МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <2 • 2008
УДК 532.516.013.4
© 2008 г. А. П. МЕЛЕХОВ, С. В. РЕВИНА
ВОЗНИКНОВЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ ПРИ ПОТЕРЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПРОСТРАНСТВЕННО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВУМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ДЛИННОВОЛНОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Изучена длинноволновая асимптотика вторичного режима, возникающего при потере устойчивости стационарного пространственно-периодического течения, когда один из периодов стремится к бесконечности (волновое число стремится к нулю), а поток основного течения вдоль длинного периода равен нулю. Показано, что если выполняются некоторые условия невырожденности, то при уменьшении вязкости от основного решения ответвляется автоколебательный режим, причем возможна как мягкая, так и жесткая потеря устойчивости. Для главных членов асимптотики получены явные формулы. Приведены примеры расчета автоколебаний для конкретных течений, исследовано поведение траекторий движения частиц жидкости в автоколебательном режиме, ответвляющемся от основного течения.
Ключевые слова: вязкая жидкость, потеря устойчивости, автоколебание, длинноволновая асимптотика, траектории частиц жидкости.
Длинноволновая асимптотика задачи устойчивости двумерных параллельных течений V = (0, У2(х)) получена в [1]. Показано, что если среднее значение продольной компоненты скорости отлично от нуля: (У2) Ф 0, то происходит колебательная потеря устойчивости, а если У2(х) - нечетная функция, то монотонная. Исследованию автоколебаний, возникающих при потере устойчивости параллельных течений относительно длинноволновых возмущений, посвящена [2]. Линейная задача устойчивости трехмерных стационарных течений вида V = (аУ1, У2, У3) рассмотрена в [3]. Установлено, что если (У3) Ф 0, то при уменьшении вязкости происходит колебательная потеря устойчивости. Исследованию ответвляющихся при этом автоколебаний посвящена [4]. В [4] изучалось также движение частиц жидкости (пассивной примеси) во вторичных автоколебательных потоках. В численных экспериментах обнаружены как регулярные, так и хаотические траектории движения частиц. В [5] было продолжено исследование движений частиц во вторичном автоколебательном потоке в случае (У2) Ф 0.
Настоящая работа посвящена отысканию асимптотики автоколебаний, ответвляющихся от двумерных стационарных пространственно-периодических течений (I) вида
V = (аУ!(у), У2(х)), <У2) = 0
при малых а, когда вязкость переходит критическое значение, найденное в [6]. Полученные результаты сравниваются со случаем основного течения (II) со скоростью
V = (аУ!(х, у), У2(х, у)), <У2) Ф 0
рассмотренного в [7]. Подробный вывод приведенных в статье формул изложен в [8, 9]. Применяется метод Ляпунова-Шмидта в форме, развитой в [10, 11], в сочетании с асимптотикой длинных волн.
1. Постановка задачи. Рассматривается движение вязкой несжимаемой жидкости на плоскости (х, у) е Я2 под действием поля внешних сил Р(х, у, ¿), периодического по про-
странственным переменным х и у с периодами Ьх и Ь2 соответственно. Поле скоростей и и давление р удовлетворяют системе уравнений Навье-Стокса и условию несжимаемости
+ (и, V)и - vДu = - Ур + F, Шуи = 0 (1.1)
д г
где V - безразмерная вязкость.
В качестве краевых условий задается условие периодичности поля скорости и по пространственным переменным х, у
и(х + ¿1, у, г) = и(х, у, г), и(х, у + ¿2, г) = и(х, у, г) (1.2)
Предполагается также, что один из пространственных периодов стремится к бесконечности: ¿2 = 2п/а, а ^ 0.
Всюду в дальнейшем через (/) будем обозначать среднее по переменной х, а через ((/)) - среднее по прямоугольнику периодов
¿1
(/) = 1/(х, у^х, ((/)) = -О|/(х, у)йхйу, О = [0, ¿1 ] X [0, ¿2]
10 О
Среднее значение скорости и по прямоугольнику периодов считается заданным
((и)) = Ч (1.3)
Предположим, что система (1.1)—(1.3) имеет стационарное пространственно-периодическое решение вида I. Если F = (0, v/(x)), q = (0, q), единственное стационарное параллельное течение V = (0, и(х)) определяется как решение задачи: -и" = /(х) - (/), (и) = q. К классу таких движений относится течение Колмогорова [12].
2. Линейная спектральная задача. Для нормальных возмущений и = ф(х, г)еог, Р = р(х, г)еог основного течения I получается задача
2 йУ1 Эф1 Эф1
°Ф1 + а ф2"^ + аУ1(г)"эх" + аУ2(х)"
- V
22 д Ф1 2 Э Ф1
-_Г + а -Г
д х дг
= -д-Р
дх
(2.1)
йУ2 Эф2 Эф2
°ф2 + ф1^х" + аУ 1(г) 157 + ау2(х) ъ-
- V
22 1_ф2 + а2 С-__ф2
д х2 дг2
д р
-а------
дг
(2.2)
дфх1 + а^ф = 0, ((ф,)) = 0, I = 1, 2 (2.3)
ф,(х + ¿1, г) = ф,(х, г), ф,(х, г + 2п) = ф,(х, г) (2.4)
Здесь г = ау.
Критическим назовем такое значение вязкости V,., при котором одно или несколько собственных значений о выходят на мнимую ось. Собственные функции (ф, р), а
также V, и о будем разыскивать в виде рядов по степеням параметра а
^ ^ ^ ^
X""1 к к х™1 к х™1 к ^ х™1 к
Ф = ф , р = рк, о = Хаок, V = V * +
к = 0 к = 0 к = 1 к = 1
Приравняв в (2.1)-(2.4) выражения при а0, приходим к уравнениям для нахождения
0 0 Ф1 и Ф2
oq Ф1- v'
о = Jp
д х дх
дх (2.5)
^-0. <<ф1)) = 0 д2Ф0
Ос Ф° + Ф° У 2( х) - V * = 0, <<ф2)) = 0 (2.6)
дх
Так же, как и в случае основного течения II [3, 6], из (2.5) вытекает, что о0 = 0, ф1 = ф1 (г), р0 = Ро(г), а из (2.6) выводим, что ф2 имеет вид
Ф°(х г) = V1*Ф°(г)0'(х)
где 0(х) решение задачи: 0''(х) = У2(х), <0) = 0.
Теперь приравняем в (2.1)-(2.4) выражения при а1
д2 ф1 О —Ф0 д р,
^^ = 01 Ф?( 2) + У2 (х) ^ + (2'7)
0 1 —У2 дф2 дф0 д2ф2 д2 ф0 —р0
О Ф0 + ф1^+ У1 < г ) У 2( х> V ^ = (ЗД
^ + ^ = «*■» = 0
(2.9)
Условие разрешимости уравнения (2.7) - равенство нулю среднего правой части по переменной х
— О
01 Ф0( г) + < У2) -ф = 0 (2.10)
Для основного течения II из (2.10) были найдены [3, 6]: = 1ш<У2), ф1 (г) = е~'тг, где т - волновое число. Если же <У2) = 0, то О! = 0, а ф° (г) из (2.10) не определяется.
Из (2.7)-(2.9) находим ф1, ф^
0
К л 1 / 1\
Ф1 (х> г) = 0(х) + <Ф1)
— 0
Ф1 (х, г) = О (х) + -12 фО (г) У 1( г )0( х) + -* <ф1)0'( х) -V* ф0
V * —г V * V V
где О(х) - решение задачи
О'(х) = 0'2 - 00''-2<0'2), <О) = 0 (2.11)
Далее, осреднив (2.1) по переменной x и приравняв коэффициенты при а2, приходим к уравнению
d 2 О
ФО(г) + Í-* <9'2) - V-Ç = О (2.12)
vv J dz
Из (2.12) следует, что о2 = 0, а для нулевого члена разложения критической вязкости
получаем то же выражение, что и в случае (V2) Ф 0: V*2 = (9'2); ф1 (z) по-прежнему остается произвольной 2п-периодической функцией с нулевым средним.
2 2 2
Приравняв в (2.1)-(2.4) коэффициенты при а2, находим ф1 и ф2, выражения которых приводятся в [8].
На следующем шаге, из осредненного уравнения (2.1) при а3 выводим
,3 О ,2 О
О 3 d ф1 2 d ф1
Озф°(z) -Дт-у <ее'2) -2Vi—-2 = О (2.13)
V* dz dz
Если (ее'2) = 0, то уравнение (2.13) упрощается
2О
О d ф1
ОзФ°(z) -2Vi—-у = О (2.14)
dz
Тогда V! = 0, о3 = 0, ф° (z) из уравнения (2.14) не определяется. Пример основного течения, для которого (ее'2) = 0, - течение I с
е(x) = a sin(x) + b sin(2x) (2.15)
Заметим, что и для любой нечетной функции е(т) среднее (ее'2) = 0. Если же (ее'2) Ф 0, то решение уравнения (2.13) выражается формулой: ф1 (z) = e-mz, где m - волновое число
3 ' 3
v1 = о, о3 = (ее'2)
V *2
Таким образом, имеет место колебательная потеря устойчивости. Например, если
3
е^) = asin(x) + bcos(x) + csin(2x), то (ее'2) = ^ abc, o3 = 9im3abc/(a2 + b2 + 4c2). Условие разрешимости уравнения (2.1) при а4 имеет вид
j3 / 1Ч ,4 О
/К 3 d (ф1^ о, , 1 d ф1/ОГ1,ч
Оз(ф1) —2——(ее ) = -О4ф^) + ——J-(еQ)-
V * dz V * dz
3 d ф1
3 О 3 2 О
(е2) + -L<L (ф1 V1 )(е S) + -Ц-^ (d-P V Л(е G) + (2.16)
dz" v*3dz v*3dz ^ dz }
2 ,2 О
1 d О 2 2 d ф1
+ -з-2(ф1и1 )(е ) + 2v2-2
v* dz dz
где G определена в (2.11), Q, S выражаются явно [8].
В случае (00'2) = 0 левая часть уравнения (2.16) равна нулю, и для нахождения (г) приходим вообще говоря, к уравнению с переменными коэффициентами. В частном случае V1 = const коэффициенты уравнения постоянны, тогда ф0 (г) = е-тг
V2 = -Ц[«0Q) -3V*2<02))m2- V2<02)] 2 v *3
. v (2.17) im V,
04 = -^ <0( S4 G))
V*3
Следовательно, при условии <0(S' + G)) Ф 0 имеет место колебательная потеря устойчивости.
Для примера (2.15) при V1 = 1
= л ( т2 (610 a2 b 2 + 27 a 4 + 108 b 4) + 1 (a 2 + b2 ) )
V2 2 2 3/2 36(a +4b )
9im3 a2bJ2. Oa =---
4 (a2 + 4b2 )3/2
Если же <00 ) Ф 0, то (2.16) имеет вид
з, 1 —3 <Ф1)
т<ф1) -—--3^ = /(г) (2.18)
—г
причем в выражение /(г) входят известные функции и неизвестные константы V2, о4. Условие разрешимости уравнения (2.18) - ортогональность правой части решению однородного сопряженного уравнения
2 п
| / (г) етг—г = 0 (2.19)
0
Приравняв к нулю вещественную и мнимую части в (2.19), находим v2 и о4. Они име-
22
ют вид (2.17), если в этих формулах заменить У1 на «У^), а У1 на << У1)). В (2.18) положим <ф1) = с(г)е~'тг, тогда с(г) - решение уравнения
г
и , 1 Гг Л1(г-я) Л2(г-«^ ... V Кг
с( г) = ----¡-|[ е - е ] / (я) —я + ае + Ье
Л] - Ао-'
1 20
. 2п Л1(2п-5) . 2п Х2(2п -5)
а = ЛЛТЗЛ: 1'' л 1 2п - /(я) , Ь = Л—Л-1 е 2п - /(я) (2.20)
л2 Л10 е -1 Л1 л2 0 е 2 -1
Л1,2 = т (^^з+з I)
3. Асимптотика автоколебаний. Нелинейная добавка w. Для нахождения асимптотики вторичного течения применяется метод Ляпунова-Шмидта, развитый в [10, 11], в сочетании с разложением по малому параметру а.
Через е2 обозначим надкритичность: е2 = V, - V. Возмущения скорости и и давления р, а также частоту автоколебаний ю будем разыскивать в виде рядов по степеням е
и(х, г, т) = £ екЫк(х, г, т), р(х, г, т) = £ екрк(х, г, т), ю = £ г
Юк
к=1
к=1
к=0
т = юг
Тогда и = п(фе'т + ф е~'т). Первые члены разложения в ряд по а собственной функции ф(х, г) и собственного значения о = гю0 найдены в предыдущем разделе. Возмущение скорости при е2 имеет вид
2/ 2,т — -2, тч
и2 = п (м + и е + и е ) где вектор-функция м = (^, ^2) удовлетворяет уравнениям
2 dV1 д д
а + аV1(г)_зх + аV2(х)_дТ-
22 д w1 2 д w1 +а
д х
2
Эг
2
Эф1
Эф1 _ Эф1 _ Эф1 Эд
- ф1 эх-аф2_э7" ф1_Эх" аф2"эг- эх
dV2 Эw2 Эw2
^¿Г а V1(г) эГ + а V 2( х) 1Г- ^
22 д w9 2 д w2 + а —-
д х
2
дг
Эф2 Эф2 _ Эф2 _ Эф2 Эд
= - ф1_эх"- аф2_эг" ф1_эх- аф2-эг-а д_
д w
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.