^^^^^^^^^^ АКУСТИКА ЖИВЫХ СИСТЕМ.
БИОМЕДИЦИНСКАЯ АКУСТИКА
534.222
ВОЛНОВАЯ АНИЗОТРОПИЯ СДВИГОВОЙ ВЯЗКОСТИ И УПРУГОСТИ СКЕЛЕТНОЙ МЫШЦЫ
© 2014 г. О. В. Руденко1, 3, 4, 5, 6, А. П. Сарвазян2
1Физический факультет Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова
119991 Москва, Ленинские горы E-mail: rudenko@acs366.phys.msu.ru 2Artann Laboratories, Trenton, NJ, USA E-mail: armen@artannlabs.com 3Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
4Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН 5School of Engineering, Blekinge Institute of Technology, Karlskrona, Sweden 6Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН Поступила в редакцию 03.06.2014 г.
Изложена теория распространения сдвиговых волн в материале типа "soft solid", обладающем анизотропией упругих и диссипативных свойств. Теория развита, прежде всего, для понимания природы низкочастотных акустических характеристик скелетной мышцы, которые несут важную диагностическую информацию о функциональном состоянии мышц и их патологий. Показано, что сдвиговая упругость мышц определяется двумя независимыми модулями. Диссипативные свойства определяются тензором вязкости 4-го ранга, также имеющего две независимые компоненты. Скорость распространения и затухание сдвиговых волн в мышце зависят от взаимного расположения трех векторов: волнового вектора, вектора поляризации и направления мышечного волокна. Для одного из многих экспериментов, где четко обращено внимание на векторный характер волнового процесса, удалось провести сравнение с теорией, оценить упругие модули и получить согласие с угловой зависимостью скорости распространения, предсказанной теорией.
Ключевые слова: мышца, soft solids, анизотропия, сдвиговая упругость, тензор вязкости, волокна, вектор поляризации.
DOI: 10.7868/S0320791914060148
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 6, с. 679-687
УДК
ВВЕДЕНИЕ
Анизотропным свойствам мышцы при ее квазистатическом нагружении посвящено значительное число работ (см., например, [1, 2]). Однако динамические нагрузки в виде сдвиговых волн используются сравнительно недавно для определения вязкоупругих характеристик мышцы методами ультразвуковой и ЯМР-эластографии [3— 13]. Эти характеристики являются информативными диагностическими параметрами состояния мышечной ткани [5, 8, 10—12, 14, 15]. Структурные изменения мышечной ткани, связанные с различными патологиями, например при миозите или в процессе старения, прямо отражаются в механических и акустических характеристиках, измерение которых может обеспечить более глубокое понимание патофизиологии мышечных заболеваний и может быть использовано для оценки эффективности лечения [8, 12]. Успехи в экспериментальном исследовании вязкоупругих свойств скелетной мышцы in vivo [3—12] в последние годы
связаны с появлением методов эластографии, основанных на использовании сдвиговых волн [16—26].
Ранние исследования механических свойств мышцы были сосредоточены главным образом на ее упругих характеристиках, без учета вязкого компонента [14]. Однако вязкость является существенной физической характеристикой мышцы, отражающей как ее структурные особенности, так и молекулярный механизм мышечного сокращения, связанный с динамикой актомиозиновых мостиков [14, 15, 27, 28, 31]. Характерной особенностью структуры скелетной мышцы, отличающей ее от большинства других мягких тканей, является высокая анизотропия механических свойств. Изучение этой анизотропии и зависимости соответствующих параметров от состояния мышцы в норме и при патологии может стать основой новых методов диагностики и контроля эффективности лечения мышечных заболеваний.
Известно, что мышечное волокно состоит примерно из 104 последовательно соединенных саркомеров, каждый из которых, в свою оче-
(а)
(б)
Рис. 1. Расположение миозиновых нитей в поперечном сечении растянутого саркомера (а); сечение саркомера при его сокращении — решетки нитей актина вдвигаются в миозиновые решетки (б). Структуры имеют гексагональную симметрию.
редь, содержит около 106 нитей: тонких (белок актин) и толстых (миозин). Комплекс "акто-миозин" — эффективный механохимический преобразователь энергии АТФ. Как видно из рис. 1, каждый отдельный саркомер имеет гексагональную симметрию. Поэтому форма саркомера не изменяется при повороте вокруг оси на угол, кратный я/3. Однако из-за того, что соседние саркомеры повернуты друг относительно друга на небольшой случайный угол, а число сар-комеров в мышечном волокне велико, дисперсия поворотов оказывается значительной. Поэтому в макроскопических масштабах, сравнимых с длиной продольной или сдвиговой акустической волны, этот вид симметрии исчезает. Тем не менее, в мышце сохраняется анизотропия — различие упругих свойств в направлении оси волокна и в ортогональном направлении. В плоскости поперечного сечения мышцы, очевидно, все направления должны быть равноправными.
АНИЗОТРОПИЯ УПРУГИХ СВОЙСТВ СКЕЛЕТНЫХ МЫШЦ
Динамика анизотропных сред, в том числе упругие волны в таких средах, описывается системой уравнений
д и Р—т = дг2
- А и
д 2ит
(1)
дхк дх,
Здесь и — вектор смещения элемента сплошной упругой среды. Как известно, тензор модулей упругости X ¡к1т для сред с одним выделенным направлением имеет только пять независимых компонент, определяемых модулями А, В, С, Д В [29]:
А хххх А уууу А, А хуху В, А ххуу А 2В, (2)
л =А = С А =А = ПА = Р
л ххгг ~ л уугг ~ л хгхг ~ л угуг ~ л гггг ~ Т •
Здесь компоненты тензора записаны в декартовой системе координат. Ось г направлена вдоль мышечного волокна; оси х, у, образующие с осью г правую тройку ортов, ориентированы произвольным образом в плоскости, ортогональной оси г.
