АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 1, с. 90-100
ОБРАБОТКА АКУСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК: 534.16
ВОЛНЫ ЛЭМБА В АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИНАХ (ОБЗОР)
© 2014 г. С. В. Кузнецов
Институт проблем механики РАН Москва, 129526, просп. Вернадского, 101 E-mail: kuzn-sergey@yandex.ru Поступила в редакцию 09.03.2013 г.
Анализируются теоретические методы, применяемые для исследования волн Лэмба в анизотропных пластинах. Основное внимание уделяется шестимерному формализму Коши. В замкнутом виде получено решение для определения дисперсионных кривых волн Лэмба в пластинах с произвольной упругой анизотропией.
Ключевые слова: волна Лэмба, анизотропия, дисперсия, формализм Коши DOI: 10.7868/S0320791914010092
ВВЕДЕНИЕ
Ниже дается краткое введение в теорию волн Лэмба, а также приводится обзор некоторых наиболее важных работ по этой тематике.
Волны Лэмба в изотропной пластине
В первых работах [1, 2] по волнам, распространяющимся в бесконечной изотропной пластине со свободными границами, решение было получено в предположении, что длина волны существенно превышает толщину пластины. Полная теория распространения гармонических волн Лэмба, не связанная с длинноволновым приближением, получена в [3]. В этой теории уравнение движения записывалось в виде
д 2
ci;Vdivu - cSrotrotu = —u,
dt
(1)
где u — поле перемещений, а ср и с8 — скорости соответственно продольной и поперечной объемных волн:
Ф (x, t) = Ф' (x) вш, ¥ (x, t) = (x)
Ш
(4)
Подстановка представления (4) в уравнение (1) приводила к двум независимым уравнениям Гельмгольца
А +
ю
Lpy
Ф' = 0,
А +
ю
KS/
¥' = 0.
(5)
Для учета пространственной периодичности и упрощения последующего анализа ниже вводится следующее расщепление пространственных переменных:
(6)
x = (x • n) n + (x • V ) V + (x • w) w,
Ср = с, = н. (2)
V Р \р
В выражениях (2) X и ц — константы Ламе, р — плотность среды. Далее, для поля перемещений использовалось представление поля перемещений в терминах скалярного (Ф) и векторного (¥) потенциалов
и = УФ + го^. (3)
Потенциалы предполагались гармоническими по времени
где п — единичный волновой вектор, V — единичная нормаль к срединной поверхности пластины и w = П X V.
Замечание 1. Для рассматриваемых волн Лэм-бом предполагалось, что поле перемещений не зависит от переменной х • ч. Это предположение позволило ввести скалярные потенциалы ¥ и ¥' в (4) вместо векторных (в действительности, Лэмб рассматривал векторные потенциалы, состоящие из одной ненулевой компоненты • ч) ч).
Следующее допущение относится к пространственной периодичности потенциалов в направлении распространения
Ф'(х) = ф(х")вх\ (х) = у(х")вх\ (7)
где безразмерные координаты х' и х" определяются выражениями
х' = 1гх ■ п, х" = 1гх ■ V. (8)
В (8) I а г — волновое число, связанное с
длинной волны I соотношением
2п I '
r =
(9)
Подстановка представлений (7) в уравнение (5) дает систему несвязанных обыкновенных дифференциальных уравнений
Г 9\ Л Г
,2 d ф
dx'
2Л 1 - ^
cP У
2
d у
V
2
1 - %
cS У
у = 0, (10)
ф = 0, + dx"
где фазовая скорость с связана с частотой и волновым числом соотношением
c = ®.
(11)
Следуя Лэмбу, общее решение уравнений (10) может быть представлено в виде
ф (x") = Ci sh (Yix") + C2ch (Yix"), у (x") = C3 sh (y2x") + C4 ch (y2X"),
где
Yi =|1 -
2Л
2
cP У
1/2
Y 2
2 У/2
1 -
2
cS У
(12)
(13)
(хДФ' I + 2ц (УУФ' + 2
(VrotT' + (Vrot Y')))) • v = 0, x • v = ±h
th (y
th (Y1rh)
i л ^
' 4Y1Y 2
2Ч 2
= 0.
(16)
1 =
4Y1Y 2 Д + Y 2)2,
(17)
Анализ уравнения (16) при гк ^ 0 (длинноволновый предел) приводит к уравнению [5]
Y2 = Y1
4Y1Y 2 Д + Y 2)2.
(19)
откуда удается определить две предельные скорости
^2,lim
= 2cs
1 - 4
I cp
-3,lim
4S-
(20)
(21)
Неизвестные коэффициенты в (12) определяются (с точностью до множителя) из граничных условий на свободных поверхностях пластины
1 у = (Мг (Уи)1 + ц (Уи + Уи')) • V = 0, х • V = ±к,(14)
где 2к — толщина пластины. Подстановка представления (3) в граничные условия (14) дает граничные условия в терминах потенциалов ф" и у":
(15)
Подстановка решений (12) в уравнение (15) при учете Замечания 1 дает дисперсионное уравнение, найденное впервые в [1, 3]:
V (1 + у 2)2
Знак "+" в этом уравнении относится к симметричным, а "—" к антисимметричным модам. Ввиду (11) и (13), полученное дисперсионное уравнение определяет фазовую скорость с как неявную функцию частоты. Уравнения для скоростей, относящихся к длинноволновым и коротковолновым пределам, были найдены в [3].
