Цена 18
Sit
Переплет í
Р-
lO.Jv
,р)-представление кван-1И котором сохраняются )й и классической схем. ипри^ = 0, атакже pe-fi Лиувилля как функци-0/(Ш = = О
i.
Consejo Nacional de Ci-
-2385. 3. 231-243.
югу and Nonlinear Optics, югу and Nonlinear Optics. J. Quantum Chem. 2004. гатистическую механику, ишбровочных полей. М.:
редакцию 22.Х1.2004г., ле доработки 20.1.2005 г.
i i !\t
I'
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ tí .Г)
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА >к« '
Том 143, № 3 июнь, 2005
' ■.'•.-.. - • ч г' : - (¡•Л; - \ • " " ■). "
© 2005 г. Ю. П. Чубурин*
ВОЗМУЩЕНИЕ РЕЗОНАНСОВ И СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ НА НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ ПЛЕНКИ
I • 5
Для резонансов и собственных значений на непрерывном спектре получены формулы, подобные формулам обычной теории возмущений. Доказано, что хотя мнимая ■ <■ "■ часть поправки первого порядка собственного значения на непрерывном спектре равна ~ . нулю, но возмущенная собственная функция, как правило, перестает быть квадратично суммируемой.
Ключевые слова: оператор Шредингера, теория возмущений, резонанс, собственное значе-
-d-f'
• Ш Ч.*! 1 !KST,t<*! í • |-»„
• '■ . • ' »» "I- 1. ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим оператор Шредингера Н = Но + V(x), х € Е3, с вещественным потенциалом V(x) ф 0, периодическим по переменным х-±, Х2 с периодом единица и удовлетворяющим оценке ,
"'.., * \V(x)\ ^ ... " , ■ - (1)
где а > 0. Оператор Н разлагается в прямом интеграле пространств J®, Ь2(П) dkц по операторам #(&ц) = —Д + V(x), определенными на блоховских по переменным xi, Х2 функциях (см. [1], [2]). Здесь ft = [0,1)2 х М и П* = [—7г, п)2 - ячейки в прямой и обратной решетках, /сц € Л* - квазиимпульс, блоховские функции - это сужения на fi функций ф, определенных на R3 и удовлетворяющих соотношениям
*' ri>{x+{nh0))=ei(k\\'n\\)ri>{x), ntleZ2.
Существенный спектр оператора Н(кц) совпадает с [А;2, оо), т.е. со спектром оператора Л0(кц) [3]. Обозначим через До(&ц, Е) = (#о(&ц) — Е)~1 резольвенту оператора
"Физико-технический институт УрО РАН, Ижевск, Россия. E-mail: chuburin@otf.pti.udm.ru
Цена 18 Rj6, Переплет 1 р-
418
ю. п. чубурин
?
#о(/сц) = — Д, а через -ЩАгц, Е) = (Я(/сц) - Е) 1 -резольвенту оператора Н(к^). Ядро резольвенты Яо(&||, Е) имеет вид [4] . .
G0(x-y,k]],E) =
exp{i((fc|| + 2тгп|,, JE - (fc|| + 2тгтг||)2 ), (яц — г/ц, (аг3 -уз|))}
= - Е ——-у—I— -—. (2)
n||€Z2 2уЕ-(*!„+27гпц)2
где под \fz для г = ре1^ понимаем .
В настоящей работе строится единая теория возмущений для резонансов, а также для собственных значений, находящихся на непрерывном спектре, оператора if(fcy). Полученные формулы достаточно просты и удобны для использования, а в случае собственных значений переходят в обычные формулы теории возмущений (в отличие от некоторых примеров в [5]). Отсюда вытекает, что поправка первого порядка малости к невозмущенному собственному значению, лежащему на непрерывном спектре, вещественна. Однако, данное собственное значение при возмущении превращается в общем положении в резонанс. В статье приведено условие, при выполнении которого поправка первого порядка малости к соответствующей невозмущенной собственной функции остается лежать в L2(О).
