М ЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 5 • 2013
УДК 532.526.3.013.4
© 2013 г. М. В. УСТИНОВ
ВОСПРИИМЧИВОСТЬ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ К НЕЛИНЕЙНО РАЗВИВАЮЩЕЙСЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ НАБЕГАЮЩЕГО ПОТОКА
Исследованы возмущения в пограничном слое плоской пластины, порождаемые турбулентным набегающим потоком. В отличие от общепринятого представления турбулентности в виде суперпозиции экспоненциально затухающих вмороженных в поток вихревых возмущений, удовлетворяющих линеаризованным уравнениям Навье—Стокса, использовалась модель, учитывающая их нелинейное развитие. Ее основные особенности: отклонение фазовой скорости вихревых возмущений от скорости потока и их более медленное затухание. Эта модель позволила адекватно описать наблюдаемые в эксперименте зависимости пульсаций скорости в пограничном слое и их спектров от продольной координаты.
Ключевые слова: ламинарно-турбулентный переход, восприимчивость, пограничный слой.
Ламинарно-турбулентный переход в пограничном слое при повышенной степени турбулентности набегающего потока (Ти > 0.5%) интенсивно исследуется в последние два десятилетия. Интерес к нему обусловлен необходимостью предсказания положения перехода на лопатках турбомашин и в промышленных аэродинамических трубах. В этих условиях доминирующим видом возмущений пограничного слоя становятся не волны Толлмина—Шлихтинга, а вытянутые в направлении потока полосчатые структуры. Они возникают в результате проникновения вихревых возмущений потока в пограничный слой и их усиления в нем. Последний процесс описывает теория алгебраического роста, развитая в [1, 2], согласно которой наиболее сильно в пограничном слое нарастают возмущения в виде продольных вихрей, преобразующиеся вниз по потоку в полосы повышенной или пониженной скорости. Энергия таких возмущений увеличивается пропорционально числу Рейнольдса, вычисленному по расстоянию х от передней кромки Ях. Предложенная на основе этой теории линейная зависимость среднего квадрата пульсаций скорости в пограничном слое (и2) от числа Рейнольдса (и2)/Ти2 = кЯх хорошо описывает данные большинства экспериментов, однако коэффициент пропорциональности в ней не постоянен, а зависит от условий конкретного опыта [3].
Линейная теория восприимчивости пограничного слоя к турбулентности потока, основанная на ее представлении в виде набора периодических по пространству и времени вихревых мод и решении нестационарных уравнений Прандтля, создана в [4]. Она также предсказывает линейное нарастание квадрата амплитуды пульсаций со скоростью, обратно пропорциональной интегральному масштабу турбулентности. В [5] эта теория модифицирована за счет применения параболизованных уравнений Навье—Стокса для описания развития возмущений в пограничном слое. В результате получен более общий закон нарастания пульсаций скорости (и 2)/Ти2 = Я}Ф(Ях/я}), где Яь — число Рейнольдса, вычисленное по интегральному масштабу турбулентности },
а Ф — универсальная функция. При малых Ях/Я} он переходит в линейную зависимость, найденную в [4]. Сравнение теории [5] с экспериментом показало, что предло-
женный в ней закон подобия не выполняется, и теория сильно недооценивает коэффициент усиления пульсаций в пограничном слое. Другой существенный недостаток линейной теории восприимчивости — неправильная зависимость частотных спектров пульсаций скорости и определяемой ими длины полосчатых структур от продольной координаты. Согласно всем вариантам теории [1, 2, 4—6] она должна возрастать пропорционально расстоянию х, тогда как измерения спектров пульсаций скорости и визуализация потока в [7] показали, что длина полосчатых структур пропорциональна
толщине пограничного слоя или л/х. В другом эксперименте [8] получены оба закона изменения длины полосчатых структур.
Существенные расхождения линейной теории восприимчивости пограничного слоя с экспериментом позволяют заключить, что адекватная теория перехода, вызванного внешней турбулентностью, не создана до сих пор. Наиболее вероятная их причина — нелинейность развития возмущений. Обычно считается, что нелинейные эффекты должны быть наиболее заметны внутри пограничного слоя, где амплитуда возмущений велика по сравнению с турбулентными пульсациями во внешнем потоке. Возможность описания внешней турбулентности линеаризованными уравнениями Навье—Стокса обычно не вызывает сомнений и обосновывается малостью турбулентных пульсаций по сравнению со скоростью потока. Однако переход в движущуюся с потоком систему отсчета показывает отсутствие реального малого параметра, по которому можно линеаризовать турбулентное течение.
Цель настоящей работы — создание линейной теории восприимчивости пограничного слоя к нелинейной внешней турбулентности.
1. Модель для продольной завихренности в набегающем потоке. Рассмотрим обтекание плоской пластины турбулентным потоком вязкой несжимаемой жидкости со средней скоростью им и среднеквадратичной амплитудой пульсаций ее продольной составляющей Ти ит. Введем безразмерные переменные, используя в качестве масштабов вязкую длину I = v/ux¡ и скорость потока. При этом любой безразмерный размер равен числу Рейнольдса, вычисленному по нему. Для описания течения введем Декартову систему координат с началом на передней кромке пластины. Оси координат х, у, г задаются единичными векторами 10, ]0, к0, направленными по потоку, вдоль передней кромки и по нормали к поверхности пластины.
