ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2015, том 462, № 4, с. 408-411
= ФИЗИКА =
УДК 525.625
ВТОРАЯ КОСМИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
© 2015 г. Член-коррреспондент РАН В. В. Васильев, Л. В. Федоров
Поступило 26.11.2014 г.
БО1: 10.7868/80869565215160112
Как известно, вторая космическая скорость для сферического тела с массой т и радиусом наружной поверхности Я имеет вид
v 2
r = 'g
IR
2mG
(1) (2)
12 i i к i l
d x . т' i dx ux _л
—2 + г ki--_ 0.
ds ds ds
(4)
Для исследования движения частицы, удаляющейся по радиусу от тела, запишем уравнение (4)
для х1 = г. Используя известное преобразование, позволяющее заменить переменную 5 на переменную г [2], и выражая символы Кристоффеля в
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской Академии наук, Москва E-mail: vvvas@dol.ru
уравнении (4) через компоненты метрического тензора, окончательно получим
d 2r
dt2
+ c
2 _gü.
2 gii
g 44 g 44
gil 2 gil
-) = 0, dt)
(5)
где c — скорость света, a rg — так называемый гравитационный радиус (G — гравитационная постоянная). Выражение (2) было получено в 1783 г. Мичелом и в 1796 г. Лапласом и было интерпретировано как радиус "темной звезды", для которой вторая космическая скорость равна скорости света. В дальнейшем эта интерпретация, основанная на гравитационной теории Ньютона и корпускулярной модели света, была отвергнута [1]. Как следует из представленных ниже результатов, этот вывод может оказаться преждевременным.
Для определения второй космической скорости в ОТО введем сферическую систему коорди-
1 2 а 3 4 ,
нат х = r, х =U, х =ф, х = ct и соответствующую метрическую форму
ds2 = g11dr2 + g22(d02 + sin2 О^ф2) - g44d(ct)2, (3)
в которой компоненты метрического тензора g¡j зависят от r, и воспользуемся уравнением, определяющим траекторию геодезической линии [2],
/V ¿()
где (•) . ¿г
Коэффициенты метрического тензора g¡¡, входящие в это уравнение, являются решением уравнений ОТО. Для сферически-симметричной задачи эти уравнения имеют вид [2, 3]
1
X Ti = —■
g 22
g 22
2 giig 22
g 22 + g44 g 44
xT4
g 22
J_
gii
g22 g 22
(
2 g 22
2
g22 у g 22 j
giig 22 2 giig 22
(6)
(7)
8nG
Здесь Т- — тензор энергии-импульса, х = 4
с
гравитационная постоянная ОТО. Заметим, что в ОТО для трех коэффициентов g11, g22 и g 44 имеются всего два взаимно независимых уравнения (6) и (7). Известны попытки дополнить эти уравнения так называемыми гармоническими координатными условиями [4].
Классическое решение сферически-симметричной задачи ОТО, полученное в 1916 г. Шварц-шильдом, является решением уравнений (6) и (7)
при g22 = г2. Для наружного пустого пространства
(г > Я), в котором Т = 0, оно имеет вид [3]
gii = |i
r
-i
= i--, r
(8)
где г& определяется равенством (2). С учетом равенств (8) уравнение (5) приводится к виду
d 2r
2 Г
c r'
dt2 2r
л
i
V r y
3rg
í
2r2
r \
i - ^ r
= 0.
(9)
c
2
С
2
г _ Я, V _■
_ V 0
(10)
Это уравнение интегрируется при начальных
условиях, согласно которым при г = 0 имеем . = _
где V — физическая скорость частицы [5], а V — ее начальная скорость.
Для слабого гравитационного взаимодействия от-г
я
ношение — можно считать малым по сравнению с г
единицей. Тогда из равенств (8) имеем Яц = я 44 = 1, и уравнение (9) упрощается следующим образом:
4 + ^ = 0. Лг 2г
Первый интеграл этого уравнения имеет вид
2
\п ,2 гя V = - =4 С + С —.
