УДК 533
ВОЛЬТ-АМПЕРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ЗОНДА В ПОТОКЕ СТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ И БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЫ
© 2008 г. М. В. Котельников
Научный центр нелинейной волновой механики и технологии РАН, Москва Поступило в редакцию 05.12.2007 г.
PACS: 52.70.Ds, 52.30.-q
Рассматривается бесконечно длинный цилиндрический зонд радиусом гр и потенциалом фр в поперечном потоке плазмы в двух предельных случаях - столкновительной (число Кнудсена Кп —► 0) и бесстолкновительной (Кп —► плазмы.
Начнем с бесстолкновительного случая, характерного для зондовых измерений в ионосферных условиях и в струях разреженной плазмы, истекающей из некоторых типов плазменных движителей.
Математическая модель задачи включает уравнения Власова для компонент плазмы и уравнение Пуассона для самосогласованного электрического поля, а также систему начальных и граничных условий. Задача оказалась четырехмерной в фазовом пространстве [1]. Система уравнений Власова-Пуассона имеет следующий вид:
d fa „ д fa
V,
2
. , ТТ - J a , Ved fa I V e , 'iu. J-, + Vr -=-— + —--Л7Т+ — + — E, dt dr r de V r m,
ia
a
-d----f--a--
-d---V----- r
+ ,«£ Ee -W) dVVf = 0,
ma r JaVe
(1)
d ф +1 Эф + J_d_9_ 1
dr2 r dr
r2 ae2
X q°
E = -Уф, (2)
f 2kTaJ 2
м r,e,t) =f -mfJx
X J J fa(r, e, Vr, Ve, t)dVrdVe,
(3)
. ( f2kTa\2
j«( t,e) =f m" J
X
0 +«
(4)
X qa J J fa(rp, e, Vr, Ve, t) VrdVrdVe,
2n
Ia( t) = rp J ja( t,e)de.
0
(5)
В качестве начальной функции распределения будем рассматривать максвелловскую
Fa(0, r, e, Vr, Ve) = (njn){mj(2kTa))3/2 X X exp[-ma{(Vr + cose)2 + + (V e - VM sin e)2}/(2 kTa)],
(6)
где /а - функции распределения ионов и электронов (а = г, е); Уг, Уе - радиальная и азимутальная скорости частиц; Е, ф - напряженность и потенциал электрического поля; qа, та - заряд и масса частиц. Концентрацию, плотность тока частиц у поверхности цилиндра и интегральный ток на цилиндр единичной длины запишем в следующем виде:
где п^ - концентрация частиц в невозмущенной плазме, Та - температура компоненты а, У^ - вектор скорости набегающего потока.
Для решения уравнения Пуассона задается потенциал ф при г = гр и на внешней границе расчетной области, где, как правило, он считается нулевым. Функции распределения на внешней границе совпадают с (6), а на поверхности зонда ставится условие идеальной каталитичности, т.е. ион, касаясь стенки, получает недостающий электрон, а электрон, коснувшись стенки, поглощается.
Система (1)-(6) приводится к безразмерному виду введением единиц длины Мь = гЛ = (80кТ^п^е2)1/2, потенциала Мф = кТ;„/е, скорости МУ. = (2кТа/та)1/2,
а = г, е. Остальные единицы получаются из соотношений размерности. Вводятся следующие безразмерные параметры: г0 = гр/Мь, ф0 = фр/Мф, У0 =
= У и Му1.
Вычислительная модель задачи основана на методе установления, когда на тело подается импульс потенциала с достаточно крутым фронтом нарастания и моделируется переходный процесс от начального к конечному стационарному состо-
630
КОТЕЛЬНИКО В
е
Рис. 1. Распределение плотности ионного тока по обводу цилиндра при г0 = 3, ф0 = -6, £ = 1 и различных значениях У0-
янию. Для решения уравнения Власова используется алгоритм метода крупных частиц [2] или метод характеристик, а уравнение Пуассона решается с использованием спектральных методов [1]. С целью сокращения необходимых ресурсов ЭВМ проводилась оптимизация вычислительного алгоритма. По результатам методических расчетов размер расчетной области не превышал размера возмущенной зоны, а шаг по времени определялся из условия устойчивости решения Куранта-Фридрихса-Леви [3]. Число узлов расчетной сетки составляло NN МуМув = 20 х 50 х 30 х 30.
В результате расчетов были получены функции распределения ионов и электронов, по которым с помощью формул (4) и (5) рассчитывались плотность тока и интегральный ток на единицу длины цилиндра. При У0 = 0 результаты расчетов совпали с результатами Лафрамбуаза [4]. При достаточно больших скоростях (У0 > 5) результаты математического моделирования близки к результатам теоретического исследования Ленгмю-ра [5].
Из рис. 1 следует, что для зонда в потоке плазмы максимальная плотность тока имеет место в лобовой области, а минимальная - в теневой. При У0 > 3 плотность тока в теневой области настолько уменьшается, что в масштабе рис. 1 практически исчезает. Интегральный ток на единицу длины цилиндра с ростом У0 растет, что связано с увеличением плотности тока на лобовую часть.
На рис. 2 представлены зависимости средней плотности тока ионов на цилиндр от его потенциала при различных значениях параметров г0 и У0. Представленные зависимости можно рассматривать как ионные ветви вольт-амперных характеристик (ВАХ) цилиндрического зонда в потоке бесстолкновительной плазмы. Электронные вет-
- Фо
Рис. 2. ВАХ цилиндрического зонда в поперечном потоке бесстолкновительной плазмы при £ = 1; 1 - Го = 3, 2 - 10, 3 - 30, 4 - 100.