Переход к коротковолновому пределу гк ^ да в (16) дает
Это уравнение совпадает с вековым уравнением для скорости рэлеевской волны, полученным в [4]. Таким образом, первая предельная скорость совпадает со скоростью волны Рэлея
Cl.lim = Cr. (I8)
Выражение (20) для предельной скорости впервые получено в [1, 2]. Надо отметить, что это выражение отличается от предельной скорости для длинных акустических волн в стержнях.
Дисперсия антисимметричной фундаментальной моды, определяемой по уравнению (16), исследована в [6] с помощью метода возмущений. Исследования по волнам Лэмба в слое, контактирующим с полупространством, рассматривались в [7—10] в связи с геофизическими приложениями. Анализ дисперсионных кривых при различных значениях коэффициента Пуассона (включая отрицательные значения) осуществлялся в [11—13]. В [14] исследовались точки пересечения дисперсионных кривых.
Групповая скорость
Понятие групповой скорости введено Стоксом [15] для описания распространения волнового пакета гравитационных волн в гидродинамике. В [16—18] понятие групповой скорости обобщено на поверхностные волны в теории упругости. Формально групповая скорость может быть определена следующим соотношением:
group d®
dr
Численный анализ [19—25] дисперсии групповой скорости (в основном, при условии Пуассона X = ц) подтвердил гипотезу Рэлея [16, 17] о том, что возможны отрицательные значения групповой скорости при малых значениях волнового числа. Численные эксперименты [25] обнаружили существование более широкого диапазона отрицательных значений групповой скорости при значениях коэффициентах Пуассона, лежащих в интервале 0.31 <v< 0.45. С физической точки зрения групповая скорость определяет скорость распространения пакета гармонических волн, различающихся частотами [25]. Отдельные волны в пакете могут распространяться с различными фазовыми скоростями ввиду дисперсии, однако с точки зрения внешнего наблюдателя существует некоторая скорость, определяющая движение всего пакета. В связи с этим отрицательная групповая скорость определяет собой движение пакета в сторону, противоположную движению отдельных волн.
(22)
10
(a)
ть
с
о р
о к с я а в о п
р
l-ч
Частота, МГц (б)
10
[26]. В соответствии с уравнением (24) условие
сбг°ир < о означает, что обе частные производные в (24) имеют одинаковые знаки; последнее эквивалентно одновременному возрастанию или убыванию (относительно г и ю) функций ¥± (г, ю).
Уравнение (24) позволяет выявить условия, при которых групповая скорость обращается в
нуль. Действительно, условие с ®гоир = 0 означает,
д¥ ± (г, ю)
-1-- = 0 при конечном значении
дг
что либо
dF ± (r, ю) дю
конечном значении
или бесконечное значение dF ± (r, ю)
dF (r, ю) дю
при
dr
Частота, МГц
10
Типичные дисперсионные кривые фазовой и групповой скоростей, определенные для титановой пластины толщиной 1.0 мм, показаны на рис. 1 [27].
На этих графиках обозначения ак отвечают антисимметричным модам, а $к — симметричным. Как следует из приведенных графиков, отрицательная групповая скорость соответствует только симметричной моде что согласуется с результатами [25].
Рис. 1. Типичные дисперсионные кривые волн Лэмба в 1.0 мм титановой пластине [27]: а) фазовая скорость; б) групповая скорость.
Уравнение (16) позволяет получить другие формулы для определения групповой скорости. Например, подставляя фазовую скорость, определяемую по уравнению (11), в выражение (13), обозначая
правую часть уравнения (16) как ¥± (г, ю) и предполагая, что ю является функцией г, получаем при дифференцировании (16) следующее уравнение:
dF1 (r, ю) + dF1 (r, ю) = 0 dr дю dr
(23)
откуда, с помощью (22), вековое уравнение для групповой скорости приобретает вид
dF+ (r, ю) dr
(24)
dF (r, ю) дю
В (24) параметр r рассматривается как функция ю. Еще одно выражение для групповой скорости, которое можно получить из (22), было найдено в [6]:
phase
" (25)
С group _ c Phase _ ^
dc p
dl
где I — длина волны.
Теоретические исследования фазовой, групповой и лучевой скоростей проводились также в
Ортогональность и полнота мод Лэмба
Вообще говоря, распространяющиеся моды волн Лэмба не ортогональны в смысле интегрирования по поперечному разрезу [28]:
к
|и(т)(х) • и(л)(хУх' Ф 0, т Ф п, (26)
где u
(m), U(«)
перемещения, отвечающие различ-
ным модам; х' — безразмерная координата, определенная по (8); 2к — толщина пластины. Однако в [29] была определена обобщенная ортогональность мод Лэмба, основанная на соотношении взаимности Бетти. Следуя [29, 30], это соотношение может быть записано в виде
|(U(m)(x); tv(m)(X)}- H(x') X
(27)
X ((х) гХ(п)(х')]' ийх' = 0, т Ф п,
где И(х') — некоторая 4 х 4 матрица; см. также [31, 32] и [33], где предложен иной метод получения условий обобщенной ортогональности. Условия ортогональности в цилиндрических координатах получены в [34].
Начиная с первых работ по волнам Лэмба в изотропных пластинах [1—4], стало очевидным, что распространяющиеся моды образуют неполную систему функций, главным образом, из-за
0
6
0
h
c
h
наличия частот отсечки; в этой связи см. [35—37]. Проблема полноты обсуждалась также в [33].
На рис. 2 приведен трехмерный график семейства комплексных дисперсионных кривых, отвечающих симметричным модам, см. [5, 35].
График на рис. 2 показывает переход от действительных к комплексным модам при частотах отсечки. Надо отметить, что полнота комплексных мод Лэмба, установленная в [33], является следствием теоремы о полноте системы собственных функций линейного эллиптического оператора в гильбертовом прост
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.