МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 4 • 2015
УДК 532.59:550.349.2
ВОЛНЫ ФАРАДЕЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ СОСУДЕ С ЛОКАЛЬНЫМИ НЕРЕГУЛЯРНОСТЯМИ ДНА
© 2015 г. В. А. КАЛИНИЧЕНКО*, С. В. НЕСТЕРОВ*, А. Н. СО**
* Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва ** МГТУим. Н.Э. Баумана, Москва e-mail: kalin@ipmnet.ru, gavrikov@ipmnet.ru, kalarlay@mail.ru
Поступила в редакцию 03.02.2015 г.
Представлены результаты лабораторных экспериментов по оценке влияния топографии дна на частоты и формы стоячих поверхностных волн в прямоугольном сосуде, колеблющемся в вертикальном направлении. Детально рассмотрен эффект одного и двух возвышений на горизонтальном дне и линейной отмели. Экспериментально исследовано смещение резонансной зависимости при изменении положения препятствия на линейном наклонном дне. Для интерпретации данных эксперимента использована основанная на методе ускоренной сходимости математическая модель сейш в случае резкого возвышения.
Ключевые слова: стоячие поверхностные волны, сейши, топография дна, метод ускоренной сходимости, резонансная зависимость, частотный сдвиг.
Изучение собственных колебаний жидкости в форме длинных стоячих поверхностных волн или сейш в озерах, внутренних морях и заливах имеет большое значение для решения ряда фундаментальных гидродинамических и многих прикладных задач [1—4]. Основными характеристиками сейш являются собственные частоты и формы низших мод колебаний, оценки которых затруднены из-за нерегулярности береговой линии и сложной топографии дна естественных водоемов.
В обзоре [4] указаны те немногие геометрические формы водоемов, для которых в рамках классической теории волновых движений жидкости ограниченного объема получены решения для сейшевых колебаний. При оценке периода двумерных сейш в водоеме прямоугольной формы и постоянной глубины часто используется формула Мериана [2, 5]
T„ = 2 n/rn„ = 2l/(njgh0)
где Tn и юп — период и частота волновой моды номера n; n — число узлов стоячей поверхностной волны (сейши); l и h0 — длина и глубина бассейна; g — ускорение силы тяжести. Однако погрешности расчета Tn возрастают до 25% при резком нарушении условия постоянства ширины d = d0 и (или) площади S = S0 = h0d0 поперечного сечения бассейна [2, 3, 6].
Из-за сложной геометрии прибрежной линии и дна для реальных водоемов отсутствуют теоретические оценки периодов и положения узловых линий сейш. Для их нахождения в лимнологии используются различные расчетные методы и схемы [2]. Наиболее продуктивный из них — метод Дефанта, в деталях описанный в [7]. Именно с его помощью проведен анализ первых четырех продольных сейшевых мод оз. Байкал [8].
I = 50 см
Фиг. 1. Стоячие волны в канале с различной топографией дна: а — два возвышения; б — возвышение на линейной отмели
Настоящая статья — логическое продолжение опубликованных ранее результатов авторов [9]. Тема исследований также связана с решением практических задач авиационно-космической техники, транспортировки нефтепродуктов морским и наземным транспортом [10—12].
1. Постановка задачи и методы. Взаимодействие длинных поверхностных волн в прямоугольном сосуде с препятствиями на дне исследовалось посредством лабораторного эксперимента, для интерпретации результатов которого использовалась численно-аналитическая модель сейш.
В приближении длинных волн рассмотрена задача о собственных колебаниях тяжелой идеальной несжимаемой жидкости в протяженном канале переменной глубины. Дно канала содержит участки изменения глубины жидкости Н(х) различного вида — фиг. 1.
1. Эксперимент. Для моделирования сейшевых колебаний воды над локальными нерегулярностями дна применялась первая и вторая моды (п = 1, 2) гравитационных стоячих волн на свободной поверхности жидкости в прямоугольном сосуде размерами 50 х 4 х 40 см, совершающем гармонические колебания в вертикальном направлении [9, 13]. Возбуждение волн осуществлялось при основном резонансе Фарадея, когда частота возбуждаемых волн в 2 раза меньше частоты колебаний сосуда ю ~ 0/2. При фиксированной амплитуде колебаний сосуда 5 = 1.1 и 2.5 см вариации ^ обеспечивали изменения высоты волны Н от 0.5 до 2 см. Глубина жидкости во всех экспериментах составляла Н0 = 7 см, что при длинах волны А = 50 и 100 см первых двух мод п =1, 2 определяло значения Н0 /X = 0.14 и 0.07, соответственно. Для регистрации волновых движений жидкости использовалась видеосъемка со скоростями 15 и 30 к/с в системе отсчета, связанной с колеблющимся сосудом. Измерения периода колебаний сосуда проводились с точностью до 2 мс.
Для выявления эффекта рельефа дна на волны в эксперименте использовались возвышения различных размера и формы (фиг. 2), изготовленные из 1 мм листовой меди (1, 2) и технического пластилина (3, 4). Поскольку исследовались двумерные колебания жидкости, то все препятствия имели фиксированный поперечный размер 3.9 см и по ширине перекрывали сосуд. Их относительная высота составляла Н1тах/Н0 = 0.8, 0.5, 0.37, 0.23. На фиг. 2 показаны использованные в экспериментах возвышения и графики аппроксимирующих их функций.
