ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2014, том 52, № 5, с. 704-709
= ТЕПЛОМАССООБМЕН И ФИЗИЧЕСКАЯ ГАЗОДИНАМИКА
УДК 536.21;27.35;25
ВОЛНОВОЙ ТЕПЛОПЕРЕНОС В АНИЗОТРОПНОМ ПРОСТРАНСТВЕ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ © 2014 г. В. Ф. Формалев, Л. Н. Рабинский
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), г. Москва
E-mail: formalev38@yandex.ru Поступила в редакцию 18.12.2013 г.
В статье впервые получено аналитическое решение задачи теплопереноса в анизотропном пространстве, компоненты тензора теплопроводности которого зависят от температуры. Теплоперенос инициирован импульсным точечным источником тепловой энергии. Оказалось, что теплоперенос носит волновой характер с конечной скоростью распространения фронта тепловой волны, хотя уравнение теплопроводности имеет параболический тип. Исследованы случаи различных степенных зависимостей компонентов тензора теплопроводности от температуры, показано, что фронты тепловых волн имеют вид эллипсоидов в пространстве и эллипсов на плоскости. Результаты могут быть использованы при исследовании теплообмена в композиционных материалах при их лазерном облучении.
DOI: 10.7868/S0040364414050056
ВВЕДЕНИЕ
При взаимодействии мощных излучений с поверхностями, ограничивающими анизотропные тела, теплофизические характеристики которых зависят от температуры, тепловые потоки и температурные поля могут распространяться с конечной скоростью, даже если теплоперенос описывается на основе гипотезы Фурье [1]. Этот анализ актуален при взаимодействии импульсных излучений с тепловой защитой гиперзвуковых летательных аппаратов, изготовленной из слоистых композиционных материалов, поскольку уровень температур в зоне взаимодействия может быть существенно занижен, а на периферии — завышен. Аналогичную проблему можно наблюдать при возникновении импульсного источника тепловой энергии внутри тела за счет различных физико-химических превращений.
Для изучения теплопереноса в анизотропных средах, теплофизические характеристики которых являются функциями в виде однородных многочленов температуры, в данной работе поставлена и аналитически решена задача о тепло-переносе в нелинейном анизотропном пространстве при воздействии на него импульсного источника тепловой энергии.
Предположение о волновом характере тепло-переноса с конечной скоростью распространения фронта теплового потока и температуры из-за нелинейности теплофизических характеристик полностью подтвердились, причем аналитический характер решения позволяет не только качественно, но и количественно исследовать волновой теплоперенос.
Аналогичные явления исследовались большим числом авторов как отечественных (Самарский А.А. [1], Зарубин В.С. [2], Карташов Э.М. [3], Лыков А.В. [4], Формалев В.Ф. [5, 6] и др.), так и зарубежных (Карслоу Г. и Егер Д. [7]), однако аналитическое решение нелинейной задачи теплопроводности в анизотропном пространстве получено впервые.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается задача о нестационарном распределении температур T (x, y, z, t) в трехмерном анизотропном пространстве V от мгновенного точечного источника с энергией E0, приложенного в начале координат x = 0, y = 0, z = 0 в начальный момент времени t = 0, т.е. следующая задача Коши:
{x, y, z} е (-да; да), t > 0,
Е (X, у, г, 0) = Е05 (X - 0) 5 (у - 0) 5 (г - 0), (2)
где 5 (х - 0), 5 (у - 0), 5 (г - 0) — дельта-функции Дирака, Е0 — импульсная энергия, причем интеграл по пространственным переменным от рас-
пределения температур, инициированного этой энергией, есть величина постоянная
Ф
jJjY (x, y, z, t) dxdydz = —0 = const, (3)
откуда начальное условие можно определить следующим образом
ШT (x, y, z, t) dxdydz = — = const. (4)
JJJ cp
V
Таким образом, вместо начального условия (2) рассматривается условие (4), поэтому решение задачи (1), (4) будет зависеть от —0/ cp.
