681.2:519.711.3
Возможности применения методов статистической обработки дискретизованных наблюдений при координатных измерениях сложнопрофильных поверхностей
Д. А. МАСТЕРЕНКО
Московский государственный технологический университет «СТАНКИН», Москва, Россия, e-mail: metrologycenter@gmail.com
Исследованы статистические методы оценивания результатов координатных измерений сложнопрофильных поверхностей по дискретизованным наблюдениям. Даны рекомендации по дополнению существующих методов регуляризации оптимизационных задач при вычислении значений геометрических параметров.
Кпючевые слова: дискретность наблюдений, оценивание измеряемых величин, сложнопрофильные поверхности.
The statistical methods of coordinate measurements results estimation for complex profile surfaces by strongly discretized observations have been studied. The recommendations on addition to existing methods of regularization of optimization problems during computation of geometric parameters values are given.
Key words: discretization of observations, estimation of measured values, complex profile surfaces.
В публикациях [1—5] описан подход к статистическому оцениванию измеряемых величин в ситуациях, когда случайный разброс, свойственный наблюдаемым данным (включая случайную погрешность измерений), сопоставим с диск-ретой отсчета используемого средства измерений. Показано, что неучтенная дискретность наблюдений приводит к воз-
Измеренные точки на реальной поверхности: 1, 2, 3 — номинальная, реальная и координатная поверхности, соответственно
никновению дополнительной систематической погрешности, которую можно уменьшить с помощью соответствующих статистических оценок. Такие оценки основаны на утверждении, что каждое из экспериментальных наблюдений у, / = 1, ..., п рассматривается не как вещественное число, а как представитель множества (отрезка) Q(y/■), определяемого дискретностью отсчета и способом округления. Зависимость между факторной и наблюдаемой переменными 0 оценивают исходя из модели, описывающей не плотность вероятностей у; 0), а дискретное распределение р(у; 0) вероятностей попадания в соответствующие отрезки Q(y).
Цель данной статьи — распространение указанного подхода на оценивание параметров сложнопрофильных поверхностей по координатам набора их точек. Методы анализа измеряемых величин по дискретным наблюдениям применяли в программно-математическом обеспечении коорди-натно-измерительных машин, разработанных совместно «НИИизмерения» и «СТАНКИН» [6, 7], но лишь для прямолинейных или плоских поверхностей и только при специальном их расположении, когда дискретизация присутствовала в отношении одной координаты. Однако задачи, связанные с измерением и контролем геометрических параметров сложнопрофильных поверхностей, широко распространены в машиностроении. Большое внимание таким задачам уделяют специалисты ВНИИМС [8—10].
Координатные измерения выполняют не только с помощью координатно-измерительных машин (трехкоординат-ные измерения), но и другими средствами, например универсальными и инструментальными измерительными микроскопами (двухкоординатные измерения). В настоящее время измерительные микроскопы оснащают средствами оцифровки и ввода изображений в компьютер, при этом дискретность отсчета связана с пиксельной структурой оцифрованного изображения [11, 12].
Переход от анализа зависимости, наблюдения которой искажены случайными слагаемыми, к оцениванию параметров сложнопрофильных поверхностей осложнен различиями моделей данных. Для постановки задачи используем следующую терминологию [10].
Номинальная поверхность — поверхность, форма и положение которой в конструкторской документации заданы без учета допускаемых отклонений одним из способов: аналитическим (параметрическим, векторно-параметрическим, явным или неявным уравнением); дискретным (набором точек, лежащих на поверхности); дискретно-аналитическим (набором уравнений на различных участках с заданными границами). При аналитическом или дискретно-аналитическом способах поверхность определяется, в основном, значениями параметров, входящих в уравнения.
Координатная поверхность — поверхность, имеющая форму номинальной, но смещенная и повернутая относительно нее. Применительно к аналитическому и дискретно-аналитическому способам задания сложнопрофильных поверхностей можно считать, что координатная поверхность описывается теми же уравнениями, что и номинальная, но с другими параметрами.
Реальная поверхность — поверхность, ограничивающая деталь и отделяющая ее от окружающей среды.
Локальные отклонения формы отсчитывают от координатной поверхности, которая чаще всего определена как средняя или прилегающая [13].
На рисунке схематически изображены номинальная, реальная и координатная поверхности. Координаты некоторого набора точек измеряют с погрешностью, поэтому точки показаны лежащими не точно на реальной поверхности. Отсчеты координат выполняют с дискретностью, так что результатом могут быть не любые вещественные числа, а лишь целые, кратные некоторой величине — дискрете. Если все рассматриваемые величины — и изменения номинальной и реальной поверхностей на исследуемом участке, и случай-н ы е о т кл о нения измер енн ы х т о ч е к о т координатн о й п о в е р х-ности — имеют порядок 10 дискрет и более, то последним обстоятельством можно пренебречь. Однако при измерениях с высокой точностью на небольших участках поверхностей значение дискретности отсчета возрастает.
