МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 2 • 2012
УДК 532.5:551.465
© 2012 г. А. А. САВИН, А. С. САВИН
ВОЗМУЩЕНИЕ ЛЕДЯНОГО ПОКРОВА ДВИЖУЩИМСЯ В ЖИДКОСТИ ДИПОЛЕМ
Рассмотрена плоская задача о возмущении ледяного покрова диполем, начинающим равномерное и прямолинейное движение по горизонтали в изначально покоящейся жидкости. Показано, что в зависимости от толщины льда и скорости диполя на границе раздела жидкости и льда могут устанавливаться стационарные волны двух различных типов. Приведены примеры численного исследования таких волн.
Ключевые слова: жидкость с ледяным покровом, диполь, установление волны.
Теория волновых движений жидкости с ледяным покровом развивалась в связи с необходимостью решения ряда задач физики моря и вод суши. Обзор работ этого направления содержится, например, в [1]. Основное внимание в этих исследованиях уделено распространению и взаимодействию свободных волн, а также возникновению волн при воздействии на ледяной покров различных нагрузок. При этом, насколько известно авторам, вопросы генерации волн на ледяном покрове источниками, локализованными в толще жидкости, в частности, движущимися телами, не рассматривались. С другой стороны, задачи о волнах, возникающих на поверхности жидкости, свободной от ледяного покрова, при движении в ее толще твердых тел, имеют известные решения [2—7]. В этой связи представляется естественным распространение постановок и методов решения таких задач на случай жидкости с ледяным покровом. В настоящей статье изучаются волны, устанавливающиеся на ледяном покрове при движении под ним диполя, который, как известно, представляет собой модель движущегося в жидкости цилиндра [2, 3, 8]. Ледяной покров рассматривается как тонкая упругая пластина постоянной толщины, плавающая на поверхности жидкости.
1. Общие выражения для профиля ледяного покрова над движущимся диполем. Введем прямоугольную декартову систему координат, в которой ось х совмещена с невозмущенной границей раздела жидкости и льда, а ось у направлена вверх. Пусть в жидкости на постоянной глубине I движется диполь с моментом М, направленным против оси х. Будем рассматривать задачу в предположении, что на границе раздела жидкости и льда возникают волны, амплитуды которых много меньше их длины, а течение потенциально всюду, кроме точки z0 = х0—И локализации диполя. Ищем потенциал скорости течения в виде
где Ф: — потенциал скорости течения, создаваемого в безграничной жидкости рассматриваемым диполем и диполем с тем же моментом, находящимся в точке г0. Комплексный потенциал течения, вызываемого такой парой диполей, имеет вид
Ф(х, у, г) = Ф1(х, у, г) + ф(х, у, г)
(1.1)
г = х + ¡у, т = — 2 п
(1.2)
Функция ф (х, у, г) представляет собой волновую часть потенциала скорости и удовлетворяет во всей области течения уравнению Лапласа
Ф хх +Ф уу = 0 (1.3)
Применение преобразования Фурье к обеим частям уравнения (1.3)
/ (X, у, г )= | Ф (х, у, г )е ^йх (1.4)
—ж
приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению к2/ = 0 с общим решением
/ (X, у, г) = а (X, г) е ^у + Ь (X, г) е ^у (1.5)
Будем рассматривать случай бесконечно глубокой жидкости. Для выполнения условия затухания волновых возмущений с глубиной следует положить Ь(к, ?) = 0, что приведет выражение (1.5) к виду
/ (X, у, г ) = а (X, г )е е ^у (1.6)
Обозначим отклонение границы раздела жидкости и льда от ее равновесного положения у = 0 через п = п (х, г). В рассматриваемом приближении малых волн граничные условия выставляются на линии у = 0 и имеют вид [1]
Ф г + ЯП- Сп хх + ВП хххх + АПгг = 0, Пг =Ф у (17)
где А, В, С — постоянные коэффициенты, зависящие от упругих свойств льда, его плотности и толщины, g — ускорение свободного падения.
