ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 461, № 2, с. 223-227
= ОКЕАНОЛОГИЯ
УДК 551.465+532.527
волновое воздействие взвесенесущего потока на обтекаемое препятствие © 2015 г. И. Ю. Владимиров, Н. Н. Корчагин, А. С. Савин
Представлено академиком РАН Р.И. Нигматулиным 25.06.2014 г. Поступило 26.06.2014 г.
БО1: 10.7868/80869565215080253
На обтекаемые стратифицированным морским течением подводные препятствия действует сила вязкого сопротивления, кроме того, возникают дополнительные гидродинамические реакции, обусловленные генерацией внутренних волн. Вблизи дна этот эффект может усиливаться придонными взвесенесущими (мутьевыми) потоками, возникающими при перемешивании в них микро- и мелкозернистых частиц донного грунта. Скорости таких потоков могут превышать 1 м/с, а толщины составлять несколько десятков метров. При этом эффективная плотность воды в них может быть больше плотности окружающих вод на десять и более процентов, что обусловливает резкий перепад плотности на границе потока и приводит к усилению стратификации среды [1]. Таким образом, обтекаемые мутьевыми потоками подводные элементы инженерных конструкций (в частности, транспортные трубопроводы) могут дополнительно испытывать вполне значимые силовые воздействия, связанные с генерацией внутренних волн.
Для оценки волновых воздействий на обтекаемое препятствие и выявления новых эффектов рассмотрим двухслойный поток идеальной жидкости, ограниченный снизу горизонтальным дном, стационарно обтекающий цилиндр с поперечным сечением радиусом Я. Цилиндр моделируется точечным диполем с моментом [2]
т = 2 п УК2, (1)
V — скорость набегающего потока. Обозначим толщину верхнего слоя Н, нижнего Нь а плотности соответственно р1 и р2 (р1 < р2). Начало координат поместим на невозмущенной границе между слоями жидкости, ось х направим вдоль этой границы, ось у вертикально вверх (см. рис. 1 в [5]).
Институт океанологии им. П.П. Ширшова Российской Академии наук, Москва Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана E-mail: e-niknik@mail.ru
Комплексная скорость возмущенного диполем потока находится в соответствии с подходами, предложенными авторами в [3—5], а также в [6]. Далее рассматриваются две модельные задачи: диполь находится под скачком плотности жидкости, т.е. в точке (0, —А), и диполь над скачком (0, +А). Для вычисления гидродинамических сил, приложенных к рассматриваемому цилиндру, воспользуемся выражениями для комплексно-сопряженной скорости двухслойного потока, обтекающего моделирующий его диполь, в виде к = V + ик, ик = ик — Ык, к = 1, 2; V — скорость установившегося потока при х ^ —да. Тогда математическая задача об отыскании возмущений комплексно-сопряженной скорости ик, вносимых в поток диполем, формулируется следующим образом: требуется найти аналитические функции и1(г) и и2(1), удовлетворяющие граничным условиям
Im
\dUx ■
1 IT - vUi . dz
= 0 при y = H,
5 Im
dUi TT' 1 ~r - v Ui
dz
= Im
dU
dz
2 - vU2
при y = 0,
ImU1 = Im U2 при y = 0, Im U2 = 0 при y = -H1. Pi
(2)
(3)
(4)
(5)
Здесь 5 = — , г = х + у, V = — , g — ускорение сво-
Р2 У2
бодного падения; и1(г) регулярна в полосе —да < х < < +да, 0 < у < Н, а и2(г) — в полосе —да < х < +да, —Н1 < у < 0 всюду, за исключением точки г = —А (или г = +(А), в которой она имеет полюс второго
порядка (U2(z)--
m
1
при z ^ ± ih). Гра-
2п(г - 1Н)2
ничное условие (2) описывает постоянство давления на свободной поверхности, (3) — непрерывность давления при переходе через поверхность раздела слоев, (4) — отсутствие потока жидкости
223
7*
224
ВЛАДИМИРОВ и др.
Над скачком плотности
X, Н/м 150 125 100 75 50 25
1.2 1.4
V, м/с
0.8 V, м/с
1.2 1.4
V, м/с
Рис. 1. График зависимости волнового сопротивления диполя от скорости потока. Диполь под скачком плотности (ле-
р2
вая пара), над скачком (правая пара); — = 1.01 (а), 1.10 (б).
