МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 3 • 2015
УДК 532.592
ВОЛНЫ НА ВОДЕ В ПРОДОЛЬНО КОЛЕБЛЮЩЕМСЯ КОНТЕЙНЕРЕ
© 2015 г. В. И. БУКРЕЕВ, А. В. ЧЕБОТНИКОВ
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск e-mail: bukreev@hydro.nsc.ru, avchebotnikov@gmail.com
Поступила в редакцию 28.10.2014 г.
Приведены результаты экспериментального исследования поверхностных гравитационных волн в прямоугольном контейнере, частично заполненном водой и колеблющемся горизонтально по гармоническому закону. Полученные данные использованы, в частности, для проверки теоретического решения Л.Н. Сретенского, предсказывающего существование безграничного счетного множества резонансных режимов генерации волн. Такие режимы имеют место при частотах колебаний контейнера, совпадающих с нечетными собственными частотами колебаний жидкости. В опытах в резонансных режимах волны обрушивались, и наблюдались кумулятивные струи. Из экспериментов следует, что при частотах колебаний контейнера, совпадающих с четными собственными частотами колебаний жидкости, амплитуды волн и поступающая в них энергия минимальны.
Ключевые слова: колеблющийся контейнер с жидкостью, гравитационные волны, собственная частота, резонансный режим, кумулятивная струя.
Теория гравитационных волн в жидкости, частично заполняющей воздушную полость в движущемся теле, и движения контейнера, частично заполненного жидкостью, имеет долгую историю [1—6]. Значительный вклад в эту теорию внес Н.Н. Моисеев [7, 8]. Большое число научных работ посвящено, в частности, волнам Фарадея [9]. Неослабевающее внимание к дальнейшим научным исследованиям стимулируется проблемами безопасной транспортировки горючих и ядовитых жидкостей и предотвращения плескания жидкого топлива в баках ракетных двигателей.
В данной работе рассматривается задача о гравитационных волнах на поверхности жидкости, частично заполняющей прямоугольный контейнер, колеблющейся горизонтально в продольном направлении по гармоническому закону. Теоретическое решение этой задачи получено Л.Н. Сретенским [10, 11]. В рамках линейной теории показано, что имеется упорядоченное безграничное счетное множество резонансных режимов генерации гравитационных волн.
Экспериментальные работы [12—14] наиболее близки к данной работе по способу генерации волн и методике исследований. Разрушение волн изучалось в них только при одной частоте колебаний контейнера, равной частоте первой собственной моды колебаний содержащейся в нем воды. Сравнение с теорией [10, 11] не проводилось.
Проверка теории [10, 11] — одна из целей данной работы. Из числа других полученных результатов можно отметить детальный анализ зависимости граничных условий на торцевых стенках контейнера от частоты его колебания и условий образования кумулятивных струй. Реализованы режимы колебаний контейнера, при которых затраты энергии на колебание содержащейся в нем жидкости очень малы.
1. Методика эксперимента. Опыты выполнялись в прямоугольном горизонтальном контейнере длиной L = 1.98 м и шириной B = 0.06 м из оргстекла. Контейнер запол-
г
S7
0 x h
fir -
/ / ///////У /////////// L
Фиг. 1. Схема эксперимента
нялся водопроводной водой на глубину h = 0.065 м. В опытах он совершал продольные гармонические колебания в горизонтальном направлении с амплитудой a и круговой частотой Q. Далее используются связанная с контейнером подвижная прямоугольная система координат, показанная на фиг. 1. Ее начало расположено в середине линии пересечения дна контейнера и его левой торцевой стенки. Закон движения контейнера относительно неподвижной системы координат описывался формулой s (t) = a sin (Q t + ф), где t — время, ф — начальная фаза колебаний.
В опытах использовались закрепленные на контейнере волномеры резистивного типа с двумя вертикальными электродами диаметром 0.5 мм. Время реакции волномеров на ступенчатое входное воздействие составляет 0.1 с. Это значение получено путем резкого погружения электродов волномера из воздуха в воду. Электрические сигналы волномеров регистрировались компьютером с частотой дискретизации 100 Гц. В ряде опытов осуществлялась видеосъемка с частотой 25 и 125 кадров в секунду. При видеосъемке вода окрашивалась небольшим количеством чернил.
С использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье, реализованного в программном продукте Origin, получена информация о спектрах колебаний свободной поверхности. Поскольку изучаемые процессы были преимущественно детерминированными, ниже приводятся результаты анализа амплитудного спектра.
2. Экспериментальные данные. Согласно [10, 11] колебания контейнера порождают стоячие волны. Обусловленные ими отклонения свободной поверхности от положения равновесия Z (x, t) в подвижной системе координат описываются формулой
z (x, t) = hif1 X - x) + L f cos(nnx/L) I sin nt g [V2 ) n n (n th rn-ty
где U 0 — скорость движения подвижной системы координат, g — ускорение свободного
падения, n = 1, 2, 3, ... — номер собственной моды колебаний жидкости, Е, = LQ2 /ng, r = п h/L. Штрих после знака суммы означает, что суммирование выполняется только по нечетным значениям n .