Ранее в книге [6] (см. главу 3) была получена формула для возмущенного резонанса в случае центрально-симметричного потенциала. В работе [7] исследовано поведение собственных значений (превращающихся в резонансы) на границе непрерывного спектра для потенциала, экспоненциально убывающего при |х] —> оо. Аналогичное исследование для периодического потенциала, возмущенного функцией, периодической по двум переменным и убывающей по третьей переменной, проведено в статье [8]. Общие результаты, относящиеся к возмущениям операторов, проблемам алгебраической и геометрической кратности резонансов и возможности их разложения в ряды Пюизё по малому параметру см. в работах [5], [9]. В статьях [10], [11] (см. также [12], Приложение В) изучаются кратности резонансов, а также их асимптотика в терминах модифицированных определителей Фредгольма операторов, естественно возникающих при определении резонансов (см. замечание 1). ! :
Через С, со и т.п. в статье обозначаются константы. !
- 2. ПОНЯТИЕ РЕЗОНАНСА
Уравнение на собственные значения #(/сц )ф = Еф для оператора Н(А;ц) заменим для Е < fcjj эквивалентным уравнением ф = — Ro(k^, E)Vip или, полагая ф = \/|V|ф, уравнением
ф(х) = - f v4V(*)|G0(* - y,kbE)JW)<i>{y)dy, (3)
Jsi • ■ ■■
где \fV = sgn V ■ y/\V\. - ■■'
Предположим, что
fcjj < ReE < (fc(| + 2тгпу)2, пц ^ 0. - • - (4)
Поло:
каед Е = ненш част1
G0 Щ
прив
самс
чае
рат
дол
се j
зон
раз
к3 чае
ПОЛ!
гах
че! ше
гм ш
Цена 18 ^уо-Переплет 1 р-
ольвенту оператора Я(/сц). Ядро
>1|)2)>(*!! -У||,|®з -Уз|))}
27ГП||)2
, (2)
!ний для резонансов, а также для кктре, оператора Я(Лц). Полу-шьзования, а в случае собствен-змущений (в отличие от некоторого порядка малости к невоз-»ерывном спектре, вещественна, превращается в общем положе-яении которого поправка перво-[ собственной функции остается
на для возмущенного резонанса боте [7] исследовано поведение [а границе непрерывного спект-с| -» оо. Аналогичное исследо-нкцией, периодической по двум 1енов статье [8]. Общие резуль-ам алгебраической и геометри-ения в ряды Пюизё по малому акже [12], Приложение В) изу-> терминах модифицированных икающих при определении ре-
СА -
оператора Н(к\\) заменим для ли, полагая ф = урав-
У(у)Ф(у) ¿у,
Ф О-
(3)
(4)
возмущение резонансов и собственных значений 419
Положим кз = у!Е — тогда • ' ' • •'•*• ' - «
;; (5)
оказывается мероморфной Ь2(П х Позначной функцией параметра кз с полюсом порядка единица в нуле [4]. При этом величинам кзс положительной мнимой частью отвечает Е = + на первом листе римановой поверхности функции Со и, вместе с тем, экспоненциальное убывание С о при |хз — ¿/з| —» оо, а величинам кз с отрицательной мнимой частью отвечает Е на втором ("нефизическом") листе и экспоненциальное возрастание Со при |хз — уз| —> оо (см. в [4] свойства функции Со). Убывание или возрастание Со приводит в силу равенства
-Ц!>1 «СП-
И
Jíl
Со(х - у, к)У(у)ф(у) &у
(6)
к экспоненциальному убыванию или возрастанию при |а;з| —> оо (такому же, как у е»(*;,(хц,1хз1))^ ненуЛевых решений уравнения (6) (см. [4], [13]). При этом вследствие самосопряженности оператора Н(к^) убывающим решениям отвечают Е € М. В случае возрастающих решений Е называют резонансом; при этом величина 1т Е ф 0, обратная времени жизни резонансного состояния [6], и, следовательно, величина 1т кз должны быть достаточно малыми. Поэтому уравнение (3), рассматриваемое в классе Ь2(П), в силу оценки (1) позволяет находить как собственные значения, так и ре-зонансы. В случае Ие £ > (/сц + 27ггг^0^)2, где значение п^ ф 0 доставляет минимум
разности 11е Е — (/сц + среди всех таких неотрицательных разностей, полагаем
кз = е — (&ц + 27гп||0^)2 и приходим к тем же утверждениям, что и выше. В этом случае выкладки несколько более громоздкие, поэтому в дальнейшем для простоты предполагаем, что выполнено условие (4).