ви ВАХ близки к их положению в покоящейся плазме, поскольку хаотическая скорость электронов намного больше направленной скорости плазмы. Если при V0 = 0 зависимость от г0 существенна, то с увеличением V0 она уменьшается и при V0 > 7 практически исчезает. Это связано с тем, что при относительно больших скоростях влияние электрического поля зонда мало в сравнении с влиянием направленной скорости. Ток зонда определяется только частицами, поступающими с потоком на лобовую часть цилиндра.
Перейдем теперь к рассмотрению столкнови-тельного случая. Как и в молекулярном режиме, рассматривается бесконечно длинный электрод цилиндрической формы радиусом гр и потенциалом фр, помещенный в плотную слабоионизован-ную плазму. Направленная скорость потока перпендикулярна оси цилиндра.
Математическая модель задачи исследования процессов переноса вблизи цилиндра включает уравнения Эйлера для нейтральной компоненты, уравнения неразрывности и движения для электронов и ионов и уравнение Пуассона для самосогласованного электрического поля [1]. В предположении, что плазма имеет постоянные свойства, уравнение энергии для электронов заменялось условием £ = Ti /Te = const. В математической модели
дп
+ div (n V i) = 0,
Зср/М
8 1 (а) 2 к (•) К (,)
4 1 0.5
-40 -20 »10 1 1 -40 -20 , 10 -40 -20 10
ф0 ф0 I—1 — - ф0
-С 1 I— 2
1Г~~2 -У -4 2 -1 -0.5
^3 -8 3 -2 -3 3 -1.0
Рис. 3. ВАХ цилиндрического зонда в поперечном потоке столкновительной плазмы при г0 = 3 (а), 10 (б), 30 (в); 1 Кеэ = 1, 2 - 10, 3 - 100; М = 0.1 (нижний конец вертикальных отрезков на кривых) - 1 (верхний конец).
дп
+ (пеУе) = 0,
Л V,- кТ, М< ~сЕ = -"ПТ У П; + ^ - V- - Va),
кТе„
те "л" = - — У«е - еЕ - Це^еЯ( Ve - Va) , Аф = е(пе - Ъп>)/е0, Е = -Уф, ^ + (ра Va) = 0,
д(Ра ^) + div(pa Va Va) = -У Ра,
(7)
д г
д ( Р аЕа ) д г
+ ^^ (Ра VаЕа ) = ( V аРа ),
Ра = (Еа - М;/2)Ра(У -1 ) , Еа = СуТа + М2/2
учтены также следующие допущения: химические реакции заморожены, вязкостью пренебре-гается, собственное магнитное поле мало.
В системе уравнений (7) V, р, Р, V - скорость, плотность, давление, приведенная масса, частота столкновений соответственно. Остальные обозначения являются общепринятыми. Индексы г, е, а относятся к ионам, электронам и нейтральным частицам.
Математическая модель задачи кроме системы (7) включает также систему начальных и граничных условий. На границе втекания задавались параметры плазмы, на границе вытекания ставились условия свободного вытекания. Потенциал на удаленных границах полагался равным нулю, на цилиндре он считался постоянным. На поверх-
ности цилиндра ставилось условие непротекания для нейтральных частиц и условие абсолютной каталитичности для заряженных компонент плазмы. Для достижения стационарного решения задачи, как и в молекулярном режиме, использовался метод установления. Благодаря условию слабой степени ионизации газодинамическая часть задачи решалась независимо с использованием алгоритма метода крупных частиц [2]. Полученные из нее поля скоростей и концентраций нейтральных частиц рассматривались как фон, на котором решалась электродинамическая часть задачи, включающая уравнения неразрывности и движения для ионов и электронов и уравнение Пуассона для потенциала электрического поля. Уравнения неразрывности решались методом крупных частиц, а уравнение Пуассона - с использованием спектральных методов [1].
Решение поставленной задачи зависит от следующих физических процессов: конвекции, диффузии и подвижности. Их совместное влияние определяет достаточно сложную картину обтекания заряженного цилиндра континуальной плазмой.
Вычислительная модель, предложенная в данной работе, позволила получить результаты, которые при условии отсутствия направленного движения плазмы и магнитного поля полностью совпали с данными более ранних работ, приведенных в [6, 7].
Влияние направленной скорости на структуру возмущенной зоны вблизи заряженного цилиндра исследовалось в работе [8], однако движение нейтральной компоненты в этой работе описывалось модельными формулами для бесциркуляционного обтекания идеальной жидкостью. Эта модель не точно отражает влияние конвекции, особенно при больших числах Рейнольдса. При Яеэ > 104 неустойчивость потока к конечным возмущениям приводит к формированию вихревого следа - до-
632
НОВИКОВ
рожки Кармана [9]. Это крупномасштабное вихревое течение обладает свойствами турбулентного потока и приводит к отличному от ламинарного случая току на зонд. В [10, 11] задача решалась в предельном случае бесконечно тонкого слоя объемного заряда.
На рис. 3 приведены ВАХ цилиндрического зонда при различных значениях числа Маха М, числа Рейнольдса электрического Яеэ и радиуса зонда г0. Данные ВАХ получены с учетом конвекции, диффузии и подвижности, поэтому они отличаются от ВАХ, приведенных в [12] и полученных в пренебрежении влиянием подвижности (слой объемного заряда полагался бесконечно тонким). Если г0 велико, то влияние слоя объемного заряда уменьшается и ВАХ, приведенные в [11], можно использовать. При относительно небольших г0 необходимо использовать ВАХ, представленные на рис. 3.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Котельник
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.