Напомним, что при использовании тензорных обозначений по дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Так, в уравнении (1) суммирование идет по индексам к, I, т. При замене индексированной величины, к примеру хт, на одну из декартовых координат х, у, г суммирование не производится. Например, выражение а тт = а хх + а уу + а есть след матрицы напротив, игг = игг — это конкретный элемент матрицы.
Дисперсионное уравнение, следующее из системы дифференциальных уравнений (1), для монохроматических волн
и\ = и01 ехр (-¡Ш + Iк,х,), (3)
имеет вид
кткк - рю28¡,„1 = 0. (4)
Решением системы алгебраических уравнений (4) являются три частотно-независимые скорости распространения волн. Когда волновой вектор направлен по оси г, один из корней отвечает продольной волне, два других корня одинаковы и относятся к поперечным волнам:
2 В
С, =-, р
2 _ 2 _ П
СЛ = Сг2 ~~.
р
(а)
v ч
Ul у
'V.
%
' уш i 1я | 111 » ' cl
(б)
ф
Рис. 2. Волновой вектор k сдвиговой волны лежит в плоскости падения (х, г) и наклонен под углом 9 к оси волокна; (а) вектор поляризации ортогонален плоскости падения; (б) вектор поляризации лежит в плоскости падения.
х
0
г
Если же волновой вектор направлен вдоль оси х, то все три скорости различны:
2 A 2 B 2 D /¿ч
c, =-, ел =-, ct2 =—. (6)
Р Р Р
При этом первая поперечная волна поляризована вдоль оси у, а вторая — вдоль оси г. В общем случае, при произвольном наклоне волнового вектора к оси г, разделить продольные и поперечные волны не удается.
Однако анизотропные свойства среды радикально меняются, когда скорости распространения продольных волн значительно превышают скорости сдвиговых волн. Примерами таких сред служат мягкие биологические ткани, их фантомы, а также некоторые высокоэластичные и рези-ноподобные материалы. С недавних пор среды, у которых модули сдвиговой упругости гораздо меньше, чем модули, связанные со сжимаемостью (изменением объема) материала, стали объединять термином "soft solids" (см., например, [30]). Заметим, что дословный перевод этого термина как "мягкие твердые тела" звучит непривычно, а широко используемый в русскоязычной литературе термин "резиноподобные среды" имеет несколько иной смысл. "Soft solid" — это среда, сдвиговая упругость которой мала по сравнению с объемной упругостью. "Резиноподобная" или высокоэластичная среда обладает свойством не разрушаться при больших деформациях.
Как нам удалось показать [31], в средах типа "soft solids" на компоненты тензора модулей упругости накладываются новые ограничения. Оказывается, что модули A, C, F (2) должны быть одного порядка с величиной ре,2, а два других модуля B, D
должны быть гораздо меньшими — порядка pct2. Поскольку в мышце скорость продольной волны cl ~ 1500 м/с, а поперечной ct ~ 1—100 м/с, очевидно, (B, D) < (A, C, F).
Рассмотрим здесь анизотропию свойств динамической сдвиговой упругости мышцы более подробно. В общем случае в анизотропной среде (2) ось г декартовых координат удобно совместить с осью симметрии (для нас — это ось мышечного волокна). Направления х, у можно выбрать произвольным образом. Без ограничения общности в качестве плоскости падения, в которой лежит волновой вектор ^ удобно выбрать плоскость (х, г). Вектор k наклонен к оси г под произвольным углом 9. Геометрия задачи иллюстрирована на рис. 2.
При данном выборе геометрии волновое уравнение (1) примет вид
д 2U
u i — о. ^
р 2 ixzm + 1 izxm )
dt + 1
д 2Um dxdz
д Um д 2Um
ixxm ^ 2 + 1 izzm 2
(7)
дх
дz2
Очевидно, что вектор смещения U должен изменяться по закону бегущей вдоль вектора k волны:
U = U It - х sin 0-z cos (
(8)
Здесь с — скорость распространения волны, которую требуется выразить через упругие модули среды и направления векторов U и ^ Подставляя (8) в (7) и интегрируя два раза по времени, приведем волновое уравнение в частных производных (7) к системе алгебраических уравнений:
pc2Ui = [(Xixzm + Xizxm ) Sin 9 COS 6 +
+ Xixxm sin2 9 + Xizm cos2 9] Um.
В декартовых компонентах система (9) примет вид [рс2 - (A sin2 е + D cos2 е)] Ux -
- [(с + D)sin еcos еи = о,
[рс2 - (в sin2 е + D cos2 е)] Uy = 0, (10)
-[(с + D)sin е cos е]их +
+ [рс2 - (dsin2 е + Fcos2 е) = 0.
Второе уравнение этой системы является независимым от двух других уравнений. Оно содержит только одну компоненту вектора смещения Uy = UL, ортогональную плоскости падения и волновому вектору k (см. рис. 2а). Следовательно, второе уравнение
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.