Р1
через эту поверхность, (5) является условием непротекания через дно.
После некоторых преобразований с использованием формулы С.А. Чаплыгина [2] найдем гид-
в комплексной форме I* = X — ¡У, где X — волновое сопротивление, У — подъемная сила диполя, локализованного сначала в нижнем, а затем в верхнем слое потока. При локализации диполя
родинамическую реакцию на обтекаемый диполь под скачком плотности имеем
2
р* =
I Р 2т 2 п
| к(С(к)екк - Б(к)е~кк)йк -
2 в
- Р2т у ^ {к(С( к) екН + Б(к) е~кН)}, 2^—1 к = к:
] = 1 :
г,.л _ к {- (1 - 8)( к2 - V2) к (Н - к) + [(1 + 5) к2 + (1 - 5)у2 ] к( Н + к) - 2 ку сИ к( Н + к)} С (к) = кН - - - ,
2сИкНсИкН1е 1 {к + [8к + (1 - 8)у2] &кНгЪкН1 - ку( 1ЬкН + 1ЬкН1)}
ксИк(Н1 - к){- [(1 + 8)к2 + 2ку + (1 - 8)у2]е~кН- (1 - 8)(к2 - у2)екН}
к) _ 2 2 2 . 2сИкНсИкН1 {к + [8к + (1 - 8)у2] &кНгЪкН1 - ку( 1ЬкН + ШкН1)}
(6)
(7)
Интеграл в (6) понимается в смысле главного люсам к: функции к(С(к)гш + Б(к)е-Ш), располо-значения по Коши, а вычеты берутся по всем ж по- женным на положительной действительной оси.
0
ВОЛНОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ ВЗВЕСЕНЕСУЩЕГО ПОТОКА
225
Из (7) видно, что эти полюсы являются положительными корнями уравнения
к2 + [5к2 + (1 - 5)v2] thkHthkH1 -- к v( th kH + th kH1) = 0.
(8)
V < V™ =
gH(ß + 1 -v (ß + 1 )2 - 4 sß)
(9)
и один положительный корень, если
с < V < vr =
gH(ß + 1 + 7 (ß + 1 )2 - 4 sß)
; (10)
при V > Св положительных решений нет. Здесь
1 ? р2 - р1 s = 1 — 5 = ——— — относительный перепад плот-
Р2
H1
Кроме того, очевидно, что точки к = к) (и только они) являются особыми для подынтегральной функции в первом слагаемом (6) (т.е. полюсами, расположенными на контуре интегрирования).
Проведенный в работах [4, 5] анализ показал, что уравнение (8) имеет два положительных корня при выполнении условия
ности между слоями, ß = — . С физической точки
Fвн Т7пов
cr и Vcr означают максимальную скорость течения, при которой в потоке за обтекаемым цилиндром образуются волны, обусловленные соответственно наличием слоя скачка плотности и свободной поверхности (внутренние и поверхностные).
Выделяя в (6) вещественную и мнимую части, окончательно получаем выражения для волнового сопротивления и подъемной силы:
s
X = -2я2р2V2R4У res {k(C(k)ekh + D(к)e~kh)}, k = k.
Y = -
j = 1 r»4
2яр2 V2R4 | к(C(k)ekh - D(k)e~kh)dk.
Здесь подсчет вычетов осуществляется по формуле
0
kh * 1 ч -kh ч
res {k(C(к)ekh + D(k)e^)} = k(g1 ( k)e + g2(k) e~ ) k = k dg^ ( к)
dk
пл _ к{-(1 - 5)(к2 - v2)shк(H- h) + [(1 + 5)к2 + (1 - 5)v2] shк(H + h) - 2kvchк(H + h)} g1( к) = kH ,
2 e 1 ch kHch kH1
( = к ch к (H1 - h){ - [ ( 1 + 5 ) k2 + 2kv + ( 1 - 5 ) v 2 ] e~kH - ( 1 - 5 ) ( k2 - v 2) ekH} g2 = 2 ch kH ch kH1 ,
g3 (k) = k2 + [5 k2 + (1 - 5)v2 ] th kH th kH1 - kv( th kH + th kHx).