Как показано в [1, 2], в пограничном слое наиболее сильно нарастают возмущения, порождаемые продольной завихренностью набегающего потока. Ввиду этого ограничимся рассмотрением продольной составляющей завихренности в турбулентном потоке. Ее среднеквадратичную амплитуду представим в виде интеграла
от плотности частотно-волнового спектра Оу, которая равна средней амплитуде элементарных периодических возмущений
с волновыми векторами к = |10а + ^Р + к0у) в интервале от к до к + dk, и частотой в интервале от ш до ю + d ю.
В эксперименте турбулентность потока создается сеткой, расположенной перед передней кромкой пластины, и ее характеристики изменяются по продольной координате, что отражает зависимость плотности частотно-волнового спектра от х. Несмотря на наличие этого выделенного направления, будем использовать модель однородной и изотропной турбулентности, для которой плотность частотно-волнового
(1.1)
ю
юе = е ; 9 = а(х - г) + ву + уг - Ш
(1.2)
спектра завихренности зависит только от модуля волнового вектора к = |к|. Далее предположим, что О^ может быть представлена в виде произведения плотностей спектра по волновым числам О (к, х) и по частоте S (к, ю, х)
О1 = О(к, х)5 (к, ю, х)
Следует отметить, что здесь под частотным спектром понимается не спектр, например, пульсаций скорости по частоте, обычно измеряемый в эксперименте неподвижным датчиком, а соответствующий спектр в движущейся со скоростью потока системе отсчета. Использовавшаяся ранее в [4—6] модель вмороженной в поток турбулентности соответствует бесконечно узкому частотному спектру.
Спектральная плотность продольной завихренности по волновым числам может быть выражена через трехмерный энергетический спектр турбулентности Е (к, х)
„ 2 +2
О(к, х) = в + 1 Е(к, х) (1.3)
4пк
зависимость которого от продольной координаты связана с изменением интенсивности и масштаба турбулентности соотношением
Е(к, х) = Ти(х)2 Цх)Г(кь К,); к1 = кХ, К, = ТиХ (1.4)
Принято считать, что введенный таким образом безразмерный энергетический спектр Г есть универсальная функция нормированного волнового числа к1 и турбулентного числа Рейнольдса Я,. Для его аппроксимации при достаточно больших Я, обычно применяют спектр Кармана, который не зависит от этого параметра
к4
Г(к1) = ^-(1.5)
12п (1 + к2)17/6
Частотный спектр турбулентной завихренности изучен гораздо хуже. Для оценки его характерной ширины воспользуемся результатами измерений пространственно-временных корреляций пульсаций скорости в различных диапазонах волновых чисел, выполненных в [9]. В этой работе показано, что такие корреляции становятся универсальными при нормировке с помощью характерного времени т потери когерентности турбулентными пульсациями скорости с волновым вектором к, определяемого как
т(к) = ЪЦН (к1); Н к) = [4ТС +4Гя + Л/7^Г1 Ти
к к1 к1 (1.6)
1с = к2 |Г(к)^к; 1Я = I, = \к2¥(Щк; 1В = _[-1 Г(кЩ
0 0 0 к
Согласно [9] структуры с характерным размером ктеряют свою форму за счет плоскопараллельного переноса, вращения и сдвига более крупномасштабными возмущениями, а также диффузии, вызванной движением с меньшими масштабами. Обратные величины характерных времен корреляции, обусловленных этими процессами, описывают четыре слагаемых в выражении для нормированного времени корреляции Н(к\). Все они получены с точностью до коэффициента, что отражает неизвестный множитель А, который будет найден ниже из сравнения теории с экспериментом.
Используя (1.6), временной спектр пульсаций продольной завихренности можно выразить через одну функцию нормированной частоты шт
5 (к, ю) = т(кМют(к)) (1.7)
Ввиду отсутствия данных о форме этого спектра функцию з(ют) будем аппроксимировать распределением Гаусса с единичной дисперсией. Из (1.1) и (1.2) следует, что продольную завихренность турбулентного потока можно представить в виде суперпозиции элементарных возмущений (1.2) с амплитудой а(к, ю, х) = \\(к, х)5(к, ю, х)]1/2.
Для удовлетворения уравнению неразрывности эти возмущения должны иметь еще одну компоненту завихренности, например ю у. Такие элементарные возмущения потока
^(к, ю, х) = а(к, ю, х)
а •
в]0
е''в (1.8)
назовем продольными вихревыми модами. В дальнейшем будем рассматривать только
п 2 „
сильно вытянутые вдоль потока моды с а ~ га ~ р , к которым пограничный слой наиболее восприимчив. Каждая такая мода представляет собой решение линеаризованных уравнений Навье—Стокса с внешней силой
Е =
— + (в2 + у2 - гю)а дх
V , = [[ +в к 0 ]ет (1.9)
в + У
которая выражается через скорость индуцированного ей поперечного течения V1. Внешняя сила моделирует нелинейное взаимодействие моды с остальными возмущениями турбулентного потока.
2. Взаимодействие вихревой моды с пограничным слоем. Найдем
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.