АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 2, с. 216-225
АКУСТИКА ОКЕАНА, ГИДРОАКУСТИКА
УДК 534.222.1
ВОССТАНОВЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ТЕМПЕРАТУРЫ ОКЕАНА ПО ИЗМЕРЕНИЯМ ВРЕМЕНИ ПРОБЕГА ЗВУКОВЫХ ИМПУЛЬСОВ
© 2007 г. А. Л. Вировлянский, А. Ю. Казарова, Л. Я. Любавин
Институт прикладной физики РАН 603950 Нижний Новгород, ул. Ульянова 46 E-mail: viro@hydro.appl.sci-nnov.ru Поступила в редакцию 25.05.06 г.
Получена приближенная формула, позволяющая выразить вариации времени прихода лучей через усредненные по трассе характеристики температурных неоднородностей. С помощью этой формулы удается существенно уменьшить недоопределенность обратной задачи, возникающую при восстановлении климатических изменений средней температуры океана по данным акустических измерений. Эффективность обсуждаемого подхода подтверждена результатами численного моделирования.
PACS: 43.30.Qd, 43.30.Pc, 43.30.Cq
1. ВВЕДЕНИЕ
В большинстве схем акустического мониторинга температурных полей океана основными измеряемыми величинами, используемыми в качестве входных параметров при решении обратной задачи, являются времена пробега звуковых импульсов вдоль лучей, соединяющих источник и приемник [1-3]. Для краткости их называют временами прихода лучей. Даже на дистанциях порядка тысячи километров данные величины являются устойчивыми характеристиками звукового поля. Кроме того, существует сравнительно простая связь между вариациями времени прихода лучей и соответствующими (подлежащими восстановлению) вариациями температурных неоднородностей. Формулу, выражающую эту связь, мы приведем для ситуации, когда горизонтальной рефракцией можно пренебречь и рассматривать распространение звука в двумерной среде с координатами г (дистанция) и г (глубина). Поле скорости звука представим в виде
c ( r, z) = Со (r, z) + 5c (r, z),
(1)
прихода т-го луча под влиянием возмущения -определяется вариациями скорости звука вдоль невозмущенной траектории луча г = гт(г). В этом приближении [1, 4]
л
—1dr5c (r,:
п(r)).
(2)
Начиная с классической работы Манка и Вун-ша [1], формула (2) многими авторами рассматривается как основа для формулировки обратной задачи [2, 5-9]. Поле неоднородностей 5с(г, г) должно быть представлено в виде функции некоторого конечного числа параметров, которые восстанавливаются путем решения системы из М уравнений (2). При параметризации поля 5с(г, г) его, как правило, представляют в виде разложения
N
5c(r, z) = X an(rn(z),
(3)
где с0(г, г) - невозмущенное поле, а 5с(г, г) - малое возмущение, с точностью до постоянного множителя повторяющее возмущение температурного поля. Разброс значений скорости звука в морской воде обычно не превышает нескольких процентов, и поэтому существует величина с, удовлетворяющая условию | с - с0| < с0 при любом г. Будем считать, что имеются М лучей, соединяющих источник и приемник. Предполагая малость возмущения 5с, в первом приближении можно пренебречь вариациями их траекторий, вызванными возмущением. При этом тт - изменение времени
где уи(г) - эмпирические ортогональные функции (ЭОФ) [6, 8]. В сумме учитывают первые N функций, дающих основной вклад в 5с(г, г). Тогда
N R
Tm = --2 Xjdran(r)Yn(zm(r)).
(4)
n = 1 0
Следующий шаг состоит в аппроксимации функций ап(г) конечным отрезком ряда Фурье [8]
n (r) = X Qnk^k (r),
(5)
k = 1
о
n = 1
K
a
где функции Нк(г) представляют собой синусоиды и косинусоиды с пространственными частотами, кратными 2п/К. Подставляя (5) в (4), получаем систему М линейных уравнений
Тт = -1 XX Ек(Г^„(гт(Г))
N К
К
(6)
¡=1 к=1
0
с N х К неизвестными Qnk.
На практике эта система оказывается сильно недоопределенной. Ведь количество ее уравнений М определяется числом лучей, приходы которых удается надежно разрешить и идентифицировать. Эксперименты по дальнему распространению звука в океане (на дистанциях от сотен до тысяч километров) показывают, что обычно имеется не более одного-двух десятков таких лучей [3, 5, 8]. С другой стороны, очевидно, что описание поля неоднородностей 5с(г, 2) на трассах порядка 1000 км требует задания гораздо большего числа параметров. Поэтому получение детальной информации о структуре поля по данным акустических измерений представляется практически невозможным. Однако, даже если нас не интересуют мелкие детали температурных полей и мы хотим восстановить лишь среднюю температуру океана, то все равно в качестве первого шага должны найти все N х К неизвестных Qnk. При этом мы, вообще говоря, не можем сократить число неизвестных за счет более грубой параметризации неоднородностей.
В данной работе предложена альтернативная схема реконструкции средней температуры, базирующаяся на полученном нами упрощенном варианте формулы (2). Здесь показано, что в случае достаточно плавных неоднородностей скорости звука 5с(г, 2) вариации времен прихода лучей тт удается выразить через параметры неоднородностей, усредненные по дистанции. В наиболее простом случае, когда невозмущенный волновод является плоскослоистым, то есть с0 не зависит от г, неизвестными служат не коэффициенты разложения ап(г), а интегралы ^а„ (г)ёг. Это позволяет
кардинально - в К раз - уменьшить количество параметров, подлежащих восстановлению. На длинных трассах величина К может достигать нескольких десятков [9].
2. ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЛАВНЫХ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ
Для преобразования формулы (2) воспользуемся гамильтоновым формализмом. Углы скольжения лучей будем считать столь малыми, что для расчета траекторий можно применять приближение параболического уравнения [4, 10]. Это упрощающее предположение не является прин-
ципиальным. Мы принимаем его лишь потому, что параболическое уравнение легко решается численно [4, 10] и далее (в разд. 4) это будет использовано при проверке применимости нашего подхода на конкретном примере. Полученные результаты легко обобщаются на случай произвольных углов скольжения.
Хорошо известно, что лучевые уравнения могут быть представлены в виде уравнений Гамильтона [11, 12]
ё2 ёг
дН ёр др ёг
дН ~ д 2 '
(7)
В малоугловом приближении гамильтониан Н принимает вид
где
Н = Р- + и( г, 2),
и( г, 2 ) = 1Г1-
¿У с (г, 2)
(8)
(9)
Переменная р является аналогом механического импульса. Она связана с углом скольжения луча % соотношением р = tg %. Пользуясь условием |5с| <§ С, представим гамильтониан в виде Н = Н0 + У, где
Но = Р + и0 (2)
невозмущенная компонента и У( г, 2) = 5с (г, 2 ) 1С
(10)
(11)
- малое возмущение.
От канонических переменных импульс-координата перейдем к новым переменным действие-угол. Прежде всего заметим, что в невозмущенном волноводе гамильтониан Н0(р, 2) сохраняется вдоль лучевой траектории (это закон Снеллиуса -аналог закона сохранения энергии в механике) и
согласно (10) соотношениер = 72[Н0 - и0(2)] задает импульс как функцию гамильтониана Н0 и координаты 2. Переменная действия I выражается интегралом [13]
I =
"шах
1 | ё^2 [Н0- и0 (2)], (12)
где 2ш;п и 2шах - это корни уравнения и0(2) = Н0, задающие горизонты поворота лучевой траектории в невозмущенном волноводе. Фактически уравнение (12) определяет Н0 как функцию I. Каноническое преобразование
р = р(I, 0), 2 = 2(I, 0),
(13)
2
связывающее переменные импульс-координата (р, г) и действие-угол (I, 0), определяется соотношениями [12, 13]
= dG 0 = dG
dz' dI'
где
(14)
Коэффициенты разложения задаются интегралами
D zmax
V( r, z)dz
V
r)_ D IV(r Z(p))dp _ DI J2m
- U(z) ] (20)
G(I z) _ I dzJ2IH0(1) - U(z)] (15) Vq(I, r) = DI V(r, Z(p))cos(qю(I)p)dp, q > 0,
- производящая функция. На первом полуцикле траектории (от минимума до следующего максимума) угловая переменная 0 (ее не следует путать с углом скольжения луча) меняется от 0 до п. Заданное таким образом преобразование продолжается на интервал от п до 2п с помощью соотношений р(1, 0) = -р(1, 2п - 0) и г(1, 0) = г(1, 2п - 0). Согласно данному определению переменная 0 лежит в интервале от 0 до 2п. Чтобы сделать ее непрерывной, мы, как это принято, будем увеличивать 0 на 2п в начале каждого нового цикла. В соответствии с выбранным определением производящей функции каждый цикл траектории соединяет два ее последовательных минимума. Величины р и г станут периодическими функциями непрерывной 0 с периодом 2п.
В переменных действие-угол лучевые уравнения в невозмущенном волноводе принимают предельно простой вид
dI _ dHo _ 0 d0 _ dr~ Ж"0, Tr _ Ю( I),
(16)
где
ю(I) _
d H o(I) dI
2n D
(17)
- угловая частота пространственных осцилляции траектории (D - длина цикла луча). Таким образом, невозмущенная траектория задается уравнениями I = const и
0 _ 0(0) + ю(I)r.
(18)
V(I, 0, r) _ X Vq(I, r)cos(q0).
(19)
(21)
где функция Х(р) выражает зависимость координаты г лучевой траектории с переменной действия I от дистанции на цикле осцилляций невозмущенной траектории.
В переменных действие-угол формула принимает вид
тт _ XIdrV((!m, r)cos[qro(Im)r + q0m(0)]
q _ 0 0
(22)
где 1т и 0т - действие и угол невозмущенной траектории т-го луча, попадающего в точку приема. Период косинуса в q-м слагаемом равен где Бт - длина цикла т-го луча. Естественно ожидать, что характерные масштабы зависимости коэффициентов У^1т, г) от аргумента г имеют тот же порядок величины, что и продольный масштаб возмущения 5с. Если этот масштаб превышает длину цикла луча Вт, то в сумме (22) можно отбросить все члены, кроме нулевого. При этом
_ -СIdrV,(Im, r).
(23)
Заменяя 5с(г, г) в правой части (11) функцией 5с(г, г(1, 0)), находим выражение для возмущения в терминах переменных действие-угол. Оно будет периодической функцией 0, и поэтому его можно представить в виде ряда Фурье
q _0
Подставляя (20) в (23), легко убедиться, что при условии г > В наше приближение означает замену реального переменного по трассе поля скорости звука (1) эффективным плоскослоистым полем
fz) _ С0(z) + |I5c(r, z)dr. (1а)
Замена формулы (22) (эквивалента (2)) на (23) является главным результатом данной работы. В препринте [14] на конкретном примере показано, что данное приближение - будем называть его приближением плавных неоднородностей - неплохо работает даже в том случае, когда характерные масштабы неодно
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.