Л \ г
(11)
Определяя постоянную интегрирования С1 из второго условия (10), найдем
г 2 гяс
С = —.
1 0 Я
(12)
Интегрирование уравнения (11) с учетом первого условия (10) дает
г = г^яС2 - гС1 - п^яс2 - ЯС, +
ГяС\ ГяС2 + 2СЯ + ЯС1(ГяС2 + Я^)
+ ^Т= 1п-- I . (13)
У С1 гЯС2 + 2С1г + 2л1гС1(гЯС2 + гС1)
Уравнение (13) определяет зависимость радиальной координаты от времени. Эта зависимость является действительной, если С1 > 0. В результате из равенства (12) получим
(14)
^0 ^ ^2 =
V ^К2 - гяС2 (Я -1
При г ^ да отсюда получим
2 гС
Определяя v2 как минимальную начальную скорость, при которой ^ = 0, получим равенство (14). Если v0 = у2, то С1 = 0, и решение уравнения
(11) определяет следующую зависимость радиальной координаты от времени:
г = Я 3111 +1
Найдем вторую космическую скорость, соответствующую решению Шварцшильда. Первый интеграл уравнения (9)
= С [1 - Ь + С [1 -
Лг
(15)
определяет скорость движения, которая в соответствии со вторым равенством (10) имеет вид
V
■ + С2 I 1 --
(16)
гЛ
Г V г, Полагая ч(Я) = v0, найдем константу интегри-
рования
С9 =
1
г
1 - гя
Я
( 2
10.
2
V С
.гя
Я
\
(17)
Уравнение, аналогичное уравнению (13), является довольно громоздким и здесь не приводится. Однако из него, как и ранее, следует: для того, чтобы решение являлось реальным, необходимо выполнение условия С2 > 0. В результате из равенства (17) получим выражение (14). Аналогичный результат следует из условия ^ = 0. Таким образом, решение Шварцшильда приводит к такому же выражению для второй космической скорости, что и гравитационная теория Ньютона [1]. При Я = гя имеем v2 = С.
Предположим, что v0 = у2. Тогда, принимая в уравнении (15) С2 = 0 и интегрируя это уравнение с учетом первого условия (10), можно получить следующую зависимость между временем г и радиальной координатой г:
Полученное выражение для v2 совпадает с формулой (1), т.е. решение задачи ОТО для слабого гравитационного взаимодействия приводит ко второй космической скорости, следующей из гравитационной теории Ньютона. Заметим, что эту скорость можно найти без привлечения уравнения (13). Действительно, подставляя С1 из равенства (12) в выражение (11) для скорости, найдем
г =
1 \1 С |3
с \
з+Я
v гя л
1п
(( + )((-&)) ((-Л )
При Я = гя имеем г ^ да, т.е. при второй космической скорости, равной скорости света, для достижения этой скорости требуется бесконечно большое время.
Как следует из равенства (8) для метрического коэффициента я11, решение Шварцшильда является сингулярным, если минимальное значение радиальной координаты г = Я оказывается равным я. В связи с этим я называется радиусом горизонта событий "черной дыры". В работах [6, 7] получено решение сферически-симметричной задачи ОТО для обобщенной метриче-
410
ВАСИЛЬЕВ, ФЕДОРОВ
ской формы (3), в которой я22 = р (г). Потребность в таком решении определяется следующими соображениями.
В 1916 г. Шварцшильдом было получено решение для внутренней (0 < г < Я) области сферического тела с постоянной плотностью ц. Это решение следует из уравнения (7), если принять в нем
я 22 = г2 и Т44 = цс 2. В результате имеем (индекс I соответствует внутреннему пространству)
1
gil
1 ХНРС r 2 3
(18)
На поверхности тела (г = Я) решения (8) и (18) должны совпадать, что обеспечивается равен-
ством
2 „3
3
(19)
gii
1
(20)
1 --
r r 'g'
R3
Если теперь подставить выражения для х и гя в равенство (19), то получим массу
4 3 m0 = -n^R ,
(21)
m
2п п/2 R
2ц |dф | sin 9d9 Jjgñr2dr
2nR4
-ц
mn
1 • Г I r arcsin4 — - 4 1 - —
3rg
R
9rg
R
10R 56R2
Последняя часть этого соотношения представля-
г
ет собой разложение по параметру , из которого следует, что т = т0, только если г = 0.
