научная статья по теме ВОЛНЫ ЛЭМБА В ЗАЩЕМЛЕННОМ И ЧАСТИЧНО ЗАЩЕМЛЕННОМ УПРУГОМ СЛОЕ Механика

Текст научной статьи на тему «ВОЛНЫ ЛЭМБА В ЗАЩЕМЛЕННОМ И ЧАСТИЧНО ЗАЩЕМЛЕННОМ УПРУГОМ СЛОЕ»

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 1 • 2015

УДК 534.16

© 2015 г. С. В. КУЗНЕЦОВ

ВОЛНЫ ЛЭМБА В ЗАЩЕМЛЕННОМ И ЧАСТИЧНО ЗАЩЕМЛЕННОМ

УПРУГОМ СЛОЕ

Распространение волн Лэмба в анизотропном защемленном и частично защемленном (одна сторона свободна, а другая защемлена) упругом слое осуществляется с помощью шестимерного комплексного формализма Ко-ши. В замкнутом виде получены дисперсионные соотношения для волн Лэмба в защемленном и частично защемленном слое с произвольной упругой анизотропией.

Ключевые слова: волна Лэмба, анизотропия, дисперсия, формализм Ко-ши.

1. Введение. 1.1. Волны Лэмба в изотропном слое. В первых работах [1, 2] по волнам, распространяющимся в бесконечной изотропной пластине со свободными границами, решение получено в предположении о длине волны существенно превышающей толщину пластины.

Полная теория о распространении гармонических волн Лэмба, свободная от длинноволнового приближения, построена в [3], где рассматривалось уравнение движения в виде

ср УШуи - ср гс^гоШ = д 2и/ дг2 (1.1)

где и — поле перемещений, а Ср и с5 — скорости соответственно продольной и поперечной объемных волн:

ср С8 =/ (1.2)

Р

В выражениях (1.2) а и ^ — константы Ламе, р — плотность. Далее, для поля перемещений использовалось представление в терминах скалярного (Ф) и векторного (¥) потенциалов

и = УФ + го^ (1.3)

В [3] потенциалы предполагались гармоническими по времени

Ф (х, г) = Ф' (х)вш, ¥ (х, г) = (х)вш (1.4)

Подстановка представлений (1.4) в уравнение (1.1) дает два независимых уравнения Гельмгольца

( 2 Л Г

А + ®г |ф' = 0,

ср )

2

А + ю_ | у = о (1.5)

С2

Для учета пространственной периодичности и упрощения последующего анализа, ниже, по аналогии с [3] вводится расщепление пространственных переменных

x = (x • n) n + (x • v) V + (x • w) w

(1.6)

где n — единичный волновой вектор, v — единичная нормаль к срединной поверхности пластины и w = n х v.

Замечание 1. Лэмбом предполагалось, что поле перемещений не зависит от переменной x ■ w. Это предположение позволило ввести скалярные потенциалы ¥ и ¥' в (1.4) вместо векторных потенциалов (в действительности, Лэмб рассматривал векторные потенциалы, состоящие из одной ненулевой компоненты • w) w).

Следующее допущение относится к пространственной периодичности потенциалов в направлении распространения

Ф' (x) = ф (x' ')ex', У' (x) = у (x' ')ex' (1.7)

где безразмерные координаты x' и x" определяются выражениями

x' = irx ■ n, x'' = irx ■ v (1.8)

В (1.8) i = -J-1, а r — волновое число, связанное с длинной волны l соотношением

r = 2я/1 (1.9)

Подстановка представлений (1.7) в уравнение (1.5) дает систему несвязанных обыкновенных дифференциальных уравнений

d ф

dx

(

,2

1 -

с21 n dV - |ф =0,

cP) dx

1 -

"2 ;v =0 cS )

(1.10)

В уравнениях (1.10) фазовая скорость с связана с частотой и волновым числом соотношением

с = ю/ г

Следуя Лэмбу, общее решение уравнений (1.10) представим в виде

ф (х ") = Сх (ухх ") + С2 еИ (ухх "), у (х ") = С3 (у2х ") + С4 еИ (у2х ") где

(

Yi =

2 у/2

1

Ср.