Координатную поверхность строят с помощью программно-математического обеспечения на основании координат массива точек на реальной поверхности, измеренных с некоторой погрешностью, в том числе случайной. При этом используют методы статистического оценивания параметров уравнения, которым описывается поверхность.
В [10] рассмотрена поверхность, заданная уравнением, которое решено относительно координаты г и имеет вид линейной комбинации базисных функций, неизвестные коэффициенты которой оценены методом наименьших квадратов (МНК). Там же отмечено, что базисные функции могут входить в уравнение поверхности нелинейно. Более общее выражение имеет вид г = Ь(х, у; а1,..., а). При этом номинальной поверхности соответствуют значения параметров
методов, являющихся модификацией предложенных в [1—4]:
,а0, а для построения координатной требуется оценить
а01,
их действительные значения по измеренным координатам массива точек. Если дискретизация наблюдается в отношении координаты г, а по остальным осям ею можно пренебречь, то оценивание проводят по распределению вероятностей дискретных значений координаты с помощью
Р (^; X/, У/ ,а^,...,аг )= | ^ [г - Л (х,, у, ,аь...,аг)].
Таким об-
Q(zdi)
разом, при предложенном способе задания поверхности принципиальных отличий от ранее рассмотренных задач не возникает.
Сложнее обстоит дело в случае, когда поверхность задана уравнениями вида:
Н (х, у, г; а1,..., а) = 0; Н (х, у; а1,..., а) = 0,
(1) (2)
причем дискретизация одновременно может быть по разным координатам. При обычном подходе, без учета дискретизации отсчетов координат, не существует общепринятого метода оценивания параметров уравнений (1) или (2). Для частной, но практически важной и широко распространенной задачи восстановления или подгонки окружности по измеренным координатам отдельных точек, соответствующих уравнению (2) с функцией
Н (х, у; а, Ь, Я) = (х - а)2 + (у - Ь)2 - Я2,
(3)
также предлагались различные методы решений, некоторые из которых приведены в [14].
Метод, названный полным МНК, заключается в минимизации суммы квадратов отклонений точек от построенной окружности:
I
i=1
^х. - а)2 + (у,. - ь)2 - К
а, Ь,К
тт.
(4)
В конечном виде задачу (4) можно решить только относительно переменной Я, а результат будет равен среднему расстоянию от центра до исходных точек. Решение для координат центра явным образом найти нельзя, его можно получить лишь численно, для чего были предложены различные способы, среди которых отметим разновидность градиентного метода минимизации (4), рассмотренную в [15].
Следующие методы — соответственно, метод среднего пересечений, редуцированный МНК и модифицированный МНК — основаны на особенностях окружности как формы номинального профиля и не могут быть обобщены на другие формы. Еще один подход заключается в минимизации вы-
л/(х,- - а)2 + (у,- - Ь)2 - К
по параметрам а,
Я2.
ражения I
i=1
В [14] этот способ приведен как метод I. Kasa, по авторству работы [16], где он впервые был описан. При использовании этого метода радиус оценивается как среднее квадратичес-кое расстояние от оценки центра до исходных точек.
В [14] дано обобщение полного МНК, модифицированного МНК и метода I. Kasa для подгонки сфер в трехмерном пространстве. Из описанных методов только полный МНК и метод I. Kasa допускают обобщение на другие виды поверхностей естественным образом. Чтобы в дальнейшем не делать различий между двух- и трехкоординатными измерениями там, где они несущественны, будем использовать обо-
значение у = (х, у) при двухкоординатных измерениях или у = (х, у, г) — при трехкоординатных, а при дискретизации у1 = (х1, у1) или у1 = (х1, у6, г1), соответственно. Запишем обобщение метода I. Kasa:
(у; а1,...,аг)]2
->тлп.
I=1
(5)
Для обобщения полного МНК введем следующие обозначения: г(а1, ..., аг) = {у : Н (у; а1, ..., аг) = 0} — поверхность или кривая, определяемая уравнением (1) или (2), при определенных значениях параметров а1, ..., аг; 1 [у; г(а1, ..., аг)] — расстояние от точки с координатами у до кривой или поверхности г(а1, ..., а) т. е. длина отрезка нормали, проведенной из точки у, до пересечения с г(а1, ..., а); 0 — вектор параметров, который представляет набор а1, ..., аг или некоторую взаимно-однозначную функцию от него в области определения. Например, в случае с окружностью в качестве компонент вектора можно рассматривать (а, Ь, Я) или (а, Ь, Я2). Второй вариант взаимно-однозначно соотносится с первым при условии Я > 0.
С использованием введенных обозначений полный МНК примет вид
£{//[у,.; Г(0)]
->тлп.
/=1
(6)
Такая постановка задачи имеет ясный статистический смысл:
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.