УДК 620.179.14
ВОПРОСЫ ТЕОРИИ И РАСЧЕТА МАГНИТОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ
М.Л. Шур, А.П. Новослугина, Я.Г. Смородинский
Рассмотрены вопросы расчета магнитостатических полей в ферромагнетиках с учетом нелинейной зависимости индукции (намагниченности) от напряженности поля. Показано, что нелинейность магнитных свойств ферромагнетика существенна только в некоторых точках, расположенных на границе раздела сред ферромагнетик—воздух.
Ключевые слова: магнитостатика, протяженные дефекты, поверхностные и объемные магнитные заряды.
1. ВВЕДЕНИЕ
Один из способов расчета магнитных полей — создание дипольных моделей дефектов. Основоположниками исследования моделей дефектов с помощью магнитных зарядов можно считать Р.И. Януса, С.В. Вонсовского, Ф. Фёрстера и А. Б. Сапожникова [1—4]. Их исследования получили развитие в [5—10]. По распределению магнитных зарядов получены формулы для определения магнитных составляющих полей поверхностных и внутренних дефектов. Расчетные данные были близки к экспериментальным.
В [11, 12] авторы, используя метод зеркальных отображений, рассчитали поле цилиндрического дефекта в плоскопараллельной пластине.
Опираясь на эти результаты, мы продолжили исследование возможностей описания полей дефектов с помощью поверхностных и объемных зарядов.
Расчет магнитного поля внутри и вне ферромагнитных тел — актуальная задача для многих областей современной физики. Основная проблема теоретического исследования и расчета магнитостатических полей заключается в нелинейной зависимости намагниченности М, а также магнитной проницаемости ^ и магнитной восприимчивости % от магнитного поля.
В отсутствии токов проводимости магнитостатическое поле описывают двумя уравнениями Максвелла [13]:
гоШ = 0 и &уВ = 0, (1)
где Н — вектор магнитного поля; В — вектор магнитной индукции.
Связь между этими векторами определяется материальным уравнением, которое учитывает индивидуальные свойства среды
В = ^о(Н + М(|Н|)), (2)
где = 4к • 10-7 Гн/м — магнитная проницаемость вакуума.
Это уравнение называют материальным, так как зависимость М(|Н|) в настоящее время может быть получена только экспериментальным путем и определяется внутренней структурой исследуемого материала, наличием в нем внутренних упругих напряжений и многими другими факторами.
Михаил Львович Шур, доктор физ.-мат. наук, научный консультант УрФУ имени первого Президента России Б.Н.Ельцина. Тел. +7-912-245-76-21. E-mail: msh@sky.ru
Анастасия Петровна Новослугина, инженер ИФМ УрО РАН. Тел. +7-912-269-01-92. E-mail: novoslugina@imp.uran.ru
Яков Гаврилович Смородинский, доктор техн. наук, профессор, заведующий отделом не-разрушающего контроля и лабораторией комплексных методов контроля ИФМ УрО РАН. Тел. +7(343) 374-43-82, +(343)378-37-42. E-mail: sm@imp.uran.ru
Подставляя (2) в (1), получаем
= - &уМ(И). (3)
Напряженность магнитного поля можно записать через скалярный потенциал Н = -gradф, поэтому уравнение (3) преобразуется в следующий вид:
Аф = divM, (4)
где р = - divM — плотность объемных магнитных зарядов. Магнитный заряд — вспомогательное понятие, вводимое при расчетах статических магнитных полей по аналогии с электрическим зарядом, создающим электростатическое поле, но магнитный заряд, в отличие от электрического, реально не существует.
Уравнение (4) — это уравнение Пуассона. Если правая часть этого уравнения равна нулю, то оно превращается в уравнение Лапласа. Решение уравнения Пуассона складывается из двух слагаемых: объемного потенциала и потенциала поверхностных зарядов [14].
Объемный потенциал определяется следующим образом:
фШ = ГГГ ^М ^, (5)
Тр 4%->^ — - г|
где Я — координата точки, в которой измеряется поле; г — координата, по которой идет интегрирование; V — объем ферромагнетика.
Потенциал поверхностных зарядов, который удовлетворяет уравнению Лапласа, имеет вид
1 гг М
Фа^) = + (6)
а 4% ^ К - г
где Мп — нормальная составляющая намагниченности к поверхности ферромагнетика; S — площадь поверхности ферромагнетика; ф0 — потенциал внешнего поля.
Интеграл в (6) обеспечивает выполнение граничных условий, а именно: непрерывность тангенциальной к поверхности ферромагнетика составляющей магнитного поля и нормальной составляющей индукции. Непрерывность нормальной составляющей индукции приводит к разрыву нормальной составляющей магнитного поля, которая по величине равна М Этот факт зафиксирован в (6), где под интегралом появилась поверхностная плотность зарядов а = Мп.
Использовать уравнение (5) для численных расчетов магнитного поля и намагниченности невозможно. Чтобы найти divM, необходимо знать координатную зависимость намагниченности внутри ферромагнетика. А это невозможно, так как подразумевается, что уже известно решение этой задачи. Чтобы избавиться от этой проблемы, используем тождество
I^ í^"V! = §М • grad ^'divM '
К - г К - г
"V. (7)
Преобразуем объемный интеграл в левой части (7) в поверхностный по теореме Остоградского—Гаусса [15] и выразим из (7) крайний справа интеграл. Подставим получившееся выражение в (5), а затем суммируем с (6). В результате поверхностный интеграл в (6) сократится, и окон-
чательно уравнение для скалярного потенциала ф магнитного поля приобретает следующий вид:
ф(я) = Фс+4-{{{ М • вгаа
4л и
( 1 ^ - Г
V I
(8)
Интегральное уравнение для поля получаем в результате воздействия оператором '^га^' на обе части равенства (8) и последующего выполнения ряда математических операций.