к = к,
В той же постановке исследуется задача об скачком плотности. Решая такую задачу указан-определении гидродинамической нагрузки, дей- ным выше способом, получим ствующей на диполь в верхнем слое потока, над
F* =
2 2 s
lP1m 111 а(i\ -kh кЬ\л P1 m
| k(A(к)e~kh - B(к)ekh)dk - у ^res {к(A(к)e~kh + B(к)ekh)}, (11)
2 n J 2 k = k,
о j = 1
k[(5k + (1 - 5)v) th kH1 - к ] [v ch к (H - h) - к sh к (H - h)] a (к) — -,
ch kH{ k2 + [5k2 + (1 - 5)v2 ] th kHth kH1 - kv( th kH + th kH1)}
_,, ч к (к + v) e~kH{ [(1 - 5)v ch kh - 5 к sh kh ] th kH1 - к ch kh}
B (k) = -2-2-2-■
ch kH{ к + [5 к + (1 - 5)v2 ] th kHth kH1 - kv( th kH + th kH1)}
226
ВЛАДИМИРОВ и др.
скачком (правая пара); — = 1.01 (а), 1.10 (б).
Pl
Отсюда имеем выражения для волнового сопротивления и подъемной силы
s
X = -2я2p1 V2RAУ res {k(A(k)e~kh + B(k)ekh)}, ¿—i k = k.
j = i
У = -2пр1 У2К | к(А(к)в~кЬ - В(к)екЬ)йк.
0
Интеграл в (11), как и в (6), понимается в смысле главного значения по Коши, к — полюса функции к(А(к)е-кк + Б(к)вкк) — являются решениями уравнения (8), а подсчет вычетов в (11) осуществляется аналогично первой задаче.
Расчеты гидродинамических воздействий на цилиндр проводились при значениях характеристик среды, соответствующих реальным условиям моря. Так, плотность в верхнем слое р1 = 1024 кг/м3, а перепады плотности между верхним и нижним сло-
Р? Р?
ями — = {1.01; 1.10}, второе значение — соответ-
Р1 Р1
ствует наличию мутьевого потока в нижнем слое. Общая глубина потока Н0 = Н + Н1 = 50 м, толщина верхнего слоя Н = 40 м, радиус цилиндра Я = = 0.71 м. Диполь был последовательно локализо-
ван на расстояниях к( = {1.5, 2, 3, 4.5 м} от границы раздела слоев жидкости.
Результаты вычисления волнового сопротивления X и подъемной силы У(в расчете на погонный метр длины цилиндра) в зависимости от скорости набегающего потока Vприведены на рис. 1, 2. На каждом графике представлены четыре кривые, соответствующие разным расстояниям к, и, как видно на рисунках, увеличение к1 приводит к уменьшению максимума сопротивления и подъемной силы (причем значительно).
Привлекает внимание существенное влияние мощности скачка плотности б на изменение величины максимума волнового сопротивления и подъемной силы. Так, сравнение графиков, представленных на рис. 1, 2 и построенных для двух различных значений мощности скачка плотности 6, показывает, что такие изменения практически прямо пропорциональны величине 6, при этом сами максимумы смещаются в сторону увеличения скорости потока при удалении цилиндра от слоя скачка. В то же время расчеты показали, что величина X и величина У практически не зависят от толщины слоев потока Н]. Таким образом, мощность скачка плотности 6 и расстояние от моделирующего цилиндр диполя до скачка плотно-
ВОЛНОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ ВЗВЕСЕНЕСУЩЕГО ПОТОКА
227
сти hi являются основными параметрами задачи, их вариации могут приводить к существенным изменениям гидродинамических реакций на обтекаемое препятствие.
Отметим, что при скоростях обтекания, больших
критической скорости У^ , волновое сопротивление X( V) испытывает разрыв первого рода, резко уменьшаясь практически до нуля. Затем оно вновь достигает значимых величин лишь при существенно больших значениях V > 4 м/с, т.е. при скоростях течения, не свойственных реальным условиям моря. В то же время само значение критической скорости возрастает при увеличении мощности слоя скачка плотности б,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.