научная статья по теме ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ ПРИ УДАРЕ ЗАТУПЛЕННЫМ ТВЕРДЫМ ТЕЛОМ Механика

Текст научной статьи на тему «ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ ПРИ УДАРЕ ЗАТУПЛЕННЫМ ТВЕРДЫМ ТЕЛОМ»

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2011

УДК 539.3

© 2011 г. В.Д. КУБЕНКО

ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ ПРИ УДАРЕ ЗАТУПЛЕННЫМ ТВЕРДЫМ ТЕЛОМ

Рассматривается задача нестационарного деформирования упругой полуплоскости, в поверхность которой в некоторый начальный момент времени вдавливается тупое твердое тело, обусловливающее возникновение расходящихся нестационарных упругих волн и деформирование среды. Формулируется соответствующая начально-краевая задача, решение которой строится для раннего этапа взаимодействия. Применяются интегральные преобразования Лапласа по временной переменной и Фурье по одной из пространственных переменных. Получено решение задачи в изображениях и построено формальное решение в оригиналах. Для тела с фиксированной областью контакта в аналитическом виде получено выражение для нормального напряжения в произвольной точке полуплоскости как функции времени. Для тела в виде тупого клина аналитическое выражение для нормального напряжения и перемещения получены для произвольной точки на оси симметрии задачи. На основе выполненных вычислений проанализированы особенности распространения волн в среде в зависимости от времени, расстояния от поверхности, механических свойств материала.

Ключевые слова: напряженно-деформированное состояние, нестационарное вдавливание, плоская задача, интегральные преобразования, упругая полуплоскость.

1. Введение. Исследования нестационарных процессов в рамках контактной задачи теории упругости достаточно интенсивно развивается благодаря своей практической актуальности, особенностям физического процесса и интересным особенностям поиска решений соответствующих краевых задач. Современное состояние вопроса освещено в частности в обобщающих публикациях [1—3]. В общем случае задача удара тела об упругую среду или элемент конструкции формулируется как нестационарная смешанная начально-краевая задача теории упругости с неизвестной изменяющейся во времени границей. Последняя определяется в ходе решения задачи. Постановка задачи включает уравнения упругого деформирования ударяемого тела, уравнение движения ударника, соотношение, представляющее силу ударного взаимодействия ударника и упругого тела как функцию неизвестной области контакта, уравнение, связывающее величину области контакта с перемещением (прониканием) ударника, граничные и начальные условия. Задача является связанной в некотором смысле с нечетким заданием входных параметров (область задания граничных условий неизвестна), что предопределяет известные трудности ее решения.

При соударении область контакта тел движется по их поверхностям с переменной скоростью, зависящей от формы тел. Для затупленных тел с криволинейной поверхностью существует отрезок времени, в течение которго волновые возмущения в упругом теле не взаимодействуют с его свободной поверхностью и, следовательно, можно произвольным образом распорядиться граничными условиями на ней. Это позволяет по

крайней мере для раннего этапа взаимодействия сформулировать соответствующую несмешанную краевую задачу и тем самым упростить процедуру получения ее решения. С течением времени по причинам, обусловленным геометрией тел, а также вследствие замедления движения ударника, скорость движения границы области контакта снижается до трансзвуковой и далее становится дозвуковой, что приводит к выходу волновых возмущений на поверхность тела вне области контакта и появлению сингулярностей. Особенности решения таких задач для клина изложены, например, в [4]. "Сверхзвуковое" решение, будучи точным на указанном этапе, может служить в качестве оценочного на более продолжительном интервале. Разумеется, следует помнить, что такая упрощенная постановка задачи исключает возможность исследования локальных эффектов в окрестности точки смены граничных условий. Отметим также, что получение аналитических решений таких задач полезно в плане возможности отработки с их помощью различных численных подходов [5].

Данная публикация посвящена построению решения несмешанной плоской задачи об ударе затупленным телом по поверхности упругой полуплоскости в предположении, что на части поверхности полуплоскости, не вступившей в данный момент во взаимодействие с ударником, можно принять упрощенные граничные условия, а именно — отсутствие касательного напряжения и нормального перемещения. Кроме того, при решении конкретных задач считается, что закон движения ударника известен, т.е. фактически рассматривается случай нестационарного вдавливания. Решение задачи построено для двух конкретных случаев формы проникающего тела: ударник конечного поперечного размера; тупой симметричный клин. Для первого случая построено формальное аналитическое решение, позволяющее определить параметры напряженно-деформированного состояния в произвольной точке среды. Во втором случае аналитическое решение получено для точек среды, лежащих на оси симметрии задачи. Используются методы интегральных преобразований.

2. Постановка задачи. Рассматривается жесткое достаточно затупленное тело (ударник), которое в момент времени t = 0 достигает поверхности упругой полуплоскости и начинает внедряться в нее. Вектор скорости ударника перпендикулярен поверхности слоя, его начальная скорость в момент касания равна У0, закон изменения скорости в последующие моменты времени задан функцией У0 ({). Предполагается, что скорость проникания значительно меньше скорости упругих волн в материале полуплоскости, глубины проникания незначительны. Это позволяет формулировать линейную задачу теории упругости, при этом граничные условия задавать на невозмущенной поверхности полуплоскости.

