ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2013, том 49, № 3, с. 120-122
== ЗАМЕТКИ И ПИСЬМА
ВРЕМЕННОЙ ЛАГ КАК ФАКТОР ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ
ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
© 2013 г. Т.Р. Кильматов
(Владивосток)
Ускоренная динамика изменений внешней среды и значимость временных задержек в принятии управленческих решений. Вследствие нестабильности мировых финансовых рынков, ускорения динамики социально-экономических процессов усложнилась проблема обеспечения устойчивости и стабильности экономического агента в современных условиях. Здесь особую роль играет быстрое и правильное принятие управленческих решений, реагирующих на внешние изменения. Задержка в реализации управленческих решений становится одним из определяющих факторов успешного существования агента. Данный фактор особенно важен для России вследствие относительно высокой централизации управления государством и значительных географических размеров. Это способствует возникновению временных задержек между принятием и исполнением управленческих решений на макроэкономическом уровне, в частности для удаленных регионов, например Приморского края.
Влияние временных лагов на функционирование экономических систем обсуждается с середины прошлого века (см. обзор литературы, например, в (Bellman, 1949; Philips, 1957; Самарский, Михайлов, 2001)). В приложении к экономике учет временных задержек исследуется прежде всего между производством и реализацией товаров, между капиталовложениями и будущей отдачей от них, между финансовыми вложениями в научные исследования и получением прибыли от новых разработок. Ясно, что временные лаги приводят к торможению динамики развития, поэтому нами прежде делались попытки использовать подобные модели в приложении к экономике Приморского края (Кильматов, 2003; Кильматов, Капитонова, 2004).
Математический аппарат моделирования временных задержек начал развиваться после Второй мировой войны для практических запросов управления быстрыми технологическими процессами (Bellman, 1949; Мышкис, 1950). Подобные процессы описываются с помощью дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами, причем данная математическая теория получила значительное самостоятельное саморазвитие (см. обзор литературы в (Эльц-гольц, Норкин, 1971; Бекларян, 1996, 2007)). Теория имеет широкое технологическое применение. Например, в случае управления космическими роботами с Земли команды поступают с задержкой. Интуитивно понятно, что слишком большая задержка может привести к катастрофе, даже при верных командах управления.
Ниже приводится интерпретация теории в приложении к устойчивости экономических систем. Преследуются две цели. Первая - продемонстрировать на простом примере применение неклассической математической теории; вторая - показать условия, при которых изначально устойчивая система может терять устойчивость только вследствие временных задержек в процессе управления.
Критическое запаздывание в исполнении решений приводит устойчивую систему к неустойчивости. Рассмотрим простую линейную модель с запаздывающей переменной. Обозначим через x = x(t) траекторию, имитирующую динамику развития экономического агента. В линейном приближении полагаем, что управленческое воздействие на траекторию пропорционально отклонению траектории от своего стационарного состояния. Будем называть правильным управленческим решением такое воздействие, которое обеспечивает устойчивость стационарной траектории, а неверным - управленческое решение, которое приводит к ее неустойчивости.
В простейшем случае имеем dx/dt + cx(t). При x(0) = x0 аналитическое решение имеет вид x(t) = (x0 - x*)exp(-ct) + x*. Очевидно, что правильное управленческое решение соответствует
ВРЕМЕННОЙ ЛАГ 121
положительному значению параметра с, в этом случае обеспечивается асимптотическая устойчивость траектории. Легко дать экономическую интерпретацию входящим величинам: x0 - начальное состояние экономического агента; x* - будущее целевое состояние экономического агента; с - нормированная на время эластичность относительного отклонения траектории, в данном случае с-1 - время, за которое относительное отклонение траектории изменится в exp (-1) раз. Ниже рассматриваем только ситуацию с > 0.
Следуя теории (Эльцгольц, Норкин, 1971; Бекларян, 1996, 2007), покажем, что представленная устойчивая траектория может потерять устойчивость, если часть управленческих воздействий будет исполняться с временной задержкой. Пусть a (0 < a <1) - относительная доля управленческих решений, которые реализовываются с задержкой по времени x. Тогда динамическая траектория экономического агента будет описываться следующим уравнением с запаздывающей переменной
dx
--+ С (1- a)x(t)+ cax(t - x) = cx*. (1)
dt
Интерпретация уравнения следующая. Динамика системы определяется принятием правильных управленческих решений, с > 0. При отсутствии временной задержки (или x = 0, или a = 0) получаем предыдущий устойчивый случай.
