АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 84, № 11, с. 984-996
УДК 52-16-17-77+520.87
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПО ПРОЕКЦИЯМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА МАКСИМАЛЬНОЙ ЭНТРОПИИ. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МАЛОРАКУРСНОЙ
АСТРОТОМОГРАФИИ
© 2007 г. А. Т. Байкова
Главная астрономическая обсерватория Российской академии наук, С.-Петербург, Россия Поступила в редакцию 02.02.2007 г.; принята в печать 05.04.2007 г.
Рассматривается решение задачи восстановления изображений по небольшому числу проекций с использованием метода максимальной энтропии в форме Шеннона. Показано, что метод максимальной энтропии обеспечивает более высокое качество восстановления изображений источников с протяженными компонентами по сравнению с методом чистки по Хёгбому, также используемым в малоракурсной астротомографии. Для дальнейшего улучшения качества восстановления изображений источников со смешанной структурой, содержащих яркие компактные детали на фоне сравнительно слабой протяженной подложки, предложен метод разностного картографирования, который требует применения метода максимальной энтропии, обобщенного для восстановления знакопеременных функций. Выводы и рекомендации работы основаны на результатах численного моделирования для ряда модельных радиоисточников различного морфологического типа.
PACS: 95.75.Mn, 95.75.Pq, 98.70.Dk, 98.54.Gr
1. ВВЕДЕНИЕ
Задача восстановления изображений по проекциям (реконструктивная томография) представляет интерес во многих областях человеческой деятельности, начиная с медицины и кончая астрономией [1]. В астрономии в качестве примеров можно привести реконструкцию яркости космических объектов при лунных покрытиях [2—4] и допле-ровскую томографию при исследовании двойных звездных систем [5—8]. Большой интерес представляет также задача синтеза изображений с использованием методов радиолокации [9, 10].
Проблема восстановления изображений с применением нелинейных алгоритмов, обладающих высокими интерполирующими и экстраполирующими свойствами, возникает в случае, когда число проекций мало (малоракурсная астротомография) и в плоскости данных имеются большие незаполненные участки ("дыры"). В таких случаях использование линейных методов, таких как, например, алгоритма обратных фильтрованных проекций [1], становится нецелесообразным из-за невозможности восстановления отсутствующей спектральной информации и, как следствие, плохого качества получаемых изображений [11].
Известен класс методов восстановления, основанных на радиоастрономическом подходе [11 — 13]
с использованием хорошо известного алгоритма чистки по Хёгбому (CLEAN) [14] и его модификаций [15]. В этом случае из данных наблюдений (проекций) формируется "грязное" изображение, представляющее собой свертку искомого распределения и синтезированной диаграммы направленности. В результате задача восстановления изображения сводится к решению обратной задачи типа свертки, которая является некорректно поставленной.
Решение этой задачи в работах [11, 12] предлагается находить подобно тому, как это делается традиционно в апертурном синтезе. В частности, авторы работы [12] используют алгоритм двух чисток с целью получения двух решений, одно из которых лучше представляет компактные, а другое — протяженные детали источника. При этом первое решение получается при использовании стандартной чистки по Хёгбому, а второе — при использовании модифицированной чистки, предложенной в работе [15] для восстановления изображений протяженных источников. Однако больший интерес вызывают методы, которые с одинаково высокой точностью могут восстанавливать все структурные составляющие источника, что позволяет получить более объективное представление о его структуре. Таким альтернативным методом восстановления изображений является метод максимальной энтро-
пии в форме Шеннона (ММЭ) [16, 17], также хорошо известный в малоракурсной томографии [5—7].
Отсутствие каких-либо априорных ограничений на структуру источника (кроме предположения о конечной протяженности) делает ММЭ более фундаментальным методом по сравнению с методом чистки, изначально предложенным для восстановления точечных источников. Другим преимуществом ММЭ перед чисткой, как стандартной, так и модифицированной [15], является независимость от ряда задаваемых параметров, выбор которых существенно влияет на качество восстановления.
Целью данной работы является исследование возможностей ММЭ для восстановления изображений различного морфологического типа при сильно ограниченном числе проекций, а также улучшение ММЭ для восстановления изображений источников, состоящих из ярких компактных деталей на фоне более слабой протяженной подложки. Для решения последней задачи предлагается разностный метод максимальной энтропии, реализация которого требует обобщения стандартного ММЭ для восстановления знакопеременных функций.
В последующих разделах работы приводятся математическая постановка задачи малоракурсной астротомографии, описание метода восстановления по проекциям, описание метода максимальной энтропии, включая его обобщенную форму и разностный метод, а также сравнительный анализ результатов моделирования.
