УДК 524.386
ВОЗМОЖНОСТИ АНАЛИЗА РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ЯРКОСТИ ДЛЯ КОМПОНЕНТОВ ЗАТМЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ПО ДАННЫМ ВЫСОКОТОЧНОЙ ФОТОМЕТРИИ
© 2007 г. М. Б. Богданов1, А. М. Черепащук2
1Университет им. Н.Г. Чернышевского, Саратов, Россия 2Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга, Москва, Россия Поступила в редакцию 15.09.2006 г.; после доработки 27.12.2006 г.
Приведены результаты численных экспериментов по оценке возможностей анализа распределений яркости для компонентов затменных переменных звезд по данным высокоточной фотометрии, которая может быть реализована с помощью разрабатываемых специализированных спутников COROT и Kepler. Рассматривалась простая модель затменной с шаровыми компонентами на круговых орбитах и линейным законом потемнения дисков к краю. Решения кривых блеска получались как с помощью подбора нелинейной модели, в число параметров которой входили коэффициенты потемнения к краю, так и путем решения обратной некорректно поставленной задачи восстановления распределений яркости без использования жестких модельных ограничений на их форму. Полученные оценки показывают, что если точность регистрации кривой блеска достигнет значения 10~4 (на порядок выше точности наземной фотометрии), то коэффициенты потемнения к краю могут быть найдены с относительной погрешностью 0.01. Приблизительно с такой же точностью восстанавливаются и распределения яркости по дискам звезд.
PACS: 97.80.Hn
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время анализ кривых блеска затменных переменных остается основным источником информации о размерах звезд и распределениях яркости по их дискам. Это справедливо для большинства типов звезд. Для звезд-гигантов поздних спектральных классов подобная информация получается, в основном, с использованием наблюдений покрытий Луной и интерферометри-ческих методов, которые, однако, не могут конкурировать по точности с результатами исследований затменно-двойных. Существенного прогресса в этой области можно ожидать только с развитием космических интерферометров. Распределения яркости для нескольких звезд удалось исследовать также с помощью наблюдений гравитационных линз и прохождения планет по диску. Получаемые данные представляют большой интерес для астрофизики. Особенно это касается распределений яркости по диску, изучение которых позволяет тестировать модели звездных атмосфер независимо от спектрального анализа.
Интерпретация кривых блеска затменных переменных является классической задачей астрофизики, методы решения которой хорошо разработаны. Описание этих методов можно найти в моно-
графиях [ 1 —3] и статьях [4, 5]. Как и для любой обратной задачи их можно разделить на две группы: подбор модели затменной с заданными законами потемнения к краю дисков звезд и восстановление распределений яркости по дискам компонентов без использования жестких модельных ограничений. Оба подхода хорошо зарекомендовали себя на практике. Однако точность наземной фотометрии (относительная погрешность е > 10_3), которая для ярких объектов определяется вариацией прозрачности атмосферы и атмосферным мерцанием звезд, существенно ограничивает возможности получения информации о распределениях яркости.
Планируемые запуски специальных спутников COROT и Kepler позволяют ожидать значительного повышения точности фотометрии ярких объектов, вплоть до е = 10_5, что вновь привлекает внимание к задаче анализа кривых блеска за-тменных переменных. Как уже не раз бывало в истории, повышение точности измерений на порядок способствует обнаружению новых эффектов. В частности, можно будет оценить отличия распределения яркости от линейного закона, обнаружить гравитационное потемнение и пятна на дисках звезд, а также зарегистрировать низкие моды колебаний фотосферы звезды. Оценки степени влияния
некоторых из этих эффектов на кривую блеска затменной приведены в работе [6]. Там же даны ссылки на публикации результатов аналогичных исследований по решению подобных прямых задач.
Цель настоящей работы — оценка возможностей решения обратной задачи получения информации о распределениях яркости по дискам компонентов затменной переменной из анализа высокоточных кривых блеска. Мы выбрали для анализа простую модель затменной системы с шаровыми компонентами на круговых орбитах и линейными законами потемнения дисков к краю, так как в этом случае кривая блеска допускает достаточно простой расчет с точностью, определяемой погрешностью численной оценки одномерных интегралов [1]. Это облегчает оценку влияния случайного шума на погрешность определения параметров модели и точность восстановления распределений яркости. Вместе с тем, данная модель может являться хорошим начальным приближением к решению кривых блеска разделенных систем, особенно для средних кривых, полученных за большой интервал времени. При этом влияние пятен, факелов и колебаний фотосферы звезды должно существенно сглаживаться. Планируемые режимы работы спутников COROT и Kepler предусматривают наблюдение выбранной области неба в течение многих месяцев, позволяя получать высокоточные средние кривые блеска.