Для построения аналитического решения уравнения (1) по аналогии с задачей Коши надо задать начальное значение на начальном множестве - x < t < 0. Для простоты положим начальную функцию в виде линейной, Z(t) = x0 + ct. Решение уравнения (1) можно построить методом шагов. В частности, на первом шаге при 0 < t < x уравнение (1) преобразуется к виду x(t) + с(1 - a)x(t) + Ta[x0 + c(t - x)] = jx*, откуда динамическая траектория имеет вид
ac
x 1(t) = [x0- x01]exp(-(1- a)t)+ xM - --1, 0< t < x, (2)
1 - a
где
_ ac + (1- a) (x*- ax0 + acx) x01 = : . (1-a )2
На втором шаге аналитическое решение x2(t) строится по аналогии на отрезке x < t < 2x и т.д. Решение на шаге n при (n - 1)x < t < nx имеет структуру формулы (2), только экспонента содержит множитель в виде многочлена (n - 1) степени относительно аргумента t.
Принципиальное отличие модели с запаздыванием от аналогичной модели без отклонения аргумента состоит в том, что она может потерять устойчивость при положительных с, если a > 0,5, т.е. если более половины управленческих решений исполняется с задержкой. Причем в этом случае величина временной задержки должна превышать критическое значение x*, которое определяется по формуле
x* = arc cos( - (1 - a)/a)/ V2a - 1 (3)
(Эльсцгольц, Норкин, 1971, глава 3). Превышение времени задержки относительно своего критического значения приводит к потере устойчивости решения уравнения (1). В таблице представлена количественная зависимость (3) между временем отсрочки при исполнении управленческих решений и относительным числом таких решений. Из таблицы видно, что чем больше доля "запоздалых" решений а, тем система более близка к порогу своей неустойчивости.
ax100% 55% 75% 95% 100%
т* 8,00 2,70 1,71 1,57
* ат 4,40 2,03 1.62 1,57
122
КИЛЬМАТОВ
Критическое значение временного лага зависит от доли задержанных в исполнении решений: чем больше управленческих решений, реализованных с временным запозданием, тем меньше допустимое критическое значение этого запаздывания. Поскольку ax* уменьшается при росте а, это означает, что система более чувствительна к величине временного лага.
Следствия из моделирования достаточно определенные - даже правильные и исполненные решения, но с временной задержкой, превышающей критический временной лаг, в реальности могут привести к нестабильности. Практически это равносильно принятию неверного управленческого решения. Причем чем больше доля выполняемых с отсрочкой действий, тем меньше значение временного лага, превышение которого приводит к неустойчивости системы.
Изложенная модель проста, поэтому ее непосредственное приложение в реальном управлении весьма ограничено. В то же время построение мостика между неклассической математической теорией и ее практическими приложениями в социально-экономических моделях особенно важно для такой большой и централизованно управляемой страны, как РФ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Бекларян Л.А. (1996). Введение в качественную теорию функционально-дифференциальных уравнений и их приложения. М.: ЦЭМИ РАН.
Бекларян Л.А. (2007). Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. Групповой подход. М.: Факториал Пресс.
Кильматов Т.Р. (2003). Моделирование временного запаздывания в динамических экономических системах // Вестник ДВГАЭУ. № 2 (26).
Кильматов Т.Р., Капитонова М.Н. (2004). Моделирование сценариев стратегического развития Приморского края. Владивосток: Дальнаука.
Мышкис А.Д. (1950). Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка с запаздывающим аргументом // VMH. Т. 5. № 2 (36).
Самарский А.А., Михайлов А.П. (2001). Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. М.: Физматлит.
Эльсцгольц Л.Э., Норкин С.Б. (1971). Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука.
Bellman R. (1949). On the Existence and Boundedness of Solutions Differential-Difference Equations // Ann. Math. Vol. 50. № 2.
Philips A.W. (1957). Stabilization Policy and the Time-Forms of Lagged Responses // Econ. J. Vol. 67. No 6.
Поступила в редакцию 07.06.2012 г.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.