№ 3
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2010
УДК 536.21; 27.35.25
© 2010 г. ФОРМАЛЁВ В.Ф., СЕЛИН И.А., КУЗНЕЦОВА Е.Л.
ВОЗНИКНОВЕНИЕ И РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛОВЫХ ВОЛН
*
В НЕЛИНЕЙНОМ АНИЗОТРОПНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Получено аналитическое решение краевой задачи с граничным условием первого рода в начале координат для квазилинейного уравнения параболического типа в анизотропном пространстве со степенной зависимостью от температуры компонентов тензора теплопроводности. Анализ решения показал волновой характер распространения тепла в анизотропном пространстве с конечной скоростью в отличие от бесконечной скорости для линейного уравнения параболического типа. Показано, что фронт тепловой волны в анизотропном пространстве имеет форму эллипсов на плоскости и эллипсоидов в трехмерном пространстве. Определение тепловых волн позволит осуществлять неразрушающий контроль стенок энергетических установок. Обсуждаются результаты.
Введение. Известно, что распространение тепла, описываемое линейным уравнением параболического типа, осуществляется с бесконечной скоростью [1—5], что следует из любого фундаментального решения линейного уравнения диффузии. Этот факт приводит к парадоксу распространения тепла, поскольку все опытные данные показывают хотя и большую, но конечную скорость распространения тепла. Для преодоления этого парадокса еще Максвелл [6] выдвинул гипотезу о том, что распространение тепла имеет не только диффузионный характер, но и волновой. В соответствии с этим, Каттанео [3] в классическом законе Фурье о пропорциональности теплового потока антиградиенту температуры, выражающем диффузионный характер распространения тепла, добавил слагаемое в виде производной теплового потока по времени, выражающее волновой характер распространения тепла
д (х, г) = - ^гаё Т(х, г) - т , (1)
д г
где q, X, с — плотность теплового потока, теплопроводность, удельная теплоемкость; т — время, в течение которого устанавливается термодинамическое равновесие между градиентом температуры и тепловым потоком (время релаксации теплового потока); р, Т — плотность, температура; ? — время.
Уравнение теплопроводности на основе закона (1) является уравнением гиперболического типа и имеет волновой характер с конечной скоростью распространения тепла с учетом затухания
т + = а • ^ Т), (2)
дг дг
где а = Х/ср — коэффициент температуропроводности.
Из анализа (1) видно, что слагаемые, содержащие плотность теплового потока q(x, ?), образуют первые два члена разложения q(x, ? + т) в ряд Тейлора по степеням т, в соот-
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 08-08-00896-а, Президента Российской Федерации, гранты МК-646.2008.8, МК-1184.2009.8, НШ-4337.2008.8 и при финансовой поддержке ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009—2013 годы в рамках мероприятия 1.2.1 "Проведение научных исследований научными группами под руководством докторов наук" госконтракт № П881 от 18 августа 2009 г.
ветствии с чем этот закон можно представить в виде
q(х, t + т) = -XgradT(x, t), (3)
т.е. имеем запаздывание теплового потока относительно градиента температуры. Из этого же закона следует предположение, что тепловой поток зависит не только от его
т д q
скорости, но и от ускорения--- и т.д.
2 dt2
Закон (3) имеет форму классического закона Фурье, но с запаздывающим аргументом: при возникновении градиента температуры в момент времени t, тепловой поток формируется в момент времени t + т, т.е. запаздывает на величину времени релаксации т. Уравнение (3) будет иметь вид
срдT(x, f - т) = div(X • gradT(x, t')), (4)
t
где t' = t + т.
Для большинства материалов теплопроводность есть функция температуры X(T), и уравнение теплопроводности будет нелинейным (квазилинейным — нелинейным относительно функции и младших производных и линейным относительно старших производных), т.е.