Упругая полуплоскость отнесена к декартовым координатам x, г, так что ось абсцисс направлена вдоль свободной поверхности, ось ординат вглубь (фиг. 1).

Для общности формулировки задачи вводятся безразмерные обозначения

причем ниже черта над обозначениями будет опущена. Здесь Я — характерный линейный размер ударника, ср, с5 — соответственно скорости распространения волн расширения и волн сдвига в материале [6], у — плотность материала, К — его модуль всестороннего сжатия, Сд — компоненты напряженного состояния, w0 — перемещение ударника, отсчитываемое от невозмущенной поверхности , У0 — скорость его движения.

Фиг. 1

Поведение упругой среды описывается волновыми потенциалами Ф и ¥, которые в случае плоской задачи удовлетворяют волновым уравнениям [7]

д!ф + д2ф__1д!ф = 0 + _1д!^ = 0 (21)

я 2 я 2 2 я.2 я 2 д 2 г,2 я.2 0 (2Л)

0х дг а д Г дх дг р дг

и связаны с упругими перемещениями и напряжениями соотношениями

дФ + д¥ , дФ д¥. в2 (г. д2Ф + дд2^,

их + > иг = — -—, ^хг =Р Р— + —у у I (2.2)

дх дг дг дх \ дхдг дг,2 дх

-». = <1 - 2») ^ + 2 Н ^ - ша)

Учитывая, что проникающее тело затупленное, а скорость его движения мала, будем полагать, что в некотором приближении граничные условия задачи можно формулировать на невозмущенной поверхности г = 0. Обозначим через х* (г) переменную абсциссу границы области контакта тела с ударником. В общем случае граничные условия на лицевой поверхности г = 0 состоят в равенстве нормальных к поверхности перемещений упругой среды и ударника в области контакта, отсутствии нормального напряжения агг вне области контакта и в отсутствии касательного напряжения ахг во всей плоскости г = 0 (в предположении отсутствия трения между упругой средой и индентором). Таким образом, граничные условия смешанной граничной задачи имеют вид:

в области контакта

мг|г=0 = ^0 (г), |х| < Iх* (2.3)

вне области контакта

°гг1г=0 = 0, И > И (2.4)

всюду

ахг|г=0 = 0, |х| > 0 (2.5)

Кроме того, необходимо, чтобы в области контакта напряжение агг было сжимающим 0^1^=0 > 0, |х| < |х*|. Начальные условия для волновых потенциалов нулевые:

ф| =5® = Т = £Щ

\г=0 ^ _ т1г=0 Я,

дt

г=0

дt

= 0 (2.6)

г=0

I 22

Наконец, волновые возмущения должны затухать при у х + z ^<х>.

Соотношение, из которого будет определяться граница области контакта, выберем из чисто геометрических соображений как точки пересечения контура проникающего тела и недеформированной поверхности плиты (плоскости г = 0). Если поверхность движущегося тела задать в пространстве переменных г, х, ? уравнением z = Р (г, х), то указанные точки х* (t) — корни уравнения

Р (t, х) = 0 (2.7)

Вместо (2.7) может быть использовано более точное соотношение, учитывающее деформирование поверхности полуплоскости [2]. Наконец, условие (2.3) можно переписать в виде, использующем скорость движения ударника У0 (г):

t

^=0 = \у0 (г) Л, |х| < |х*| (2.8)

0

Соотношения (2.1)—(2.2), (2.4)—(2.8) составляют формулировку начально-краевой задачи взаимодействия упругой полуплоскости и индентора с изменяющейся во времени границей при заданной скорости проникания.

3. Способ решения. Один из способов решения сформулированной смешанной начально-краевой задачи изложен, в частности, в публикации [8]. В цитируемой работе задача сведена к задаче для полуполосы, решение которой ищется как решение бесконечной системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Эта система может быть решена численно путем ее усечения и применения соответствующих квадратур для дискретизации интегральных операторов свертки, формирующих интегральные уравнения.

Как уже было отмечено во введении, существует возможность эффективного решения данной задачи на начальной стадии взаимодействия, для которой можно сформулировать несмешанную задачу. Несмешанная краевая задача получается, если на лицевой поверхности полуплоскости z = 0 вместо условий (2.3), (2.4) задать перемещение в виде

Ч

г=0 = а (г, х), а (г, х) = \н (х* - |х|) (г) Л (3.1)

Здесь Н (х) — единичная функция Хевисайда, Н (х) = <1 х > 0, а х* (г) определяет-

|0, х < 0

(1, х > 0 х < 0,

ся формой передней кромки ударника и скоростью проникания.

Таким образом, согласно (3.1), в данной формулировке скорость деформирования лицевой поверхности полуплоскости вне области контакта равна нулю.

Соотношения (2.1)—(2.2), (2.5)—(2.7), (3.1) составляют постановку несмешанной задачи. Для ее решения применим интегральное преобразование Лапласа по времени с параметром 5 и интегральное преобраз

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком