АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2015, том 49, № 5, с. 380-394
УДК 521.1:523.4
ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТАХ
© 2015 г. Н. В. Емельянов
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга, Москва, Россия Парижская обсерватория, Институт небесной механики и вычисления эфемерид, Париж, Франция
e-mail: emelia@sai.msu.ru Поступила в редакцию 12.02.2015 г.
При изучении движения планет и спутников часто возникает необходимость иметь простую приближенную аналитическую модель движения, которая учитывает основные возмущения и сохраняет примерно одинаковую точность на больших интервалах времени. Для этого используется модель прецессирующего эллипса. В настоящей работе показано, что при малых эксцентриситетах такая модель возмущенной орбиты не соответствует свойствам движения тела. Существует круговое возмущенное движение, при котором средняя аномалия постоянна и равна нулю. Соответствующее решение удовлетворяет уравнениям Лагранжа относительно элементов кеплеровой орбиты. Вблизи такого частного решения существуют два семейства решений с либрационным и циркуляционным изменениями средней аномалии. В работе показано, как изменяются эксцентриситет и средняя аномалия в этих решениях. В статье предложены простые аналитические модели движения четырех близких спутников Юпитера, согласованные с имеющимися эфемеридами, которые в свою очередь получены численным интегрированием уравнений движения и уточнены по наблюдениям.
Ключевые слова: движение спутников планет, вековые возмущения, близкие спутники Юпитера, эфемериды.
DOI: 10.7868/S0320930X15050035
ВВЕДЕНИЕ
Построение аналитических теорий движения тел Солнечной системы во все времена было целью и одновременно средством изучения динамики и физики планет и спутников на основе наблюдений. Методы, разработанные Лагранжем и Лапласом, были развиты Пуанкаре, и в итоге был сформулирован метод Пуанкаре решения уравнений для элементов промежуточной орбиты небесного тела для построения модели возмущенного движения. В основном в небесной механике используется кеплерова промежуточная орбита. Решаются уравнения Лагранжа относительно элементов кеплеровой орбиты. В течение последних ста лет было рассмотрено множество вариантов элементов и вариантов некеплеровых промежуточных орбит. Метод Пуанкаре также был усовершенствован с применением современного математического аппарата.
В классическом подходе к теории возмущенного движения, когда уравнения Лагранжа относительно элементов кеплеровой орбиты решаются методом малого параметра Пуанкаре, встречаются мало исследованные случаи, приводящие иногда к непривычным выводам. К таким случаям относится возмущенное движение при малых эксцентриситетах промежуточной орбиты.
При решении уравнений Лагранжа в первую очередь необходимо найти вековые возмущения, поскольку именно они наиболее существенны как в количественном, так и в качественном аспектах описания движения. Вековые возмущения обычно получаются путем разложения возмущающей функции и отбрасывания в правых частях уравнений Лагранжа периодических членов. Так была создана и широко применяется модель пре-цессирующего эллипса. Движение в такой модели происходит по кеплеровой орбите, плоскость орбиты которой равномерно прецессирует с постоянным наклоном вокруг некоторой неподвижной оси, линия апсид равномерно прецессирует в плоскости орбиты, а частота обращения тела немного отличается от того, что дает третий закон Кеплера. Ось, вокруг которой прецессирует плоскость орбиты, связана с характером возмущающего фактора. Для возмущений, обусловленных несферичностью осесимметричного центрального тела, например, сжатой большой планеты, плоскость орбиты будет прецессировать с постоянным наклоном вокруг оси симметрии тела.
Невозмущенная кеплерова орбита может быть вырождена в круговую орбиту, а наклон в невозмущенном движении определен только выбором системы прямоугольных координат. Естественным параметром, описывающим вырождение ор-
биты в круговую, является эксцентриситет. Для круговой орбиты он просто равен нулю. Можно было бы ожидать, что и для возмущенного движения, когда эксцентриситет изменяется во времени, его близость или равенство нулю должны приводить к вырождению орбиты в круговую. На самом деле это совсем не так.
Первое упоминание о существовании кругового возмущенного движения с ненулевым эксцентриситетом мы обнаружили в работе Белецкого (1962). В этой работе показано частное решение уравнений относительно элементов Кеплерова движения, при котором круговая орбита в оску-лирующих элементах описывается эллипсом, вращающимся с угловой скоростью обращения спутника вокруг центрального тела, причем спутник всегда находится в перицентре этого эллипса. Впрочем, в работе Белецкого замечено, что данный пример принадлежит Т.М. Энееву.
Широко применяемая на практике модель прецессирующего эллипса с произвольным постоянным и сколь угодно малым эксцентристе-том находится в противоречии с примером, приведенным в работе Белецкого (1962). Интересно выяснить, как соотносятся между собой эти две модели. Важно иметь строгое доказательство существования решения для возмущенного движения с ненулевым эксцентриситетом. Было бы полезно найти достаточно простое решение, адекватно описывающее возмущенное движение при малых эксцентриситетах. Именно этим вопросам посвящена предлагаемая работа.
В заключении статьи описывается попытка построения приближенных аналитических моделей движения четырех близких спутников Юпитера, согласованных с точными эфемеридами, взятыми их известных источников.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим движение материальной точки в центральном поле притяжения с силовой функцией вида
U = ^ [ 1 + f(r)],
(1)
где г — центральное расстояние, ц — гравитационный параметр, а /(г) — некоторая достаточно произвольная безразмерная функция.
Разложим силовую функцию на два слагаемых следующим образом:
и = V + Я, V = ^, Я = / г), (2)
г г
где V — силовая функция задачи Кеплера, а Я — возмущающая функция. Движение при Я = 0 называют невозмущенным.
Покажем, что при некотором ограничении на функцию /(г) уравнения с силовой функцией и будут иметь частное решение, соответствующее круговому движению. Рассмотрим подробнее
возмущенные движения материальной точки, близкие к круговому.
Попытаемся построить приближенные аналитические модели движения реальных спутников планет при малых эксцентриситетах орбит. Для примера возьмем четыре близких спутника Юпитера.
КРУГОВОЕ ВОЗМУЩЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ
Поскольку силовая функция зависит только от расстояния, траектория движения лежит в некоторой неизменной плоскости, в которой зададим невращающуюся систему координат Оху с началом О в притягивающем центре. Тогда дифференциальные уравнения движения можно записать в виде
d2x _ д U d2y _ д U
dt¿
дх dt2 ду
(3)
Центральное расстояние r определяется через координаты соотношением
-J-.
22 х + у .
С учетом (2) дифференциальные уравнения запишутся в виде
Ц = -tX [ 1 + F( r)], dt r
d-? = -üy [ 1 + F(r)],
dt2 r3
(4)
где безразмерная функция В(г) задается соотношением
F(г) = /(г) - г/'(г), а штрих здесь означает первую производную.
Центростремительное ускорение, которое испытывает материальная точка, определяется выражением
^ [ 1 + Д г)]. г
В области, в которой выполняется условие Г( г) > -1,
существуют решения дифференциальных уравнений движения, соответствующие круговым движениям точки вокруг притягивающего центра на любом расстоянии г с линейной скоростью Ус, зависящей от г. Приравнивая центростремительное ускорение центробежному, получим
V2 = 1 + F( r)].
(5)
Не нарушая общности задачи, будем предполагать, что в начальный момент времени t0 точка находится на оси х. Тогда частное решение дифференциальных уравнений для кругового движения в координатах будет иметь вид
х = rcosnc(t - t0), y = rsinnc(t - t0) , (6)
где частота обращения точки пс определится формулой
¥с
Пс = -. г
Это будет однопараметрическое частное решение. В качестве параметра решения можно взять г или пс.
Поставим задачу найти элементы кеплеровой оскулирующей орбиты, как функции времени, для кругового движения, рассматривая уравнения (4), как уравнения возмущенного кеплерово-го движения. Для этого нужно сделать замену переменных искомых функций х, у на элементы кеплеровой оскулирующей орбиты, как функции времени, и подставить в формулы замены переменных вместо х, у частное решение (6). Кроме того, желательно рассмотреть уравнения движения, выраженные в кеплеровых элементах, то есть уравнения Лагранжа, и проверить, удовлетворяют ли полученные выражения для кеплеро-вых элементов этим уравнениям.
ПЕРЕХОД К ЭЛЕМЕНТАМ КЕПЛЕРОВОЙ ОРБИТЫ
Поскольку мы рассматриваем здесь плоское движение, нам достаточно использовать для описания движения четыре кеплеровых элемента:
а — большая полуось, размерность единица длины;
е — эксцентриситет, безразмерный; М — средняя аномалия, рад; ю — угловое расстояние перицентра от восходящего узла орбиты, рад.
Наряду с большой полуосью а в качестве параметра орбиты будем рассматривать также параметр п, называемый средним движением и связанный с а законом
« = I В
V = ц
(7)
где а — постоянная.
В случае кругового кеплерова движения при е = 0 имеем соотношение
V2 = В
с
г
которое отличается от (5). Поэтому оказывается, что частное решение уравнений возмущенного
движения не может быть представлено элементами кеплеровой оскулирующей орбиты с постоянным нулевым эксцентриситетом.
В зависимости от знака F(г) имеется возможность представить возмущенное круговое движение одним из двух способов. Если F(r) > 0, то положим
М = 0, г = а (1 - е),
ю = Пс(г - ¿0),
а элементы а и е будем считать постоянными. Сравнивая (5) и (7), найдем
е = Д г).
Тогда оказывается, что точка всегда находится в перицентре орбиты, а линия апсид вращается с угловой скоростью пс. Истинная V и эксцентрическая Е аномалии постоянны и равны нулю. Элемент а найдется по формуле
г
а=
1 - е
Частота обращения точки вокруг притягивающе го центра пс выразится через элемент
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.