ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2011, том 438, № 4, с. 475-479
МЕХАНИКА
УДК 532.592
ВОЗБУЖДЕНИЕ ПРОГРЕССИВНО-СТОЯЧИХ ВОЛН ФАРАДЕЯ © 2011 г. В. А. Калиниченко, С. Я. Секерж-Зенькович
Представлено академиком В.Ф. Журавлевым 28.01.2011 г. Поступило 28.01.2011 г.
Гравитационные поверхностные волны в вертикально колеблющемся сосуде с жидкостью, которые возбуждаются при параметрическом резонансе и имеют период, в два раза больший периода возбуждения, названы в [1] волнами Фарадея. Эти волны считаются стоячими, поскольку во всех лабораторных экспериментах наблюдалось, что пучности волн не перемещаются по горизонтали, а узлы волн совершают лишь малые горизонтальные колебания. Уточним, что в экспериментах использовались цилиндрические сосуды, плоское дно которых было прямоугольным или круглым.
В настоящей работе представлены результаты экспериментального исследования волн Фара-дея, отличных от стоячих. Волны наблюдались на свободной поверхности воды в цилиндрических сосудах, основание которых имело клиновидное заострение.
Амплитуда вертикальных колебаний каждого
Т
сосуда ^ = 0.8 см, а период — был различным для
разных сосудов. Возбуждаемая в каждом сосуде волна имела период Т, что характерно для волн Фарадея [2]. Волновые движения жидкости во всех изучаемых случаях регистрировались видеосъемкой в системе отсчета, связанной с колеблющимся сосудом. Поскольку наблюдаемые волны были практически плоскими, сначала снимали волновые профили и по результатам их анализа делали вывод о характере наблюдаемой волны. Затем для проверки анализировались траектории частиц-трассеров. Глубина воды во всех сосудах к = 3.6 см, а длина волн 30 см.
Форма основания первого сосуда изображена на рис. 1а, где Ь = 60 см, I = 25 см, Ь = 2.7 см. Была возбуждена волна с периодом Т = 0.586 с, что в два раза больше периода колебаний сосуда. Однако ее нельзя назвать обычной волной Фарадея по следующей причине.
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской Академии наук, Москва
На рисунке 1б показаны профили волны, сняТ
тые с шагом по времени —. Обсудим сначала
10
свойства волны в прямоугольной области сосуда. Для их выявления через гребень, расположенный в середине этой области, проведена вертикальная прямая. На втором и третьем кадрах видно, что высота этого гребня уменьшается, а на кадрах 8— 10 увеличивается. На кадрах 4—7 на месте гребня видна подошва волны. Такое изменение во времени волнового профиля вдоль фиксированной вертикальной прямой является типичным для пучности стоячей волны в сосуде с прямоугольным основанием. Естественно предположить, что и в рассматриваемом сосуде середина его прямоугольной части соответствует пучности стоячей волны. Вторая пучность на всех кадрах видна на правой стенке сосуда. Если бы все основание сосуда было прямоугольным, то длина стоячей волны была бы Ь. Кроме того, у стоячей волны во 2
всем сосуде было бы четыре узла, т.е. можно было бы говорить о возбуждении четвертой волновой моды. При этом самый правый узел стоячей волны был бы расположен между указанными пучностями. Левее, через интервалы Ь располагались бы три оставшихся узла.
Другими свойствами обладает часть волны в левой, заостренной, части сосуда. Для их трактовки на рис. 1б проведена наклонная прямая от передней части гребня волны на кадре 3 до передней части гребня волны на кадре 10. На промежуточных кадрах около этой прямой пучность волны также прослеживается, правда, ее высота и форма меняются. Простейший расчет показал, что если вдоль проведенной прямой перемещался бы гребень прогрессивной волны постоянной высоты в сосуде с прямоугольным основанием, то его скорость была бы 59.4 см/с, а измеренная по данным рис. 1б скорость распространения гребня оценивается как 67.8 см/с. Поэтому было предположено, что часть волны в рассмотренной области сосуда обладает свойствами волны прогрессивной. В итоге по результатам анализа волновых профилей был сделан вывод, что наблюдаемую во всем
КАЛИНИЧЕНКО, СЕКЕРЖ-ЗЕНЬКОВИЧ (а) „_[_„
1*Ь
(б)
Ь
1 2
7 ГГ
3 0 -3
(в)
1 411... I
0
30
60
Рис. 1. Прогрессивно-стоячие волны в сосуде с клиновидной частью: а — основание сосуда, Ь = 60 см, I = 25 см,
Т
Ь = 2.7 см; б — волновые профили, Т = 0.576 с, Ы = —; в — огибающие свободной поверхности и траектории частиц-трассеров.
сосуде волну можно охарактеризовать как прогрессивно-стоячую волну Фарадея. По нашим сведениям, впервые термин "прогрессивно-стоячая волна" был введен при анализе приливно-отливных явлений в проливах [2].
Для проверки сформулированного по результатам анализа волновых профилей вывода исследованы траектории частиц-трассеров в толще воды. Сначала на рисунок нанесли все волновые профили и построили их верхнюю и нижнюю огибающие. Затем на этот же рисунок были нанесены траектории частиц-трассеров нейтральной плавучести, полученные после обработки материалов видеосъемки движения отдельной частицы в течение нескольких периодов волны.