ср тг = д Ы T) дТ. (5)
dt дх V дхJ
В [3] установлено, что решение квазилинейного уравнения (5) имеет так же волновой характер, когда температурный фронт распространяется по пространству с нулевой начальной температурой.
В данной статье рассматривается краевая задача для квазилинейного уравнения теплопроводности в анизотропном пространстве и устанавливается волновой характер распространения тепла, т.е. в каждый момент времени изотермическая поверхность разделяет конечное пространство с ненулевой температурой и полубесконечное пространство с нулевой (начальной) температурой.
Постановка задачи. Рассматривается нестационарное распределение температуры T(x, y, t) в двумерном анизотропном пространстве при действии источника температуры T0 в начале координат x = 0, y = 0, т.е. рассматривается следующая начально-краевая задача:
ср д-1 = д(ххх( T)Щ + T)Щ + T)Щ + T)Щ,
F дt дхV ххК дх J дхV хЛ 'ду^ дуV м W дуV м 'ду! (6)
(х, у )е(-да; да), t > 0;
T(0, 0, t) = T0, х = 0, у = 0, t > 0; (7)
Т(х, у, 0) = 0, (х, у) е (-да; да), t = 0. (8)
Здесь Xxx, Xxy, Xyx, Xyy — компоненты тензора теплопроводности.
Компоненты тензора теплопроводности определяются выражениями [7]
Ххх(T) = Щ T)cos2(ф) + Xn(T) sin2(ф);
2 2 2 Хуу(T) = X¿ T)sin2(ф) + Xn(T)(cos2(ф)) ; (9)
Хху( T) = Хух( T) = (X¿ T) - Xn(T))sin(ф)cos(ф),
где главные компоненты тензора теплопроводности зависят от температуры:
X^ = k^ T, Xn = knT, k^ = constj, kn = const2; (10)
ф — угол, ориентирующий главную ось 0^, следовательно, и главная ось 0п относительно декартовой оси 0x; ст — показатель степени.
Таким образом, необходимо найти нестационарное распределение температур Т(х, у, ?) под действием точечного источника (7), приложенного в точке х = 0, у = 0.
Метод решения. Аффинным преобразованием (обычным поворотом вокруг начала координат на угол ф декартовой системы координат)
= х cos (ф) + y sin (ф); П = - х sin (ф) + y cos (ф); х = cos (ф) - n sin (ф); y = sin (ф) + n cos (ф)
задача (6)—(8) сводится к задаче для уравнения, не содержащего смешанных диффе
(11) (12)
ренциальных операторов h
<=й*гi+1Щ), ^^-; ™), '>0;
Т(о, о, г) = т0, % = о, п = о, г> о; Т(%,п, о) = о, (%,п)е(; ®), г = о.
Перейдем к новой системе координат
1/2 (М1/2 Х1 = ^ , Х2 = ,
где X — любое (например, X = 1), получим удТ\ , д (^5
= а± T
dt 5х1V 5хг
+ а — I 7a
дх21 5х.
(х1, х2 )е(-да; да), t > 0;
(13)
(14)
(15)
(16) (17)
Т(о, о, г) = То; (18)
Т(хХ2, о) = о. (19)
Будем искать решение задачи (17), (18) в автомодельном виде с использованием подстановки
Т(хХ2, г) = га0(дь д2), (20)
где
д1 = Х1 /гв; д2 = Х2/гв. (21)
В (20), (21) показатели степеней а и в подлежат определению. Для их определения подставим (20), (21) в (17)—(19), получим
а -1'
t
а0( qi, 42) - Р[ qi I0 + q2I0
1 dq1 dq
,а(а + 1) - 2R
= t а
д_
L<9q i
,50^ + А
5q/ 5q2
,50 5 q 2)J
ta0(0, 0) = T0; ta0(qi, q2) = 0.