(

Y 2 =

л1/2

1 -

(1.11) (1.12)

(1.13)

Неизвестные коэффициенты в (1.12) определяются (с точностью до множителя) из граничных условий на свободных поверхностях пластины

tv = (Xtr (Vu)I + ^(Vu + Vu')) • v = 0, x • v = ±h

(1.14)

где 2Н — толщина пластины. Подстановка представления (1.3) в граничные условия (1.14) дает уравнения в терминах потенциалов ф'' и у'

(ХДФ' I + 2ц(УУФ' + 1/2 (Vroty + (rot¥')'))) • v = 0, x • v = ±h

(1.15)

Наконец, подстановка решений (1.12) в уравнение (1.15) при учете замечания 1, дает искомое дисперсионное уравнение [3]:

4 Механика твердого тела, № 1

97

th (y irh) г л±1

th(Y1rh)

(14y% i = 0 (1.16)

.(1 + y 2)

Знак "+" в этом уравнении относится к симметричным, а "—" к антисимметричным модам. Ввиду (1.11) и (1.13), полученное дисперсионное уравнение определяет фазовую скорость с как неявную функцию частоты. Уравнения для скоростей, относящихся к длинноволновым и коротковолновым пределам, также были найдены в [3].

Переход к коротковолновому пределу гк ^ да в (1.16) дает

1 =

i (1.17)

.(1 + y 2)2

Это уравнение совпадает с разрешающим уравнением для скорости рэлеевской волны, полученным в [4]. Следуя [3], эта скорость называется первой предельной скоростью; она совпадает со скоростью волны Рэлея

C1,lim = Cr (1.18)

Анализ уравнения (1.16) при rh ^ 0 (длинноволновый предел) приводит к следующему уравнению [5]:

y2 y1

.(1 + y 2)2

iYlY^i (1.19)

откуда удается определить две предельных скорости

С2,цт = 2с^ 1 - ^ (1.20)

Сз,11ш = сз (1.21)

По-видимому, выражение (1.20) для второй предельной скорости, впервые получено в [1, 2].

Дисперсия антисимметричной фундаментальной моды, определяемой по уравнению (1.16), исследована в [6] с помощью метода возмущений. Волны Лэмба в слое, контактирующим с полупространством, рассматривались в [7—10] в связи с геофизическими приложениями. Анализ дисперсионных кривых при различных значениях коэффициента Пуассона (включая отрицательные значения) осуществлялся в [11—13]. В [14] было обнаружено, что дисперсионные кривые могут иметь точки пересечения.

1.2. Групповая скорость. Понятие групповой скорости введено Стоксом [15] для описания распространения волнового пакета гравитационных волн в гидродинамике. В [16—18] понятие групповой скорости обобщено на поверхностные волны в теории упругости. Формально групповая скорость может быть определена следующим соотношением

Cg

= d ю/ dr (1.22)

Численный анализ [19—25] дисперсии групповой скорости (в основном при условии Пуассона X = ц) подтвердил гипотезу Рэлея [16, 17] о том, что возможны отрицательные значения групповой скорости при малых значениях волнового числа. Численные эксперименты [25] обнаружили существование более широкого диапазона отрицательных значений групповой скорости при значениях коэффициентах Пуассона, лежащих в интервале 0.31 < V < 0.45. С физической точки зрения, групповая скорость

определяет скорость распространения пакета гармонических волн, отличающихся частотами [25]. Отдельные волны в пакете могут распространяться с различными фазовыми скоростями ввиду дисперсии, однако, с точки зрения внешнего наблюдателя, существует некоторая скорость, определяющая движение всего пакета. В связи с этим, отрицательная групповая скорость определяет собой движение пакета в сторону противоположную движению отдельных волн.