Обнаруженное противоречие между массами т0 и т может быть устранено, если принять в равенстве (3) я22 = р2 и считать р неизвестной функцией радиальной координаты г. Принимая в
уравнениях (6) и (7) Т/ = 0, я22 = р2(г) и полагая р(г ^ да) = г, можно получить следующие метрические коэффициенты для внешнего поля:
g - g - i - rj.
g11 - -, g44 - 1 •
1 _ 1 P P
(22)
Принимая в уравнении (7) я22 = р2, Т44 = цс 2 и полагая р(г = 0) = 0, можно получить радиальный метрический коэффициент для внутреннего поля
^ (Р ')2
g11 - 2 •
1 -ХН£_ р2
(23)
В результате решение (18) принимает следующий окончательный вид [3]:
Здесь 0 < р < рЯ и рЯ = р(г = Я) соответствует наружной поверхности сферы. Выражение для массы тела имеет вид
m =
соответствующую евклидову пространству. Это противоречит основной идее ОТО, согласно которой пространство внутри тела является рима-новым. Действительно, для метрической формы
(3) при я22 = г2 и я11, определяемом равенством (20), имеем
2п п/2 R
2ц Jdф J sin 9d0 2dr. (24)
0 0 0 Определим функции p(r) для внешнего и внутреннего полей из условий
VÜ1p2 = Г2, Jghp2 = r2. (25)
Подстановка второго из этих условий в равенство (24) дает m = m0, где m0 определяется равенством (21). Таким образом, масса тела оказывается евклидовой. Этому результату можно придать физическую интерпретацию: гравитация, изменяя геометрию внутри тела в соответствии с уравнениями ОТО, не изменяет массу тела. Поскольку m = m0, можно воспользоваться равенством (19), и коэффициент (23) принимает следующий окончательный вид:
g' (Р ')2
g11 - 2. rgP
R3
(26)
1 --
Из условий (25) также следует, что непрерывность метрического коэффициента я11 на поверхности тела обеспечивается, если функция р является непрерывной.
С помощью выражений (22) и (26) условия (25) приводятся к следующим уравнениям для функции р(г) для внутреннего и наружного пространства:
(27)
= rg.
0
Для внутреннего пространства решение первого уравнения (27), удовлетворяющее условию р(г = 0) = 0, имеет вид
™=2 ^
R
F(p) = ~ arcsin \rg
(28)
F =I.
(29)
Для наружного пространства решение второго уравнения (27), удовлетворяющее условию непрерывности функции р на поверхности сферы, можно записать в форме
Fe(p) - F&r) = 11 R33 -1
(30)
Fe(p) = R
5Ж. 12
,5r 8
2Л
Vp(P - rg) ■
5r
. —L
8R
rln
p-rL
(31)
Rg =
0.327c
(32)
Принимая в решении (28) г = Я, получим следующее уравнение, связывающее рЯ, т.е. значение р на поверхности сферы, с г&:
Асимптотический анализ уравнения (30) показывает, что р(г ^ да) = г. Численный анализ зависимостей g11(r) и р(г) [6, 7] показывает, что при г = 0 и при г ^ да полученное решение совпадает с решением Шварцшильда. Наибольшее различие имеет место на поверхности сферы г = Я. При этом решение Шварцшильда для g11 расходится при приближении Я к г&, а полученное решение остается конечным.
Как следует из равенства (31), построенное решение является действительным, если минимальное значение р = рЯ больше ил
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.