(22)
(23)
(24)
Из уравнений (22), (23) получаем следующие соотношения для определения а и в а - 1 = а(ст + 1) - 2р; а = о,
откуда
а = о; р = 1/2. (25)
С учетом (25) задача (22)—(24) запишется в виде д (а°д0V д (0°д0Л 1 ( д0 д0] п
V0 ) + V0 я~) + qiH- + q^) =0,
дq iV dq/ дq2V dq^ 2V дql дq2) (26)
(qi, qi) е (-да; да);
0(0, 0) = T0. (27)
Пусть функция 9(qb q2) является радиально симметричной, т.е. зависит от одной полярной координаты r
qi = r cos (y) r = л/q? + q2
q2 = r sin (y) y = arctg ( —
V q/
Тогда задача (26), (27) трансформируется в следующую задачу Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения
1 д (орд0] , д0 п
2 a—10 —J + r — = 0; (28)
drV дrJ dr
0(0, 0) = T0, (29)
0°0' (0) = 0, (30)
поскольку функция 9(q1, q2) является радиально симметричной.
Первый интеграл уравнения (28) будет
0°0' + (r/2a )0 = C1, причем в силу симметрии при r = 0 постоянная С1 = 0. Следовательно,
0°0' + (r/2a )0 = 0; (31)
0(0, 0) = T0. (32)
Уравнение (31) — обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид
0(r) = [C2 - (ar2/4a)]1/a, (33)
в котором постоянная интегрирования С2 может быть определена из краевого условия (32). Получаем
0(r) = [T, - (ar /4a)]1/a. (34)
Возвращаясь к декартовым координатам, получаем окончательно решение исходной задачи (6)—(8)
-,1/ст
T(х, у, t) =
Г0 - -р- х cos ф + у sin ф)2^ + (- х sin ф + у cos ф) 2X)
(35)
Анализ результатов. На рисунках приведены результаты расчетов температурных полей по формуле (35) со следующими данными: ф = 0, к^ = 5, кп = 1, X = 1, ср = = 2000 Дж/(м3 К), Т0 = 5.
Из графиков видно, что областями ненулевого решения в различные моменты времени являются области, ограниченные эллипсами с полуосями при ф = 0 по оси 0х
T^k-, (36)
a X' по оси 0y
TS—tk-. (37)
Распределение температур при а = 0,5 (а, б), а = 1,1 в сечении х = 0
-0,4 -0,2 0 0,2 0,4 х, м (в, г) и а = 1,5 (д, е): а, в, д — в сечении у = 0; б, г, е —
Температурное возмущение существует только внутри этих эллипсов. Из рисунков видно, что распределение температур имеет волновой характер с фронтом волны на изотерме Т = 0, описываемой эллипсами с полуосями (36), (37). Фронт тепловой волны распространяется со скоростью вдоль оси 0х
^ а к То ; СТА г
вдоль оси 0у
ггп акц1 То .
Ст Аг
Компоненты вектора теплового потока вычисляются как А дТ А дТ
дХ = АХХ--+ Аху - ;
-X Х ХХ ^ Ху /"ч '
ох ду
Т
ду = АухТ- + Ауу
Т Т
--+ Ауу-.
дх ду
Согласно (32), компонента теплового потока qx по оси x будет определяться
„,(*, О, 0 = ^С7? - ^'1 -"Т^). (38)
ст^ 4; V 2ак^ <
При а е (0; 1) тепловой поток на границе фронта равен нулю.
При а > 1 тепловой поток на границе фронта не существует.
При увеличении параметра а поверхности, образуемые изотермами, не равными нулю, имеют большую область определения.
В точках фронта при а > 1 первые производные по времени и первые и вторые производные по пространственным переменным не существуют.
При а е [0,5; 1) первые производные по времени и по пространству существуют внутри областей, ограниченных эллипсами с полуосями (36), (37) и в точках фронта. При а е (0,5; 1) вторые производные в точках фронта не существуют.
При а е (0; 0,5) существуют производные по времени и вторые производные по пространственным переменным внутри обл
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.