Уравнение (1.16) позволяет получить другие формулы для определения групповой скорости. Например, подставляя фазовую скорость, определяемую по уравнению (1.11) в

выражение (1.13), обозначая правую часть уравнения (1.16) как (г, ю), и предполагая, что ш является функцией г, получаем при дифференцировании (1.16) следующее уравнение

дЖ± ю) + дР± (г, 0

дг дю йг

Откуда с помощью (1.22) разрешающее уравнение для групповой скорости приобретает вид

с дг ±(г, ю)/дг дг (г, ю))дю

В (1.24) параметр г рассматривается как функция ю. Еще одно выражение для групповой скорости, которое можно получить из (1.22), было найдено в [6]:

йСрЬ

Се1 = СрЬ -(1.25) а/

где / — длина волны.

Теоретические исследования фазовой, групповой и лучевой скоростей проводились также в [26]. В соответствии с уравнением (1.24), условие еёТ < 0 означает, что обе частных производных в (1.24) имеют одинаковые знаки; последнее эквивалентно одновременному возрастанию или убыванию (относительно г и ш ) функций Р± (г, ю).

Уравнение (1.24) позволяет выявить условия, при которых групповая скорость обращается в нуль. Действительно, условие = 0 означает, что либо дЖ± (г, ю)/дг = 0 при конечном значении дЖ± (г, ю)/дю, или бесконечное значение дЖ± (г, ю)/дю при

конечном значении дЖ± (г, ю)/дг. Поведение дисперсионных кривых для фазовой и групповой скоростей исследовалось в [27].

1.3. Ортогональность и полнота мод Лэмба. Вообще говоря, распространяющиеся моды волн Лэмба не ортогональны в смысле интегрирования по поперечному разрезу [28]:

н

Iи(т)(х') • и(п)(х')йх' * 0, т * п (1.26)

где и(т), и(п) — перемещения, отвечающие различным модам; х' — безразмерная координата, определенная по (1.8); 2Н — толщина пластины. Однако, в [29] была определена (обобщенная) ортогональность мод Лэмба, основанная на соотношении взаимности Бетти. Следуя [29, 30], это соотношение может быть записано в виде

4* 99

I(И(т)(х');Iу(т)(х')) • Н(х') • (и(в)(х'); 1 ч(п)(х'))'ийХ = 0, т ± п (1.27)

где Н(х') — некоторая 4 х 4 матрица; см. также [31, 32] и [33], где предложен иной метод получения условий обобщенной ортогональности. Условия ортогональности в цилиндрических координатах получены [34].

Начиная с первых работ по волнам Лэмба в изотропных пластинах [1—4], стало очевидным, что распространяющиеся моды образуют неполную систему функций, главным образом из-за наличия частот отсечки; в этой связи см. [35—37]. Проблема полноты обсуждалась также в [33]. Надо отметить, что полнота комплексных мод Лэмба, установленная в [33], является следствием теоремы о полноте системы собственных функций линейного эллиптического оператора в гильбертовом пространстве [38, 39]. Вопросы суперпозиции нераспространяющихся (затухающих в направлении распространения) мод с фундаментальной модой 50 исследовались в [40].

Наконец, проблема устойчивости мод Лэмба изучалась в [41]. Эта проблема связана с доказательством отсутствия нераспространяющихся мод, отвечающих волновым числам с отрицательными мнимыми частями. Последнее обеспечивает отсутствие мод Лэмба экспоненциально растущих с возрастанием частоты.

1.4. Анизотропные пластины, трехмерный формализм. В первых работах по теоретическим исследованиям распространения волн Лэмба в анизотропных пластинах применялся трехмерный формализм. Вначале, этот формализм применялся для анализа волн Рэлея в трансверсально изотропном полупространстве [42]; в дальнейшем этот подход был распространен на другие виды упругой анизотропии [43—47]. Далее, с небольшими видоизменениями подход [42] применялся к анализу волн Лэмба в анизотропных пластинах [48—58].

В этих работах, за исключением [48], где рассматривался более сложный случай цилиндрической анизотропии, использовалось следую

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Механика»