2. МОДЕЛЬ КРИВОЙ БЛЕСКА
Распределения яркости по дискам компонент затменной переменной Ij (0) при линейном законе потемнения описывается выражением
Ij (0) = Ij (0)(1 - Xj + Xj cos 0),
где 0 — угол между лучом зрения и нормалью к поверхности фотосферы звезды, Ij (0) — яркость в центре диска j-го компонента, а Xj — его коэффициент потемнения к краю. Кривая блеска для данной модели lc(i, r1,L1,x1,r2, L2, x2, в) как функция фазы блеска в (0 < в < 1) зависит от семи параметров: угла наклона плоскости орбиты i, радиусов компонентов rj, измеренных в долях радиуса относительной орбиты (r1 > r2 ), их блесков Lj, связанных соотношением L1 + L2 = 1, а также коэффициентов потемнения Xj. Пусть А — расстояние между центрами дисков компонент, измеренное в тех же единицах, что и их радиусы. Введем в рассмотрение параметры k, p и q:
Г2 * (л I ? \ k(1+ p)
А = r1(1 + kp), q = •
k=
ri
k1
они связаны основным уравнением теории затмен-ных переменных [ 1]
rf(1 + kp)2 = cos2 i + sin2 i sin2 в.
Как известно [ 1], потери блеска затменной в выбранном минимуме 1 — I могут быть записаны с помощью соответствующих фаз а^(р, к):
1 — I = а (р,к)(1 — 1а),
где 1 — 1а — потеря блеска в момент внутреннего касания дисков звезд. В свою очередь, при линейном законе потемнения а^ (р,к) выражаются через фотометрические фазы для покрытия а'(р, к), прохождения а" (р, к) и фазу для равномерно ярких дисков а0(р, к). Подробные таблицы этих фаз были рассчитаны ранее и часто использовались для анализа кривых блеска. При современном уровне развития компьютеров расчет таблиц потерял свою актуальность, и мы используем эти традиционные функции фаз просто для удобства записи формул. В случае полного затмения компонента
х 3 3X2 о 2x2 /
а =-а +--а'.
3 — х2 3 — х2
Для частных фаз кольцевого затмения компонента
„х _ (1 — х1)а0 + х1Ф(к)а''
1 — х1 + х1Ф(к) ,
а для его кольцевых фаз
а'х = 1 + х1Ф(к)А(к)Х (д,к)
1 — х1 + х1Ф(к) .
Потеря блеска в момент внутреннего касания дисков описывается выражением
1 - lA = Li
Зк2 З — xi
[1 - xi + x^(k)].
Фаза а°(р,к) и функция Ф(к) выражаются через элементарные функции переменных р и к [1]. Две другие специальные функции, входящие в данные формулы, связаны с фазой а''(д, к):
X(q, к) =
а''(q, к) - 1
A(k) = а''(1, к) - 1.
а'' (1, к) — 1'
Таким образом, в основе расчета кривых блеска лежит вычисление фаз а'(р, к) и а''(р, к), выражающихся через одномерные определенные интегралы, которое требует численной оценки этих интегралов [1]. При вычислении данных фаз мы использовали подпрограмму DQAGE из библиотеки программ SLATEC, написанных на алгоритмическом языке ФОРТРАН. Подпрограмма реализует метод Гаусса—Кронрода с относительной погрешностью, принятой равной 10_12.
Для дальнейшего анализа была выбрана модель затменной переменной со следующими параметрами: i = 89.0°, п = 0.30, Ll = 0.30, х1 = 0.50, Г2 = = 0.20, L2 = 0.70, х2 = 0.30. Кривая блеска этой модели показана на рис. 1. В главном минимуме имеет место полное затмение, а во вторичном — кольцеобразное.
3. МЕТОД ПОДБОРА МОДЕЛИ
Наиболее распространенным подходом к анализу кривых блеска затменных переменных является метод подбора модели. Важные достоинства этого метода — хорошая устойчивость решения по отношению к шуму и возможность надежной оценки погрешности значений параметров модели. Недостаток — жесткие ограничения, налагаемые на возможный вид распределений яркости.
В качестве исходных данных мы брали модельную кривую блеска (рис. 1), искаженную влиянием случайного шума с дисперсией, постоянной в шкале звездных величин, для различных значений относительной погрешности е. Для генерации шума использовались псевдослучайные гауссовские числа АЦ с нулевым средним и единичной дисперсией. При этом отсчеты искаженной кривой блеска получались как l° = j(1 + еАЦ), где lj — отсчеты модельной кривой. С целью сравнения точности оценки геометрических параметров модели по разным минимумам мы провели подбор модели отдельно для главного и вторичного минимумов. В каждом из минимумов кривой блеска рассматривалось по N = 100 отсчетов на равномерных сетках вц.
Нахождение значений параметров модели, минимизирующих сумму квадратов уклонений, приводит к решению нелинейных задач оптимизации для главного минимума кривой блеска
N
[1°(вц) - lc(i, Г1,Г2, L2,x2, вц)]2 = min (1)
j=i
и для вторичного минимума
N
У£[1°(вц) - lc(i,ri,T2 ,L\,x\, вц )]2 = min. (2)
j=i
При решении этих задач мы использовали подпрограмму DNLS1 библиотеки SLATEC, минимизирующую сумму квадратов уклонений нелинейных функций с помощью модифицированного алгоритма Левенберга—Марквардта [7].
Кривая блеска для данной модели затменной нелинейно зависит от ряда параметров, что может приводить к наличию локальных минимумов невязки. Для проверки этой возможности мы выполнили ряд численных экспериментов по минимизации выражений (1) и (2) с различными начальными значениями параметров модели. При этом они отличались от точных значений до 2 раз в сторону увеличения или уменьшения. Во всех
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.