Полученные траектории частиц-трассеров и огибающие волновых профилей приведены на рис. 1в. Сначала проверялся вывод о том, что в середине правой половины прямоугольной области сосуда располагается пучность стоячей волны.
Из рис. 1в видно, что здесь траектории имеют форму отрезков прямых, близких к вертикальным. Так что правильность вывода подтвердилась. Более того, при удалении вправо от пучности траектории остаются отрезками прямых, причем они отклоняются от вертикали и становятся близкими к горизонтальным в той области, где должен располагаться узел волны.
Левее рассмотренной пучности видны замкнутые траектории частиц-трассеров типа эллипсов. Это подтверждает сделанный выше вывод о том, что в клиновидной части сосуда наблюдаемая часть волны проявляет свойства волны прогрессивной, для которой траектории частиц имеют вид эллипса, вытянутого в направлении распространения волны.
Итак, анализ траекторий частиц-трассеров подтвердил вывод, что наблюдаемая волна может быть охарактеризована как прогрессивно-стоячая волна Фарадея.
(а)
(б)
Ь
1*Ь
9 6 3 0 -3
(в)
........ Ж.*...........
ы.........
А %
0
30
60
Рис. 2. Прогрессивно-стоячие волны в сосуде с основанием в виде прямоугольного треугольника: а — основание сосуТ
да, Ь = 60 см, Ь = 5.4 см; б — волновые профили, Т = 0.524 с, = —; в — огибающие свободной поверхности и траектории частиц-трассеров.
Прогрессивно-стоячая волна Фарадея, имеющая период Т = 0.524 с, была также возбуждена и в изображенном на рис. 2а сосуде с основанием в форме вытянутого прямоугольного треугольника с катетами Ь = 60 см и Ь = 5.4 см. Волну изучали описанным выше способом. На рис. 2б представлены профили волны, снятые с шагом по времени
Т, и на рис. 2в изображены верхняя и нижняя 9
огибающие профилей, а также траектории ча-
стиц-трассеров. Как и в рассмотренном выше сосуде (рис. 1), правая часть волны в более широкой области сосуда обладает свойствами стоячей волны. Пучность этой волны расположена в окрестности вертикальной прямой подобно тому, как это было на рис. 1б. Левая часть волны проявляет свойства прогрессивной волны. Наклонная прямая на кадрах 3—9 показывает примерное положение гребня прогрессивной волны в последовательные моменты времени.
1
478
КАЛИНИЧЕНКО, СЕКЕРЖ-ЗЕНЬКОВИЧ
3 0 -3
(а)
Л шт
(б)
Ь
(в)
л л
#
¿л" Ч д
¿А*
V
30
60
Рис. 3. Стоячие волны в сосуде с трапецеидальным основанием: а — основание сосуда, Ь = 60 см, Ьшщ = 0.2 см, Ьшщ =
Т
= 5.4 см; б — волновые профили, Т = 0.554 с, Дt = —; в — огибающие свободной поверхности и траектории частиц-трассеров.
Рисунок 2в подтверждает выводы анализа волновых профилей. Видно, что в середине правой половины широкой области сосуда, т.е. в предполагаемом месте нахождения пучности стоячей волны, траектории частиц-трассеров имеют форму отрезков прямых линий, как и на рис. 1в. Правда, на рис. 2в они больше отклонены от вертикальной прямой, чем на рис. 1в. Область сосуда, в которой по сделанным выше выводам левая часть волны должна проявлять свойства волны прогрессивной, расположена примерно в середине сосуда и немного левее середины. Из рис. 2в видно, что в этой области траектории частиц-
трассеров действительно являются замкнутыми кривыми.
Если немного изменить форму основания сосуда и перейти к трапецеидальному основанию Ь = 60 см, Ьт1п = 0.2 см, Ьтах = 5.4 см (рис. 3а), то картина волновых движений жидкости принципиально меняется. В сосуде с таким трапецеидальным основанием была возбуждена, как и ранее, четвертая волновая мода. Ее период был равен Т = 0.554 с. Волну излучали так же, как в предыдущих случаях. На рис. 3б представлены волновые профили и на рис. 3в — верхняя и нижняя огибающие волновых профилей, а также траектории частиц-трассеров.
Ь
6
Волновые профили на большинстве кадров рис. 3б представляются симметричными относительно вертикальных прямых, проходящих через пучности волн, а траектории трассеров на рис. 3в изображаются отрезками прямых. Таким образом, получен неожиданный результат. Несмотря на малость Ьт{п = 0.2 см, волновые движения жидкости в сосуде с трапецеидальным основанием могут быть отнесены к стоячим волнам.
Таким образом, в условиях резонанса Фарадея на свободной поверхности воды были возбуждены прогрессивно-стоячие волн в двух вертикально колеблющихся цилиндрических сосудах с заостренными основаниями. Выяснено, что нали-
чие заострения является необходимым условием возбуждения таких волн.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 11-01-00247 и 11-01-00973).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Miles J.W, Henderson D. // Ann. Rev. Fluid Dyn. 1990.
V. 22. P. 143-165.
2. Калиниченко В.А., Секерж-Зенькович С.Я. // Изв.
РАН. МЖГ. 2007. № 6. С. 120-126.
3. Крылов Ю.М. // Метеорология и гидрология. 1946.
№ 2. С. 69-74.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.