В опытах для выявления эффекта резкого изменения донного рельефа на свойства длинных стоячих волн оценивалась их частота и строились резонансные зависимости
0
y/ho -0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
0
1 1
- 2 -
- [ 3 -
_ 4 Л _
V - l ;
0.2
0.4
0.6
0.8 x/l 1.0
Фиг. 2. Форма четырех возвышений; показаны результаты оцифровки их профиля и
-В * (х -х 44
соответствующие графики функций И1(х - х0)/И0 = -1 + А*.е ( 04 : 1—4 — Ь\тах = = 5.6, 3.5, 2.6, 1.6 см; И0 = 7 см
H(Q) при изменении положения препятствия. Для минимизации нелинейных эффектов измерения проводились при малой крутизне возбуждаемых волн Г = H/X < 0.04.
2. Численно-аналитический метод. При формулировке задачи о собственных колебаниях тяжелой идеальной несжимаемой жидкости в протяженном водоеме (канале) [ 1 ] предполагается, что его переменное прямоугольное сечение ортогонально оси x (фиг. 1) и имеет площадь
S = S(x) = dh(x), 0 < x < l,
Здесь d = const — постоянная ширина канала, h(x) — глубина, отсчитываемая от верхнего уровня покоящейся жидкости; соответствующая система координат (x,y) показана на фиг. 1.
Дно канала может содержать участки резкого изменения (возвышения или углубления), которые должны быть адекватно описаны соответствующими зависимостями h(x). Канал (водоем) предполагается достаточно мелким, что в реальных условиях для определения давления p внутри жидкости позволяет использовать гидростатическое приближение
p(x, t) = p0 + gp(n - y), П ^ У ^ -h(x)
p(x, t) = po, n^ У (1.1)
Здесь n = n(x, t) — возвышение жидкости, p — плотность жидкости, y — вертикальная координата, p0 — постоянное атмосферное давление.
Из соотношения (1.1) находится выражение для градиента давления
dp дп
-Г = ЯРт-1, П^ У
dx dx
dp - 0, y > n (1.2)
dx
Отсюда следует, что частицы жидкости в каждый момент времени t остаются в сечении x. Горизонтальная компонента u вектора скорости — функция x, t. Из уравнений Эйлера в линейном приближении следует [1]
du = ~g дг <L3>
dt дх
Отметим, что при выводе уравнения (1.3) использовано выражение (1.2) для др/дх.
Соответствующее уравнение неразрывности принимает вид [1]
дц = _тх}и) t > to>0 < х < l (1.4)
dt дх
Исключив стандартным образом неизвестную и из (1.3) и (1.4), уравнение волновых движений жидкости представляется в виде
Й = g Г (h(x) дЙ (1.5)
dt дх\ дх!
Для решения уравнения (1.5) представляет интерес задача на собственные значения (частоты колебаний жидкости) и собственные функции (профили свободной поверхности) [1—4]. Для волн типа сейш торцы канала х = 0,l ограничиваются жесткими вертикальными стенками, на которых выполняются краевые условия непротекания
(дП)х =0 = (S)х = ■ 0, t ^ ^ <16»
Ищем периодические решения краевой задачи в виде г|(х, t) = W(%)elat. После подстановки в (1.5), (1.6) получим
— (к(х) —) + ^ W = 0, W '(0) = W \l) = 0 (1.7)
dх\ йх / g
Если Н(х) = h), то из (1.7) имеем аналитическое решение, отвечающее соответствующим модам стоячих волн
2 / \ 2
л Ю inn
Л n = —
(у) , W^) = A cos ™х (n = 1,2,3,...)
Для решения задачи в случае локальной нерегулярности Н(х) Ф И на дне воспользуемся высокоточным численно-аналитическим методом ускоренной сходимости [14].
Рассматриваемая краевая задача на собственные значения и функции может быть приведена к виду
— (И(х) ) + ^ nW = 0, W '(0) = W '(1) = 0 (1.8)
—х —х
Здесь х, h — нормированные на l и ho горизонтальная координата и глубина, соответственно. Искомый параметр X n связан с частотой ю соотношением
2,2
Л Ю l I \2
К = -- = (nn) ghj
Для определения собственных значений Xn и функций W^) задачи (1.8) с граничными условиями типа Неймана (второго рода) применим теорию Штурма—Лиувилля и алгоритм ускоренной сходимости [14].
Отметим, что решению нулевой моды отвечают Х0 = 0, W0(х) = const, в частности W^) = 0. Последующие моды колебаний n = 1,2,... требуют высокоточного решения
0
2п ш* 3п 2
п
п
Фиг. 3. Зависимость частоты первой 1 и второй 2 волновых мод от горизонтальной координаты х\ возвышения: I, II — зоны отсутствия возбуждения первой волновой моды, модель и эксперимент, соответственно. Для нормировки хх использовалась длина сосуда I; безразмерная частота определялась как ш* = т„1
краевой задачи на собственные значения Хп и функции Жп и формы Ж* = Жп ||Жп|| 1. Они строятся ниже для используемых в эксперименте локальных неоднородностей, описываемых функциями Н(х) = -1 + /(х - х0).
Алгоритм метода заключается в последовательном уточнении величины Хп на основе невязки е = 1 - Е, (е| ^ 1) « по оси абсцисс для соответствующего п узла £ функции Ж'(х) и известной производной Х'п(£).
Расчету собственных значений Хп или частот юп сопутствует построение функций Жп (х). Эти функции удовлетворяют граничным условиям с требуемой точностью для заданной функции Н(х) = -1 + /(х - х0) и номера моды п [14].
2. Результаты и обсуждение. Рассмотрим сначала влияние двух возвышений на горизонтальном дне сосуда на волновое движение жидкости.
Положения возвышений 1, 2 задавались координатами х1 и х2, при которых опред
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.