Компоненты тензора теплопроводности в уравнении (1) определяются соотношениями [6]
Xxx (T) = X% (T) alx + Xп (T) ащ + Xz (T) аZx, X xy (T) = Xyx (T) = X k (T) a ^а,^ + + X n (T) a nxa ny
+ X c (T) a Z xa Zy, Xxz (T) = Xzx (T) = X$ (T) a^z +
+ X n (T) a nxa nz + X z (T) a Zxa zz, (5)
Xyy (T) = XI (T) al + Xп (T) aly + XZ (T) a Xyz (T) = Xzy (T) = X % (T) a%ya%z + + X n (T) a nya nz
+ Xz (T)a Zya Zz,
Xzz (T) = X£ (T) ai;z + Xn (T) anz + (T)aCz, где главные компоненты тензора теплопроводности зависят от температуры следующим образом:
X^ = kfTXn = knTX^ = k(T°
(6)
= a ^x + a^y + a ^z, П = a^x + a^y + a ^z,
z = a Zxx + a ОуУ + aZzz.
(7)
Поскольку матрица линейного преобразования (7) невырожденна и ортогональна, то обратная матрица совпадает с транспонированной, вследствие чего из соотношений (7) получаем обратное преобразование
х = а ^ + а пХП + аСхС, у = а^ + а Цуц +
г = а ^ % + а + асг С-Подстановка преобразования (7) в задачу (1), (3), (4) приводит к задаче для уравнения, не содержащего смешанных дифференциальных операторов:
dT д cp— = —
dt д^
ktT a dT
.д.
дп
kT a +
. П дпу дС
kzT a
. Z дС
(8)
{п,Z}e (-да;да), t > 0;
\\\т ft
, П, Z, t )d^dndZ = —0 = const. cP
V
Перейдем к новой системе координат
x (Цк%)V2, x2 =n (L/kn f,
x3 =Z (L/k, f, где L — любое (например, L = 1), и получим из (8), (9)
dT = aMTa dT V
(9)
(10)
а ay, i = {£,,n, Z}, J = {x, y, z} — направляющие косинусы углов между главными осями Ot,, Ox\, OZ тензора теплопроводности и осями Ox, Oy, Oz прямоугольной декартовой системы координат; k = const, кц = const, к^ = const.
Необходимо найти нестационарное распределение температур T (x, y, z, t) под действием точечного источника (4), приложенного в точке с координатами x = 0, y = 0, z = 0 в начальный момент t = 0, причем в остальн^тх точках пространства в соответствии с условием (2) температура равна нулю.
МЕТОД РЕШЕНИЯ
Используем линейное преобразование поворота вокруг начала координат декартовой прямоугольной системы координат до совпадения с главными осями тензора теплопроводности, определяемое соотношениями
dt
dx1 ^ dx1
+ a^Ta dT] + a^Ta dT
dx2 ^ dx2 J dx3 ^ dx3 {x1,x2,x3} e (-да;да), t > 0;
(11)
ffi jjjjT(x1,x2,x3,t)dx1dx2dx3 = —0. (12)
Здесь а = Ь/ер.
Будем искать решение задачи (11), (12) в автомодельном виде
Т ((, х 2, хз, {) = ? а0 (^1, д2, д3), (13)
где
x1 x2 x3
q1 , q2 = "r , q3 = ~R .
tв tв tв
(14)
В выражениях (13), (14) показатели степеней а и в определим подстановкой (13), (14) в задачу (11), (12) и получим
. а-1
а0 (1, q2, q3 )-р|91 + q2 ^ + q3 ^
dq dq2 dq3 JA
= ta(c+1)-2pa
A
dq1
г 50
dq1
..JL
dq2
г 50 | + _5_|
dq2 J dq3 \
(15)
50
dq3
706
ФОРМАЛЕВ, РАБИНСКИИ
t
а+3в
Jkfjcnkz
L
3/2
[[[в (#1, «2, #3 = (16)
JJJ cp
Из уравнений (15), (16) формируются следующие два соотношения для определения а и в:
а-1 = а (а +1) - 2р, а + 3р = 0,
откуда
а
-3 , в= 1
3а + 2
3а + 2
(17)
d#i ^ d#i) д#2 ^ д#2) д#3 { д#3
+ (#1 + #2 ^ + #3 Щ + 0 = 0,
3а + 2 ^ д#1 д#2 д#3) 3а + 2 Vkknkg rrr^ ч , , , E
(18)
L
3/2
fife (#1, #2, #3 )d#1d#2dq3 = (19)
JJJ cp
Пусть функция 0 (#1, #2, #3) центрально симметрична, т.е. зависит от одной координаты r сферической системы координат
#1 = r cos у cos 5, r =
/#12 + #2 + #32,
#3 = r sin y, y = arcsin
#2 = r cos y sin 5, 5 = arctg —,
#1
#3
(20)
Л
2 2 2 #1 + #2 + #3
Тогда задача (18), (19) трансформируется в следующую задачу Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения:
(r20а d0) + —^^ + _L_0 = 0, (21)
4п
■y/k^k^kg
\r 2е (r) dr = (22)
J cn
L2 J cp
При переходе к сферической системе координат (20) интеграл (19) по переменной 8 равен 2я,
по переменной у — двум, а якобиан равен r2 cos у.