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Задача, решаемая в данной работе, формулируется следующим образом. Пусть имеется объект — двумерный источник излучения интенсивностей конечной пространственной протяженности в области (X, У). Математически такой объект описывается двумерной финитной неотрицательной функцией переменных X и У — 0(Х, У) (рис. 1а). Проекция объекта на линию р, составляющей угол ф с осью У, как показано на рис. 1а, представляет собой интеграл распределения интенсивности по объекту по координате, перпендикулярной оси р. Проекция представляет собой функцию переменной р, которую обозначим как Т(р). Пусть имеется N проекций объекта с различными углами фг, т.е. имеется N интегралов Тг(р)^ = 1,...^) двумерного объекта по направлениям, составляющим углы фг + 90° с осью У. Требуется восстановить изображение объекта 0(Х, У) по проекциям Тг(р).
3. МЕТОД ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПО проекциям
В основе используемого нами алгоритма восстановления изображения по проекциям лежит фундаментальное соотношение между преобразованием Радона и преобразованием Фурье, формулируемое в виде теоремы о проекциях [1]. В соответствии с этой теоремой, фурье-преобразование проекции Т(р), проходящей под углом ф к оси У (рис. 1а), является одномерным центральным сечением двумерного преобразования Фурье функции 0(Х,У), составляющим такой же угол ф с осью V в области пространственных частот (и, V) (UV-плоскости). На рис. 1б показаны (и, V)-координаты фурье-образа проекции Т(р). Пример шести проекций, используемый нами далее при моделировании, изображен на рис. 2а. Соответствующее заполнение UV-плоскости показано на рис. 2б. Если число проекций бесконечно, то восстановление изображения осуществляется с помощью обратного преобразования Радона [1].
Отметим, что принципиальная возможность восстановления изображения по небольшому числу проекций, или по неполному UV-заполнению области пространственных частот, основывается на свойстве аналитичности преобразования Фурье финитной функции [18], описывающей пространственно-ограниченный объект. А аналитические функции могут быть продолжены на всю бесконечную область их определения по значениям, известным на конечном интервале или конечном множестве точек.
Основным требованием, предъявляемым к алгоритмам восстановления, является нелинейность. Только в силу нелинейности возможна реализация "аналитического продолжения" спектра, т.е. заполнения пустых участков ("дыр") на UV-плоскости [17]. С помощью линейных процедур получение недостающих спектральных гармоник принципиально невозможно. Требование неотрицательности решения во многих случаях преобразует линейные процедуры в существенно нелинейные (например, в случае метода наименьших квадратов). В случае стандартного метода максимальной энтропии неотрицательность является неотъемлемым внутренним свойством решения, что говорит о существенной нелинейности метода.
4. МЕТОД МАКСИМАЛЬНОЙ ЭНТРОПИИ
Метод максимальной энтропии относится к большому классу нелинейных информационных методов [19], суть которых заключается в решении выпуклой задачи оптимизации функционала, задающего какой-либо информационный критерий качества (максимума информации, энтропии,
Рис. 1. Графическая иллюстрация теоремы о проекциях: (а) — область определения объекта (X, У); (б) — область пространственных частот объекта (и, V).
(а)
(б)
X и
Рис. 2. Пример шести проекций: (а) — геометрия проекций в области объекта (X, У); (б) — соответствующее заполнение области пространственных частот объекта (и, V); цифрами обозначены номера проекций.
^-дивергенции и т.п.) при условии выполнения линейных или нелинейных ограничений, вытекающих из данных [17]. В нашем случае критерий максимума энтропии в форме Шеннона заключается в нахождении максимума следующего функционала:
Е =
где х(1> — искомое распределение, а в качестве данных служат, в соответствии с теоремой о проекциях, отсчеты пространственного фурье-спектра источника, приводящие к линейным ограничениям типа равенства.
Поскольку численное моделирование предполагает работу с цифровыми данными, то приведем дискретную постановку задачи оптимизации. Пусть карта объекта с конечным носителем дискрети-зирована в соответствии с теоремой Шеннона— Котельникова и имеет размер Ж х Ж пикселов. Дискретные отсчеты искомого распределения обозначим как
хы,
к, I = 1,...,Ж - 1.
Известные отсчеты двумерного спектра Фурье объекта, представляющие собой данные в соответствии с теоремой о проекциях, обозначим следующим образом, выделив вещественную Ат
и мнимую Вт части:
Хт _ Ат + jBm, Ш = 1,...,М,
где М — число известных отсчетов; ш — номер текущего отсчета с известными координатами (ит, vm) на UV-плоскости, не обязательно находящимися в узлах координатной сетки. Отметим, что последнее обстоятельство говорит об отсутствии проблем с пикселизацией данных в частотной области, что является определенным техническим преимуществом рассматриваемого метода по сравнению с другими методами [1], сущест
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.