С учетом выражений (1.1), (1.2) равенства (1.7) можно представить как граничные условия для волновой части ф потенциала скорости при у = 0
фг + ЯП- СП хх + ВПхххх + АПгг =- (Ф1 )г, пг = ф у (18)
Применив преобразование Фурье (1.4) к равенствам (1.8) и воспользовавшись выражением (1.6), получим систему уравнений
а( + (я + СХ2 + ВХ V + А8и = - (Г )г, Б, = а
где и — фурье-образы функций п (х, г) и Ф1 (х,0, г) соответственно.
Исключив из этой системы величину а, получим
+Ю25 = Г (X, г) (1.9)
ю2 = (я + СХ2 + ВХ4) |Х| (1 + А |Х| )-1 (1.10)
Г (X, г) = -|Х| (1 + А |Х|)-1 () (1.11)
Для определения величины (1.11) имеем
Ф1 (х,0,г) = у=0 = 2т(х - х0¡2 (1.12)
(х - х0 ) + I
Если диполь возникает в точке (0, -I) в момент времени г = 0 и далее движется со скоростью —Vна постоянной глубине I, сохраняя свой момент М = 2п т, то
т (г) = те (г), х0 (г) = -Уге (г) (1.13)
где 0(г) = 0 при г < 0,9(г) = 1 при г > 0.
Из равенств (1.12), (1.13) следует, что
[Ф,0,0,0], = 2т-V0(,)( ++*) } (1.14)
[х + I [(х + V,,) + I ] ]
где 5 (,) — дельта-функция.
Вычислив преобразование Фурье функции (1.14), найдем правую часть уравнения (1.9)
Г(X,,) = 2пт(1 + А |Х|)-1 е_ВД[гХ5 (?) - VX2eiШв (,)] (1.15)
Если диполь возникает в изначально невозмущенной среде, то при любом ,0 < 0 естественно считать, что 5(,0) = 0, (,0) = 0. Решение уравнения (1.9), удовлетворяющее таким начальным условиям
5 (X,,) =1 |> (X, фт [ю(, -т)]йт (1.16)
ю
,0
Подставляя в решение (1.16) выражение (1.15), находим, что при , > 0
5 (X,,) = 50 (X,,) + ¿\(Х,,) (1.17)
50 = 2птХ^ ^ 8щ (со ?) (1.18)
ю (1 + А )
2 -ШШШ
51 (Я,, ) = тЯ * к { К0 + /1 (Я,,)+ / [[ (-Я, ?)-/2 (я, ?)]} (1.19)
ю (1 + А Я)
/1 (А,= с08 [(ш + Х V) ,] -1, /2 = вш [(ео + Я ^) (1.20)
ю + ХV ю + Х V
Волна на границе раздела жидкости и льда находится после применения обратного преобразования Фурье к выражениям (1.17)—(1.19)
П (х,,) =п0 (х,,) + п1 (х + V,,,), п (х^) = — | (Х^е'^йХ (п = 0,1) (.21)
—ж
2. Исследование установившейся волны. Будем искать волну, которая устанавливается на границе раздела жидкости и льда при длительном движении диполя. Перейдем в связанную с диполем систему координат, положив X = x + Vt, у' = у. Слагаемое п0 (х,,) в общем выражении для волнового возмущения (1.21) связано с эффектом мгновенного возникновения диполя в жидкости. Используя лемму Римана—Лебега [9], можно показать, что при t ^ величина п0 ^ 0 в любой точке X. Слагаемое п1 (х + V,,,) = п1 (х',,) обусловлено процессом движения диполя. С учетом равенств (1.19), (1.20) можно найти его предел при , ^ в смысле теории обобщенных функций [10, 11].