Поскольку функция 0 (#1, #2, #3) является центрально симметричной и трансформируется в функцию 0 (r), то для уравнения (21) должно выполняться условие симметрии
0СТ0' (0) = 0.
(23)
Таким образом, задача (21), (22) для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения (21) представляется в виде
(r 20а0')'
+ -
1 /А..3
(0r3)' = 0,
4п
а (3а + 2) VkpS Jr 2е (r )dr =
(24)
(25)
(26)
С учетом (17) задача (15), (16) преобразуется к следующему стационарному виду:
0°0' (0) = 0. Первый интеграл уравнения (24) будет
г 20ст0' +-1-г 30 = С1,
а (3а + 2) 1
причем в силу условия симметрии (26) при г = 0 постоянная интегрирования С1 равна нулю. Следовательно,
r 20ст0' +-1-r 30 = 0;
¡(3а + 2)
4кЩ& Гr2е(r)dr = ^ L' ^ cp
(27)
(28)
Уравнение (27) — нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид
0 (r) =
\1/ °
or
2а (3o + 2) 2а (3o + 2)
(29)
В нем постоянная интегрирования определя-
ется выражением
а r02 может быть
2а (3а + 2)
определена из условия постоянства энергии (28). Из него с учетом (29) находим
V/ °
4п
Vkiknkc
L
3/2
2а (3а + 2)
fr2 (r02 -r2)а dr = =0) J v ; cp
где г е [0;г>].
Интеграл в левой части выражения (30) вычисляется в квадратурах, для чего преобразуем его к
виду (г изменяется от 0/г0 = 0 до г0/г0 = 1)
АпЩКf ll
12 r
1 -
2а (3а + 2)
2Л1/ а
d
1 а 3ст+2
(31)
cp
r
2
r
0
0
0
В соответствии с [8] имеем
V^ (1 - *2) = Г( + 1)Г(т + У2 ,
^ 1 ' 2Г (р + (т + 3)2)
{р + 1, т + 1} > 0, где Г (я) — гамма-функция, р = 1/ а, т = 2
!(Е>) =
'№/ер) Ь3'2 Г2а (3а + 2)а , 4п '
(32)
2а 3а+2
(33)
(3ст + 2)(ст + 2) Г ((ст + 2)/2ст) Х ^ Г (1/ ст) _
Выражения (29) и (33) определяют решение задачи Коши (24)—(26) и через (13) — решение (11), упр°щая выражение (32) и подставляя его в (12). Возвращаясь к декартовым координатам,
получаем решение исходной задачи (1), (2)
(31), получим постоянную г0
Т (х, у,тг ) = ^(щ
(а ^х + а ^у + а ^т) у + (х + а ЦуУ + а^г) Ь + (х + а^у + а ^УЬ
_^_кп__'
2
2г3-+2
2а (3а + 2) 2 Ь
V -
\2 Ь'
Го -"
(34)
Здесь г0 определяется выражением (33). Из решения (34) видно, что если выражение в квадратных скобках равно нулю, то поверхность второго порядка
' (Ео) =
(а + а ¡¿уУ + а ¡¡гг )2
? К
v ь
(а
цх■
х + а Цуу + а Цгг) (а ^х + а^у + а )
г 1 Л2 ( 1 ¡ТТЛ2
(35)
3с+2
3а+2 \2К
определяет подвижный фронт, разделяющий область с ненулевой температурой и остальную часть пространства с нулевой температурой. Из
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.