Таким образом, можно сделать следующие выводы.
Уравнения (5) и (6) являются решением (4).
Переход от уравнений (5) и (6) к (7) с помощью (8) связан исключительно с необходимостью избавиться от неизвестной величины — &уМ и ее заменой на известное материальное уравнение М = М(Н).
Уравнение (8) справедливо и для линейной ферромагнитной среды, то есть для такого ферромагнетика, в котором намагниченность прямо пропорциональна полю, а магнитная проницаемость и магнитная восприимчивость не зависят от поля, но для такого ферромагнетика &уМ = 0. Необходимое интегральное уравнение получаем сразу из (6), в котором имеется интеграл по поверхности, а не по объему. Понятно, что для линейной среды нет никакого смысла переходить от уравнения (6) к уравнению (8), поскольку это лишь усложнит решение задачи. Поэтому представляется интересным изучить основные закономерности распределения объемных зарядов, то есть понять физическую суть их влияния на магнитное поле реальных ферромагнитных тел.
2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ ЗАРЯДОВ
Индукцию магнитного поля можно записать стандартным образом через магнитную проницаемость ЩН)
В = ц(Я)Н. (9)
Уравнение (9) справедливо для изотропного материала, который и будет рассмотрен ниже. С использованием (9) уравнение (3) легко преобразовать в
д1пц(Н) Н
а1уи = -н—-^гааН, (10)
дН Н2 5
и для скалярного потенциала ф оно приобретает вид
Аф = Н2 Ф» + Ф2Фуу + Ф2Ф- + 2 • (уФху + ФхФхФху + ФуФхФуО ), (11)
5ф д2Ф
где ф = —; ф = —т; Н2 = ф 2 + ф 2 + ф2. х дх дх х у х
Мы умножили и поделили правую часть (10) на Н для того, чтобы сде-д 1п ц(Н )
лать множитель - Н безразмерным [16], который называем далее
дН
коэффициентом нелинейности а, графики зависимости его от Н для разных сталей приведены на рис. 1. Для анализа влияния этого коэффициента на
3 Дефектоскопия, № 7, 2014
магнитные поля использовали кривые намагничивания сталей разных видов (углеродистые: 10; Х70 и легированные: 30ХГСА; 36Г2С; Д), полученные экспериментальным путем. Видно, что при больших значениях полей а стремится к 1 независимо от марки стали.
Рис. 1. Зависимость коэффициента нелинейности а от магнитного поля в сталях: — 30ХГСА; - 10; 36Г2С; — Х70; — Д
В уравнениях (10) и (11) в обеих сторонах равенства стоят скалярные величины, которые не зависят от выбора системы координат.
Расположим декартову систему координат в произвольной точке силовой линии. Координату х направим по касательной к силовой линии (то есть по направлению поля Н), оси у и г — в произвольном перпендикулярном направлении. В этой системе координат в точке (0,0,0) только Нх принимает ненулевое значение, и уравнение (10) в этой точке будет иметь следующий вид:
дНх + дНУ + дН г дНх
—- н---н--- = а—-. (12)
дх ду дг дх
В выбранной системе координат у, г-составляющие магнитного поля равны нулю, если равны нулю и их частные производные по у и г, то видим
дН
из уравнения (12), что и —х = 0. Приходим к уравнению &уН = 0, то есть к
дх
линейной среде, в которой отсутствуют объемные заряды.
Но равенство функции нулю не означает равенство нулю ее производной. Рассмотрим, например, Н : вблизи точки у = 0 она может быть разложена в ряд Тейлора
Ну = а0 + аху + а2у2 + ... . (13)
Для того чтобы ее частная производная по у не была равняла нулю, необходимо, чтобы коэффициент а1 в этом разложении не был равен нулю, так
д
как —Ну = а1 + 2а2у + ... . Точно так же для г-составляющей магнитного
ду у
поля справедливо разложение Нг = Ь0 + Ь1г + ..., и мы из уравнения (12) получаем в точке (0, 0, 0) равенство
дН
(1-а)-^ = - ( + Ь), (14)
из которого видно, что
дИ
мало, если а. и Ъ, малы.
дх 11
Известно, что на силовых линиях, которые могут быть заданы в параметрической форме х = х; у = у(х); г = г(х), справедливы равенства [17]:
И = ^Их; И = ^и.. у ёх г ёх
(15)
Поэтому чтобы хотя бы один из коэффициентов в правой части был велик (чтобы велика была величина объемных зарядов) необходимо, чтобы силовые линии имели вид, как на рис. 2. Это возможно только вблизи границы ферромагнетик—воздух.
уА
)+
Рис. 2. Магнитное поле вблизи дефектов.
Строгое доказательство этого утверждения, которое достаточно очевидно из простых качественных соображений, значительно проще доказательства гипотезы Пуанкарэ, но оно требует довольно утомительных исследований в области дифференциальной геометрии, поэтому нет необходимости приводить его в тексте данной статьи.
Другими словами, только в достаточно ограниченных областях вблизи границы ферромагнетик—воздух следует учитывать частные производные И и И в правой части уравнения (13). Если эти частные производные равны нулю, то
сраз
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.