г . \ тл Г Х2 ехр(-' Х)и (X)
п (х, +<») = -mV |-—- 4 7 йХ
У ' 3 1 + АХ
0
и (Х) = 2С08(Х2х'] + П [5 (со - Х V) - 5 (со + Х V)] ] (Хх') ю - V Х о
(2.1)
Таким образом, при длительном движении диполя в связанной с ним системе координат на границе раздела жидкости и льда устанавливается стационарная волна П (х') = П1 (х', +<»). С помощью известного равенства [10, 11]
8 (I (х)) = ЦI' ^ )|_15 (х - ху)
(2.2)
где ху — простые вещественные корни уравнения I (х) = 0, нетрудно проверить, что выражение (2.1) можно представить в виде
П(х') = -2тУ | —^
X ехр(-/Х)
+ АХ
008 (Хх') 2 ТЛ. 2, . Л 2 2 2 + - У X ) 81П (Хх )
йХ
1_ю2 - У X2
0
Из равенства (1.10) при X > 0 следует, что ю2 - У2Х2 = X (1 + АХ) 1Р (X), где Р (X) = БХ4 + (С - АУ2)Х2 - У2Х + g
Из выражения (2.3) с помощью равенства (2.2) находим
П (х') = -2тУ
I (х') + п^ Xу ехр(-/Xу) |Р' (Xу ) 81п (Xух')
I (х') = 1
X ехр(-/Х) 008 (Хх')
Р (X)
йХ
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
Здесь Ху — простые положительные корни многочлена (2.4).
Вид решения (2.5) существенно зависит от наличия положительных корней многочлена (2.4), стоящего в знаменателе подынтегрального выражения (2.6). Многочлен (2.4) в соответствии со своей степенью имеет ровно четыре, вообще говоря, комплексных корня X у (у = 1,..,4). Раскрыв произведение в правой части равенства Р(Х) =
4
= БП ( - ^у) и сравнив его с выражением (2.4), придем к соотношениям у=1
4 4
IХу = o, Пу > 0
у=1 у=1
(2.7)
Из соотношений (2.7) следует, что многочлен (2.4) не может иметь более двух положительных корней. Действительно, если он имеет три положительных корня, то в силу равенства (2.7) четвертый корень должен быть отрицательным. В этом случае произведение всех корней отрицательно, что противоречит неравенству (2.7).
Из того, что уравнение Р (X) = 0 может быть представлено в виде
т (х) = у 2 (х)
(2.8)
где Т (X) = БХ + С X + g, 2 (X) = АХ + X — многочлены с положительными коэффициентами, следует, что существует некоторое критическое значение Ук скорости диполя V, при котором графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения (2.8), касаются при X = Xк > 0. Это означает, что многочлен (2.4) имеет в точке X = Xк крат-
от
0
ный корень. Значения Ук, Xк определяются из условий касания Т(ХК) = Ук0(ХК), Т' (Xк) = УкО' (Xк), которые удобно представить в виде
ТМ = = У2 (2.9)
О (Як) О' (Як) к
Первое из равенств (2.9) дает уравнение
2ЛВХ5 + 3ВХ+ СХк - 2А%Хк - % = 0 (2.10)
Из (2.10) значение Х к может быть найдено численно. Существование единственного положительного корня уравнения (2.10) вытекает из его представления в виде
Х2к(2ЛВк\ + 3ВХ2к + С) = 2А%Хк + % и положительности величин А, В, С, g.
При У < Ук графики функций Т (X) и У2О (X) не пересекаются в области X > 0, т.е. многочлен (2.4) не имеет положительных корней. Это означает, что если скорость диполя V меньше критической, то выражение (2.5) для отклонения границы раздела жидкости и льда от положения равновесия в системе координат, сопровождающей диполь, принимает вид
от ,
П(х•) = -2тУ Г^рН^Й^ (2.11)
В силу известных свойств преобразования Фурье [9] п (х') ^ 0 (х' ^ .
При У > Ук графики функций Т (X) и У2О (X) пересекаются сначала при некотором значении аргумента ^ > 0, а потом, поскольку Т(X) растет быстрее, чем О(X) при X ^ , при другом значении X2 > Хх. Других точек пересечения в области X > 0 графики этих функций не имеют в силу того, что многочлен (2.4) Р (X) = Т (X) - У2О (X) не может иметь более двух положительных корней. Таким образом, при скорости диполя V, большей критической, многочлен (2.4) имеет ровно два положительных корня 0 < X 1 <Х 2, а выражение для границы раздела жидкости и льда имеет вид (2.5), (2.6). При этом суммирование в формуле (2.5) производится при 1 < у < 2, а инт
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.