С учетом вышесказанного и специфики функции Со в "пленочном" случае следующее определение резонанса согласуется с обычными определениями, приведенными в кни-гах[6],[12].
Определение 1. Назовем резонансом такое значение кз (или соответствующее значение Е), для которого имеет место неравенство 1т кз < 0 и существует ненулевое решение ф £ Ь2(П) уравнения (3).
Определение 2. Назовем уровнем собственное значение или резонанс.
Уравнение, сопряженное к (3), имеет вид
Ф*(
:*) = -/ (х - у, к*)у/Щу)\ф* (у) <*у,
¿И
(7)
где к* = (/сц, кз), и в случае пц = 0 по сравнению с Со из формулы (2) имеет корни противоположного знака. Вследствие теоремы Фредгольма пространства решений
420
ю. п. чубурин
уравнений (3) и (7) имеют одну и ту же размерность с/ < оо - (геометрическую) кратность уровня.
В дальнейшем через у/ЩНо(к)у/У будем обозначать не только "окаймленную" резольвенту оператора #о(/сц), но и, в более общем смысле, компактный оператор с ядром (5), который определен кале оператор в Ь2(П), в частности, в точках кз, соответствующих значениям Е из окрестности множества [А;^, ехэ) \ {(^ц + 27гтгц)2, пц 6 [4]. Вследствие резольвентного тождества
1 - у/\У\Щк)у/У = (1 + у/ЩМк)^)-1 (8)
и аналитической теоремы Фредгольма [14] операторнозначная функция у/\У\В.(к)у/У мероморфно продолжается в окрестности точек кз, для которых соответствующие значения Е принадлежат существенному спектру , оо) оператора Н(к^); значения данной функции остаются компактными операторами, которые будем обозначать тем же символом. При этом всякий уровень кз является полюсом мероморфной по кз оператор-нозначнои функции у/ЩЩк)у/У, причем коэффициенты при отрицательных степенях ее разложения в ряд Лорана-это операторы конечного ранга [14]. • м > г тп....
Всюду в дальнейшем, за исключением раздела 4 и теоремы 7, предполагаем, что полюс функции у/\У\Щк)у/У в точке резонанса кз = к^ имеет порядок единица (достаточные условия этого см. в замечании 1 и в теоремах 3, 7), тале что 1 !■* ■ ■■ -с* •• . "о
, , у/ЩЯ(к)у/У =-щ 5>„(-,#;)0„ + д(А); ..-.,<9)
— к3 п=1
здесь сп, тг = 1,..., по - некоторые константы; С}(к) - аналитически по кз в окрестности точки коператорнозначная функция; кале функции тале и функции {Фп)п=1 будем без ограничения общности считать линейно независимыми. Положим
к0 = (А;ц,40))-
Лемма 1. Функции фп являются решениями уравнения (3) в точке ко, а функции фп - решениями сопряженного уравнения (7) в точке
Доказательство. В силу (8), (9) •■=• с-,. =-4.......••>
1 "о
(1 + у/щм^)-1 = 1---^2сп(-,ф*п)фп-(}(к). (ю)
*з - к3 П=1
Вследствие (4) резольвента До (к) аналитична в окрестности точки Умножая обе части равенства (10) слева на (кз — к^)(1 + К|До(/с)\/^) и переходя к пределу при к3 —> , получаем соотношение
«0 ' ' = • •
П = 1
откуда следует требуемый результат для функций фп. Для доказательства аналогичного утверждения для функций ф* нужно обе части равенства (10) умножить на (кз — + ) справа. Лемма доказана.
Цена 18 цуб. Переплет 1 р.
возмущение резонансов и собственных значений
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.