ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, 2012, том 31, № 4, с. 37-44
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
УДК 539.1.01
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА ПО ДАННЫМ РАССЕЯНИЯ МЕТОДОМ ВАРЬИРУЕМОЙ ГРАНИЦЫ С ПРИМЕНЕНИЕМ
ПОТЕНЦИАЛОВ БАРГМАНА © 2012 г. Д. И. Абрамов*, В. С. Марьясин
Санкт-Петербургский государственный университет *Е-таП: abramov472007@yandex.ru Поступила в редакцию 12.04.2011
Предлагается эффективный численный метод решения квантовой обратной задачи рассеяния с фиксированным угловым моментом. Он основан на комбинировании предложенного ранее метода варьируемой границы с методом потенциалов Баргмана. Проведенные тестовые расчеты показывают высокую эффективность метода в различных случаях, в частности, когда имеются связанные состояния и резонансы.
Ключевые слова: потенциал взаимодействия, обратная задача рассеяния.
1. ВВЕДЕНИЕ
Проблема восстановления центрального потенциала по данным рассеяния занимает ключевое место в обширном круге обратных задач, связанных с определением характеристик взаимодействия между частицами из экспериментальных данных. Основные методы ее решения и области приложения приводятся в монографии [1]. Важное теоретическое и прикладное значение имеют результаты классического и квазиклассического анализа обратной задачи, проведенного Юрием Николаевичем Демковым с сотрудниками [2—5].
Для квантовой постановки актуальным является развитие математических методов и разработка эффективных численных алгоритмов (см. [6] и ссылки в этой работе). Это связано с бурным ростом вычислительных возможностей и количества прикладных проблем, требующих численного решения.
В квантовой обратной задаче рассеяния с фиксированным моментом I, которая рассматривается в настоящей работе для случая I = 0, наиболее распространенными расчетными методами являются методы, основанные на уравнениях Гель-фанда—Левитана и Марченко [1]. На том или ином этапе они требуют численного решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода, что в общем случае представляет собой достаточно сложную задачу. В то же время для случаев, когда ядро интегрального уравнения вырождено, оно допускает простое, чисто алгебраическое, решение.
Подход, развиваемый в настоящей работе, не содержит процедуры численного решения урав-
нения Фредгольма с ядром общего вида, используются только вырожденные ядра, причем лишь в необходимых случаях. Основные численные расчеты проводятся методом варьируемой границы (ВГ), который предложен в [7, 8] и существенно отличается от метода Гельфанда—Левитана. Он весьма прост при численной реализации, поскольку сводится к решению задачи Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка. Этот метод, как показывают расчеты, обеспечивает вычислительные преимущества и высокую точность при достаточно гладкой зависимости данных рассеяния, т.е. спектральной функции, от энергии. В тех случаях, когда имеются связанные или квазистационарные состояния и гладкость нарушается, его эффективность снижается.
Целью работы является разработка эффективного комбинированного метода, в котором вычислительные преимущества метода ВГ дополнялись бы возможностью решить существенную часть задачи чисто алгебраически на основе уравнения Гельфанда—Левитана с вырожденным ядром. В предлагаемом подходе искомый потенциал строится как потенциал Баргмана для некоторого вспомогательного потенциала, соответствующего гладким начальным данным. С этой целью данные рассеяния представляются в подходящей форме, и процесс восстановления потенциала делится на два этапа. На первом этапе путем численного расчета методом ВГ строится вспомогательный потенциал, не имеющий ни связанных, ни квазистационарных состояний. На втором этапе чисто алгебраически, с использованием техники потенциалов Баргмана, рассматриваются особенности
спектральной функции, обусловленные связанными и квазистационарными состояниями, и получается окончательный результат. Причем связанные состояния учитываются фактически тем же методом, что и квазистационарные. Это существенно отличается от сделанного в [8], где энергии и нормировочные константы связанных состояний рассматривались как функции от варьируемой границы промежутка.
1. МЕТОД ВАРЬИРУЕМОЙ ГРАНИЦЫ 1.1. Постановка задачи
Рассмотрим радиальное уравнение Шрединге-ра, соответствующее фиксированному моменту I = 0:
у"(к,г) + [к2 - и(г)]у(к,г) = 0, 0 < г < да, (1) в котором потенциал и(г) удовлетворяет условию
j\U(r)|(r + 1)dr < да.
(2)
В качестве линейно-независимой системы решений возьмем регулярное в нуле решение ф(к, г) и решение Йоста/(к, г), определенные граничными условиями в нуле и на бесконечности соответственно:
ф(к,0) = 0, — ф(к, 0) = 1, dr
(3)
f (к, r)-
exp(Zkr), ik exp(ikr).
(к, г)-
йг
Функция Йоста определяется как решение Йоста при г = 0:
F (к) = / (к, 0).
Связанному состоянию с энергией Е) = -ж2 < 0 соответствует нуль функции Йоста на положительной мнимой полуоси к = /ж у-. В этом случае квадратично интегрируемая волновая функция связанного состояния будет определять нормировочные константы:
Cj =
j| фО'ж j, r
dr.