Теория [10, 11] предсказывает особые условия генерации волн, если частота колебаний контейнера Q удовлетворяет следующей формуле:
= Ю = gkn tanh (kh), kn = nn/L
где ю„ — круговая частота n -й собственной моды колебаний жидкости, kn — соответствующее волновое число. При нечетных значениях n = 1, 3, 5, ... теория [10, 11] предсказывает неограниченный рост волн, обусловленный резонансом.
Опыты показали, что в резонансных режимах размах колебаний свободной поверхности значительно увеличивается. Рост волн ограничивают нелинейные эффекты, яв-
Фиг. 2. Кумулятивные струи при h = 0.065 м: а — п = 3, /с = /п = 0.606 Гц, x0 = 1/3; б — п = 5, /с = Гп = 0.982 Гц, X0 = 2/5
ление, характеризуемое термином дисперсия волн и вязкость жидкости. В резонансных режимах вместо стоячих волн образуются бегущие волны. Если интенсивность возмущения достаточно велика, бегущие волны обрушиваются, и появляются кумулятивные струи, уносящие много энергии. Это имело место, в частности, в выполненных опытах при значении амплитуды колебаний контейнера а = 1.15 см. Данный эффект прослежен до п = 15. При более высоких значениях п волны в экспериментальной установке были слишком короткими, и на результаты опытов влияли неконтролируемые факторы. При меньшем значении а, равном 0.3 см, и неизменных значениях других параметров задачи кумулятивные струи в резонансных режимах не формировались, и волны были нелинейными, но сохраняли гладкость.
Фотоснимки кумулятивных струй в резонансных условиях приведены на фиг. 2, где
используются величины: /с = П/2п, /п = юп/2п и х0 = ^Ь. Кумулятивные струи появлялись при встрече бегущих волн, отразившихся от противоположных торцевых стенок бассейна. Это происходило при прохождении бегущими волнами каждого теоретического значения координаты х, соответствующей положению пучности стоячей волны. Колебания свободной поверхности на интервалах между пучностями теоретических волн носили в резонансных режимах нерегулярный характер. Кумулятивные струи наблюдались только при максимальных отклонениях свободной поверхности вверх от положения равновесия.
Фотоснимок волн при частоте колебаний контейнера, промежуточной между частотами четырнадцатой и пятнадцатой собственных мод, приведен на фиг. 3. Волны находились в предельном состоянии с точки зрения их устойчивости. Они еще не обрушивались, но их гребни уже заострились.
Результаты измерения волномерами экстремальных отклонений свободной поверхности вверх > 0) и вниз < 0) от положения равновесия приведены на фиг. 4.
На этом графике О0 = 20Ь/Значения частот колебаний контейнера, при которых отклонения свободной поверхности как вверх, так и вниз от положения равновесия максимальны, хорошо согласуются со значениями теоретических резонансных частот. На фиг. 4 используются экспериментальные данные, полученные только при частотах колебаний контейнера до частоты восьмой собственной моды колебаний во-
0.2 м
Фиг. 3. Волны в предельном состоянии: fc ~ (fi4 + fi5)/2 = 2.3 Гц, h = 0.065 м
Z0 zext
1.0
Фиг. 4. Зависимость экстремальных амплитуд волн от частоты колебаний контейнера при h = 0.065 м, х = 0.25: 1, 2, 3, ..., 8 — номера п собственных мод колебаний жидкости
0.2
Z0 0.1
16 17 t, с 18
Фиг. 5. Колебания уровня свободной поверхности на торцевой стенке контейнера (1) и в пучности стоячей волны (2): h = 0.065 м, п = 8, /с = /п = 1.469 Гц
ды. При более высоких частотах, реализованных в опытах, точность измерений была недостаточно велика. Качественно обсуждаемая закономерность прослежена вплоть до частоты шестнадцатой собственной моды.
Если ^ соответствовала четному значению п = 2, 4, 6, ..., волны сохраняли гладкость. Согласно [10, 11] амплитуда гладкой волны является бесконечно малой величиной, не имеющей количественной меры. Экспериментальные данные, приведенные на фиг. 4, показывают, что амплитуды волн при четных значениях п намного меньше, чем в резонансных режимах.
Пример синхронной записи колебаний свободной поверхности двумя волномерами приведен на фиг. 5. Частота колебаний контейнера равна частоте восьмой собствен-
Фиг. 6. Положение свободной поверхности в моменты максимального (1), нулевого (2) и минимального (3) отклонения от положения равновесия при п = 8, к = 0.065 м, /с = /п = 1.469 Гц. Вертикальный масштаб увеличен в два раза
27.5 28.0 28.5 29.0 Г, с 29.5
Фиг. 7. Колебания свободной поверхности на левой (1) и правой (2) торцевых стенках и закон движения контейнера (3): а — = /п = 0.201 Гц, п = 1; б — /с = 4.58= = 0.919 Гц
ной моды колебаний воды. Один волномер располагался на расстоянии 3 мм от левой торцевой стенки контейнера, другой волномер — в теоретической пучности стоячей волны. В этом примере колебания свободной поверхности на торцевых стенках контейнера очень малы. Такая закономерность имела место при всех реализованных четных частотах колебаний контейнера.
Обсуждаемый эффект иллюстрируется тремя кадрами видеосъемки при п = 8, совмещенными на одной фиг. 6 и отвечающими т = 0, Т/4,3Т/
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.