный метод вместо обычно применяемого численного алгоритма решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение уравнений (3.5), (3.6) с учетом граничных условий (3.7) ищется в виде
K
(Q1, Q2, Qi) = Z (ak, bk, ck) sin knx (3.8)
k=1 L
Подставляя (3.8) в (3.5), (3.6), умножая последовательно каждое уравнение на sin(lnx/L)(l = 1,..., K) и интегрируя по x от 0 до L, получим спектральную задачу
A • Q = X Q
где вектор Q = (a1,..., aK,b1,..., bK,c1,..., cK)T, A — квадратная матрица порядка 3K, и T означает транспонирование.
После определения собственных значений и собственных векторов матрицы A, амплитудные функции возвышений Ej (x)(j = 1,2,3) рассчитываются по формулам
E1 = -(Q1 + Q2 + Q3)/Ю E2 =-(Q2 + Q3)/ ю, Ei = -Q3 / ю (3.9)
Для прямоугольного бассейна глубины H решение данной задачи может быть получено явно [8, 9]. Три возможные моды колебаний для каждого значения n в гармони-
ческом движении вдоль оси х с длиной волны 2Ь/п находятся из решения кубического уравнения
Л3 - НЛ2 + АЛ- В = 0 (3.10)
2
где А = к2к3г2 + к1к3г3
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.