Обратная задача рассеяния с фиксированным моментом сводится к восстановлению потенциала и(г) по спектральной плотности, которая определяется данными рассеяния. Они включают модуль функции Йоста ^(к)| = \/(к, 0), заданный при всех положительных к, энергии связанных состояний Е. и нормировочные константы С. Вместо функции ^(к)| может быть задана фаза рассеяния
8 (к) при всех положительных к, так как она связана с ^(к)| известным интегральным соотношением [1].
Как хорошо известно [1], если потенциал удовлетворяет условию (2), обратная задача имеет единственное решение.
1.2. Сведение обратной задачи рассеяния к задаче Коши
В [7, 8] был предложен оригинальный метод решения обратной задачи, при котором она сводится к задаче Коши для некоторого нелинейного уравнения. Этому уравнению удовлетворяет спектральная плотность задачи на промежутке с варьируемой границей, поэтому мы называем указанный метод методом варьируемой границы (ВГ). В настоящей работе он используется для вычисления вспомогательного потенциала, не имеющего связанных состояний. Поэтому изложим его кратко для случая, когда связанных состояний нет, и основной исследуемой величиной является модуль решения Йоста А(к, г) = \/(к, г )|, определяющий спектральную плотность задачи на промежутке [г, да) с варьируемой границей г [7].
Решение Йоста представляется при вещественных к в виде
/ (к, г) = А(к, г )ехр(/Ф(к, г)).
Подставив это выражение в уравнение Шредин-гера (1) и приравняв нулю вещественную и мнимую части, получим соотношение между модулем и фазой решения Йоста
дФ(к, r) __к
dr A 2(к, r) и уравнение Милна для функции A(k, r):
дЩП + [к2 - U(r)]A(k,r) = -кк—. dr A (к, r)
2
(4)
(5)
С другой стороны, из аналитичности/(к, г) в верхней полуплоскости к следует выражение А(к, г) через Ф(к, г) в виде интеграла по к в смысле главного значения [7]:
ln А(к, r) = 1 p.v. [ П J
Ф(к', r) - к' r
v. I—-dк',
n J к - к
(p.v. — principal value). Дифференцируя это равенство по r и используя (4), получаем интегро-диф-ференциальное уравнение для A(k, r):
дА(к, r) _ Акт) pv. f к [А Лк', r) -1] —к.
dr
п
к' - к
0
0
ж
Его целесообразно преобразовать к виду, удобному для численных расчетов, не содержащему сингулярных интегралов. Используя равенства
А(-к, г) = А(к, г), р.у. [ ?к' 2 = 0,
•"к - к2
о
получаем основное интегро-дифференциальное уравнение метода в виде
дА(к, г) = 2А(к, г) х дг п
х У[А-\к', г) - 1] - к2[А-\к, г) - 1]^.
•I к'2 - к2 '
ров, локализованных на некотором расстоянии от нуля. Причиной этого служит появление резо-нансов. Рассмотрим для примера потенциал
(6)
и (г) =
Уо
При создании численного алгоритма это уравнение удобно рассматривать как бесконечную непрерывную систему нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка по г для функций Л(к, г), пронумерованных непрерывным индексом к. Функции (к) = А(к, 0) при этом играют роль начальных условий, заданных при г = 0. Таким образом, обратная задача рассеяния фактически сводится к задаче Коши для уравнения (6), поскольку после нахождения Л(к, г) потенциал и(г) легко вычисляется с помощью уравнения Милна (5).
2. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ 2.1. Вычислительные трудности
Изложенный выше метод ВГ по идеологии весьма близок к методам, используемым при решении прямой задачи рассеяния, когда для повышения эффективности вычислительных алгоритмов переходят от линейного уравнения Шредин-гера к нелинейному уравнению Милна для модуля волновой функции [9, 10] или к уравнению Риккати для ее фазы [11, 12]. Вычислительные преимущества при этом обусловлены тем, что в отличие от самой волновой функции ее фаза и модуль являются во многих случаях гладкими, медленно меняющимися функциями.
Аналогичная ситуация имеет место и в обратной задаче. Результаты вычислений методом ВГ, приведенные в [8], показывают, что метод обеспечивает весьма высокую точность, если представляющая данные рассеяния функция Л(к, 0), а также обратная величина Л-1(к, 0) есть достаточно гладкие функции к, что реализуется, например, для монотонных потенциалов отталкивания.
Однако при наличии у функции Л-1(к, 0) острых максимумов точность вычислений падает, причем алгоритм может стать нестабильным. Расчеты и анализ, проведенные в настоящей работе, показывают, что ухудшение точности происходит для достаточно высоких потенциальных барье-
2 - (7)
ео8И2[2(г - а)]
представляющий собой потенциальный барьер высотой У0 на расстоянии а от нуля. В зависимости от величины параметров У0 и а в системе могут существовать резонансы — квазистационар -ные состояния частицы, запертой в сферической области, ограниченной барьером. Каждому резонансу соответствует нуль функции Йоста Ш(к) в нижней полуплоскости, в точке к = ж - ¡к, расположенной вблизи от вещественной оси: X < ж [13]. На самой вещественной оси, в окрестности точки к = ж, резонансу соответствует минимум модуля функции Йоста Л(к, 0), т.е. острый максимум спектральной плотности, которая пропорциональна Л-1(к, 0).
Сказанное иллюстрируется рис. 1, где изо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.